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16.2 (^) Exercícios
- Seja F o campo vetorial mostrado na figura. (a) Se C1 é o segmento de reta vertical de (-3, -3) a (-3,3), determine se Se, F. dr é positivo, negativo ou zero.
(b) Se C2 é o círculo de raio 3 e centro na origem percorrido
no sentido anti-horário, determine se Se, F. dr é positivo, negativo ou zero.
13. Se x3y2z dz, C: x = 2t, Y = t2, Z = t2, O ~ t ~ 1 14. Seyz dy + xy dz, C: x = ,fi, y = t, z = t2, O ~ t ~ 1 15. Se Z2 dx - z dy + 2y dz, C consiste nos segmentos de reta de (O, O, O) a (O, 1, 1), de (O, 1, 1) a (1, 2, 3) e de (1, 2, 3) a (1, 2, 4). 16. SeYz dx + xz dy + xy dz, C consiste nos segmentos de reta de (O, O, O) a (2, O, O), de (2, O, O) a (1, 3, -1) e de (1, 3, -1) a (1, 3, O)
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- (a) Calcule a integral de linha Se F. dr, onde F(x, y) = ex-I i + xy j e C é dado por r(t) = t2 i + t3 j, O~t~1. ~I (b) Ilustre a parte (a) utilizando uma calculadora gráfica ou um computador para desenhar C e os vetores do campo veto- rial correspondentes a t = O, 1/.fi e 1 (como na Figura 13).
- (a) Calcule a integral de linha Se F. dr, onde F(x, y, z) = x i - z j + Y k e C é dado por
r(t) = 2t i + 3 t j - t2 k, -1 ~ t ~ 1.
~I (b) Ilustre a parte (a) utilizando um computador para desenhar C e os vetares do campo vetorial correspondentes a t = ±1 e ±4 (como na Figura 13).
19-22 o Calcule a integral de linha Se F. dr, onde C é dada pela
função vetorial r(t).
19. F(x, y) = x2y3 i - yJX j ,
r(t) = t2 i - t3 j, O ~ t ~ 1
4 F(x, y, z) = yz i + xz j + xy k,
r(t) = ti + t2 j + t3 k, O ~ t ~ 2
21. F(x,y,z) = senxi + cosyj + xzk,
r(t) = t3 i - t2 j + t k, O ~ t ~ 1
22. F(x, y, z) = x2 i + xy j + Z2 k,
r(t) = sen t i + cos t j + t2 k, O ~ t ~ Tr/
- A figura mostra um campo vetaria! F e drms C".='=- C e C:_ As integrais de linha de F sobre C1 e C2 são po5i;T:::!s" vas ou nulas? Explique. 24. F(x, y) = ~ x+y i + d-+---0 x+y j, C é a parábola
y= 1 +x2de(-1,2)a(1,2)
B23-24 o Use um gráfico do campo vetorial F e a curva C para
dizer se a integral de linha de F ao longo de C é positiva, negativa ou nula. Em seguida calcule a integral.
23. F(x, y) = (x - y) i + xy j , C é o arco de círculo x2 + y2 = 4 percorrido no sentido anti-horário de (2, O) a (O, -2)
C: x = 4 sen t, y = 4 cos t, z = 3t, O ~ t ~ Tr/ C é o segmento de reta de (O, 6, -1) a (4, 1,5) C é o segmento de reta de (O, O, O) a (1, 2, 3). C: x = 6t, Y = 3.fit2, Z = 2t3, O ~ t ~ 1
9. Sexy3 ds, 10. J' eX 2 z _ds,
- Se xeY' ds,_
Jl. Se xz ds,
1-16 o Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada.
_1. Seyds, C:x=t2, y=t, 0~t~
- Se (y/x) ds,_ C: x = t4, Y = t3, O ~ t ~ 1 3. Se xy4 ds, C é a metade direita do círculo x2 + y2 = 16
~ SeyeX ds, C é o segmento de reta que liga (1, 2) a (4, 7).
5. Se (xy + In x) dy, C é o arco de parábola y = x2 de (I, 1) a (3, 9).
/Se senxdx, C é o arco de curva x = y4 de (-1, 1) a (1, 1).
7. Se xy dx + (x - y) dy, C consiste nos segmentos de reta de (O, O) a (2, O) e de (2, O) a (3, 2).
A'e x../Y dx + 2yJX dy, C consiste no menor arco de círculo x2 + / = 1 de (1, O) a (O, 1) e o segmento de reta de (O, 1) a (4,3).
1058 O CÁLCULO
@ Determine o valor exato de Sex3y5ds, onde C é a parte da astróide x = cos3t, Y = sen3t no primeiro quadrante.
28. Determine o valor exato de Se F. dr, onde
F(x, y, z) = x4eY i + In z j + ..jyl + Zl k e C é o segmento de reta entre (1, 2, 1) e (6, 4, 5).
- Se C é a curva com equações paramétricas x = In t, y = e-I, 1 ~ t ~ 2, use uma calculadora ou CAS para calcular a integral de linha Se x sen y ds com precisão até a terceira casa decimal.
- (a) Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y) = Xl i + xy j sobre uma partícula que dá uma volta no círculo x2 + y2 = 4 no sentido anti-horário. tm (b) Utilize um sistema algébrico computacional para desenhar o campo de força e o círculo na mesma tela. Use essa figura para explicar sua resposta da parte (a).
- Um arame fino é entortado no formato de uma semicircunfe- rência x2 + y2 = 4, x? O. Se a densidade linear é uma constante k, determine a massa e o centro de massa do arame.
- Determine a massa e o centro de massa de um arame fino no formato de um quarto de círculo x2 + y2 = r2, x? O, Y? O, se a função densidade é p(x, y) = x + y.
- (a) Escreva fórmulas semelhantes à Equação 4 para o centro de massa (i,)I, z) de um arame fino com função densidade p(x, y, z) e forma da curva espacial C. (b) Determine o centro de massa de um arame com formato da hélice x = 2 sen t, y = 2 cos t, z = 3t, O ~ t ~ 27T, se a
densidade for uma constante k.
- Determine a massa e o centro de massa de um arame com for- mato da hélice x = t, Y = cos t, z = sen t, O ~ t ~ 27T, se a densidade em qualquer ponto for igual ao quadrado da distân- cia do ponto à origem.
- Se um arame com densidade linear p(x, y) está sobre uma curva plana C, seu momento de inércia em ,relação aos eixos x e y são definidos como
Ix = fc y2p(X, y) ds 13' = fc x2p(x, y) ds Determine os momentos de inércia do arame do Exemplo 3.
- Se um arame com densidade linear p(x, y, z) está sobre uma curva espacial C, seu momento de inércia em relação aos
eixos x, y e z são definidos como
1, = fc (y2 + z2)p(x, y, z) ds
I" , = f. e (Xl + Z2)p(X, y, z) ds
lo = fc (x2 + y2)p(X, y, z) ds Determine os momentos de inércia do arame do Exercício 33.
- Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y) = x i + (y + 2) j para movimentar um objeto sobre um arco da ciclóide r(t) = (t - sent) i + (1 - cos t) j, O ~ t ~ 27T.
~Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y) = x sen y i + Y j para movimentar um objeto sobre a parábola y = x2 de (-1,1) a (2, 4).
- Determine o trabalho realizado pelo campo de força F(x, y, z) = xz i + yx j + zy k para movimentar um objeto sobre a curva r(t) = t2 i - t3 j + t4 k, O ~ t ~ 1.
- A força exercida pela carga elétrica colocada na origem sobre uma partícula carregada num ponto (x, y, z) com vetor de posição r = (x, y, z) é F(r) = Kr/I r 13, onde K é uma constante (veja o Exemplo 5 da Seção 16.1). Determine o tra- balho realizado quando a partícula se move sobre o segmento de reta de (2, O, O) a (2, 1, 5).
- Um homem pesando 160 Ib carrega uma lata de pintura de 25 Ib por uma escada helicoidal em tomo de um silo com raio de 20 pés. Se o silo tem 90 pés de altura e o homem dá três voltas completas em torno do silo, quanto trabalho é feito pelo homem contra a gravidade para chegar ao topo?
- Suponha que haja um furo na lata de pintura do Exercício 41 e 9 Ib de tinta vazam da lata de modo contínuo durante a subida do homem. Quanto trabalho é realizado?
- Um objeto se move sobre a curva C mostrada na figura de (1,2) a (9, 8). Os comprimentos dos vetores do campo de força F são medidos em newtons pela escala dos eixos. Estime o tra- balho realizado por F sobre o objeto. y , I I
(metros) I
r-
I
L I^ I
~
V
/' ]L (^) VL "" L ,.......!/" 1
(^1) I ~I x
O (^1) (metros)
- Experimentos mostram que uma corrente contínua I num fio comprido produz um campo magnético B que é tangente a qualquer círculo em um plano perpendicular ao fio e cujo centro seja o eixo do fio (como na figura). A Lei de Ampere relaciona a
CAPíTULO 16 CÁLCU'O "=10"'--
9. F(x, y) = (yeX + seny) i + (e' + x cosy) j 10. F(x, y) = (yeXY + 4x3y) i + (xeXY + x4)j r{x,y)~ (Y?X'): - (:y/x)~; P:l. I): º'":--
23. O campo vetorial mostrado na figura é conservaum? E~li~-=_
- A figura mostra o campo vetorial F(x, y) = (2xy, x2) e três curvas que começam em (1, 2) e terminam em (3, 2). (a) Explique por que Se F. dr tem o mesmo valor para as três curvas.
(b) Qual é esse valor comum?
...• \
y ...• \
/'/'----.... \ I J I /'/'/', I' II /' /' /' ~~ ~ I I I I /' /' /' / '1//.I.1x /1/ -///,/,/ ~//// .-"/// ••.... .-"//
B24-25 o Analisando o gráfico de F você diria que ele é conserva- tivo? Verifique se seu palpite estava correto.
24. F(x, y) = (2xy + sen y) i + (x2 + x cos y) j
- F ( x, y ) = ---;====== (x - 2y) i + (x - 2) j 2 3^ x
---...--./",/' /'/ /' /' /
~ / ,/,/' /' / / I
,
y
o
2
3
29-32 o Determine se o conjunto dado é ou não: (a) aberto, (b)
conexo e (c) simplesmente conexo.
- Use o Exercício 27 para mostrar que a integral de linha
Se y dx + x dy + xyz dz não é independente do caminho.
- Mostre que se um campo vetorial F = P i + Q j + R k é con- servativo e P, Q, R têm derivada parcial de primeira ordem contínua, então
- Seja F = V f, onde f(x, y) = sen(x- 2y). Determine as curvas C[ e C2 que não sejam fechadas e satisfaçam a equação.
(a) f ~ F· dr = O (b) f ~F· dr = 1
aQ = aR az ay
aR ax
ap az
ap = aQ ay ax
29. {(x, y) I x > O, y > O} 30. {(x, y) I x "# O} 31. {(x, y) 11 < Xl + y2 < 4} 32. {(x, y) I x2 + y2 "" 1 or 4 "" x2 + y2 "" 9} . -yi+xj
- Seja F(x, y) = (^) x (^2) + r ,. (a) Mostre que ap/ay = aQ/ax.
(b) Mostre que Se F. dr não é independente do caminho.
[Dica: Calcule Se, F. dr e Se, F. dr, onde C[ e C2 são as metades superior e inferior do círculo x2 + y2 = 1 de (1, O) a (-1, O).] Isso contraria o Teorema 6?
12-18 o (a) Determine uma funçãoftal que F = Vf e (b) use a parte (a) para calcular Se F. dr sobre a curva C dada. ~(x, y) = y i + (x + 2y) j , C é a semicircunferência superior que começa em (O, 1) e termina em (2, 1).
13. F(x, y) = x3y4 i + x4y3 j, C: r(t) = fi i + (1 + t3) j, O "" t "" 1 14. F(x,y) = e2Yi + (1 + 2xe2Y)j, C: r(t) = te' i + (l + t) j, O "" t "" 1 15. F(x, y, z) = y i + (x + z) j + Y k,
C é o segmento de reta de (2, 1,4) a (8, 3, -1)
~(x, y, z) = 2xy3z4 i + 3x2y2z4 j + 4x2y3z3 k, C: x = t, Y = t2, Z = t3, O "" t "" 2
17. F(x, y, z) = (2xz + seny) i + x cos Y j + x2 k, C: r(t) = cos ti +·sentj + tk, O"" t "" 27T
~F(x, y, z) = 4xe' i + cos Y j + 2x2e' k, C: r(t) = ti + t2 j + t4 k, O "" t "" 1
2'1-22 o Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial de força F movendo um objeto de P a Q.
21. F(x, y) = x2y3 i + x3y2 j; P(O, O), Q(2, 1)
19-20 o Mostre que a integral de linha é independente do caminho
e calcule a integral.
19. Se2xsenydx + (x2cosy - 3y2)dy,
C é qualquer caminho de (-1, O) a (5, 1)
~ Se (2y2 - 12x3y3) dx + (4xy - 9x4y2) dy,
C é qualquer caminho de (1, 1) a (3, 2)
