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www.resumao.com.br EXATAÕS- CÁLCULO - 1 BENGÕES, LIMTES, dis ARA SIRBÍSTICAS is RENGÕES, APROXIMAÇÕES FUNÇÕES Funções Uma função é uma relação f entre dois conjun- tos 4 c B, não vazios, em que para qualquer x pertencente ao conjunto 4 existe, em correspon- dência, um único y pertencente ao conjunto B, de modo que (x, )) E à. O conjunto de valores pos- síveis para x (eixo das abcissas) é chamado de domínio é o conjunto do valores possíveis para p É chamado de imagem da função, O cálculo de uma variável lida com lunções de valor real cujo domínio é um conjunto de números reais. Se não estiver especilicado o domínio, presume-se que o mesmo inclui todas as entradas para as quais exis- te um número real de saida Notação Se uma função é denominada f, então f (x) denota seu valor em x, Se uma função apresenta um valor p, em termos de uma valor x, então x é denominada variável independente e y é a vari: vel dependente, Dada a função y = xº pode-se pensar em y como uma notação simplificada para a expressão que representa a função. A notação de af" (“x leva em x?) é outra maneira de referir-se à função. A expressão f(x) para uma função com um valor arbitrário x normalmente representa a própria função. Gráficos O gráfico de uma função f é o conjunio de pares ordenados (x, f(x), apresentado visualmente por um sistema de coordenadas cartesianas. O teste da reta vertical determina que uma curva é o gráfico de uma função se toda reta vertical encontra a curva uma vez no máximo. Uma equação p = f (x) nor- malmente se refere ao conjunto de pontos (x, 3) que satisfaz a equação, neste caso o gráfico da função f. Os zeros de uma função são os valores de x para as quais f (1) = 0, e interceptam o eixo x. Par e impar A função f é par se f (x) = f (x), ex: 2%; é ímpar se f (49) =-f (0), exi, Números racionais Um número racional é uma razão p/g dos intei- ros p e q, com q = U Há uma infinidade de manei- ras de representar um dado número racional, mas há um único representante de “termos mínimos”. O conjunto de todos os números racionais forma um sistema fechado seguindo as operações aritmé- ticas normais. Números reais R denota o conjunto de números reais. Pode-se pensar cm múmeros reais como sendo os números representáveis por expansões decimais infinitas. Os números racionais terminam em zero ou apresen- tam um segmento repetitivo de dígitos. Os números reais que não são racionais são chamados de irra- cionais. Ex.: 1, a razão entre a circunferência e o diâmetro de um circulo, é irracional; pode ser apro- ximado por números racionais, ex.: 22/7 e 3,1416. Números de máquina Calculadoras ou computadores representam os múmeros reais de maneira aproximada, usando um número fixo de digitos, normalmente entre 8 e 16. Portanto, os cálculos feitos por máquina em geral não são exatos. Tal fato pode causar anomalias no traçado de gráficos. A precisão de um resultado numérico é o número de dígitos corretos. (Contar digitos após o arredondamento apropriado: 2,512 para 2,4833 tem dois digitos corretos.) A exatidão refere-se ao número de digitos corretos após a vírgula decimal. Intervalos Sea < , o intervalo aberto (a, b) é o conjunto de múmeros reais x tal que a
para todos os x no domínio de f. Uma função f tem uma inversa se, é somente se, para cada um de seus valores y existe apenas uma entra- da correspondente; ou, f (5) = tem somente uma relação um para um; ou, qualquer reta horizontal encontra o gráfico de f no máximo uma vez. Ex. x é um para um; x? não é. Funções estritamente crescentes ou decrescentes são de um para um. Só pode ter uma inversa definida no contra- domínio de f, denotada g = f “!, Para todo y no contradomínio de f, f ! (9) é o valor de x que verifica f (6) Se os Eixos têm a mesma escala, o gráfico de [+ é simétrico ao gráfico de f em relação à reta y= x. Funções implícitas Uma relação F(x,y) = e normalmento admite y como uma função de x. de um qu mais modos. Ex x +)" = 4 admite y = lais funções são consideradas como definidas implicitamente pela relação, Graficamente, a relação dá uma curva, um fragmento da curva que satisfaz o teste de reta vertical é o gráfico de uma função implícita. Muitas vezes, não há expressão para uma fanção implícita em termos de finções elementar: Ex: 2 +) 2x=4 admilo p= f (x) com f(0)=2.e f (2) 0, mas não há fórmula para f (x). FUNÇÕES AL RICAS ELEMENTARES Constante e identidade Funções constantes têm apenas uma saída: foy=e. A função de identidade é xj->x, ou f(x) =x. Veailor absoluto ou módulo 6 Para todo x, /x2 = [e]. Funções lineares Uma função é lincar quando for expressa da forma fix) = mx + b definida em Rê, na qual m (coeficiente angular) e b (coeficiente linear) são números reais e a = 0. A constante de proporcio- nalidade, isto é, a razão entre diferença das orde- nadas (y, é y,) é à diferença das abeissas (x, e x,) sta TX m= é denominada inclinação ou coeficiente angu- Jar, O coeficiente angular é também a mudança na função por aumento de unidade da variável inde- pendente, A função linear de f(x) m =x + b tem coeficiente angular m é ponto de intersee- cão com p f (0) = d, sendo o gráfico uma reta. O coeficiente angular tem unidades a razão das uni- dades dos cixos. (Ex.: num gráfico de distância vs, tempo, as inclinações são velocidades.) A função linear com valor y, em x, é inclinação m é FO) =p tempra). Quadráticas Estas possuem a forma fo) = ax? + bx + c onde (a x 6) A forma normal é f(x) = a(x-h)? + . Temos h =- bi(2a) é k = f (hi. O gráfico é uma parábola com vértice (4, com cavidade voltada para cima (se 4 > 0) e seu vértico como ponto mínimo ou com concavidade voltada para baixo (se a < 0) e seu vértice como ponto máximo. Uma quadrática possui dois, um ou nenhum zero dependendo se o discrimi- nante 4? - dac é, respectivamente, positivo, zero, ou negativo. Os zeros são dados pela fórmula «= b=yb- dae 2a e graficamente são dispostos de forma simétrica em relação ao 1 Estes têm a forma p() = a + br! + +dx+e. Considerando a « 0, tem-se grau », primeiro coeficiente a, e termo constante e =p (0). Um polinômio de grau x tem no máximo x zeros. Se x, é um zero de p(x), então x - x, é um lator de p(): Pe) = (0x) para algum polinômio g(x) de grau n-1, Os gráficos polinomiais tendem para «e quando [el é grande. Funções racionais Estas têm a forma ft) =? = ax) em que p(x) e q(x) são polinômios. O domínio exclui os zeros de q. Os zeros de f são os zeros de Pp que não são zeros de q. O gráfico de uma função racional pode ter assíntotas verticais e descontinui- dades removíveis, sendo idêntica à de alguns poli- nômios (talvez constante) quando |x| é grande. Raizes rrésimas Estas têm a forma p = x*= 4/x para algum inteiro n>1. Se n é par o domínio é 10, oc], & y é o único número não negativo tal que yi==. Se a é impar, o domínio é R e y é o único número real tal que Uma função de raiz n-ésima é sempre incremental, e o gráfico é verti- cal na origem. Algébrica x transcendental Uma função algébrica p = f (x) é aquela que satisfaz uma equação polinomial de duas variáveis 0. As funções acima são alyébricas. Ex: y = bd satislaz 22 - ? = 0. Somas, produtos, quo- cientes, potências e raizes de funções algébricas são algébricas. Funções que não são algébricas (ex.: exponenciais, logaritmos e funções trigono- métricas) são denominadas transcendentais. Potências racionais , Elas têm a forma fy) = 7 = (att )t= (x+)m em que se presume que 3 e x são inteiros, tal que 1 > 0, e pnf/n estando em termos mínimos. Se mm < O então = xP O domínio de x "" é o mesmo da função de raiz n-ésima, excluindo O se 11 <0. Para x> 0, con- forme p diminui em valor absoluto, os gráficos de y x? tendem para a rota p=" = 1; conforme p aumen- ta em valor absoluto, os gráficos de p= P distanciam- se da seta y = Le tendem para a reta. Potências racionais EXPONENCIAIS E LOGARITMOS Exponenciais A função exponencial com base a (a > 0, a = 1) éf()=a* O domínio é R e o contradomínio é (0, ). O ponto de intersecção com p é a* = 1, Se a 1 a função é crescente. Muda pelo fator e'* ao longo de todo intervalo de comprimento Ax. As exponenciais transformam adição em multiplicação: a =1 ev=ea Logaritmos Ô logaritmo com base a é a inversa da expo- nencial de base a: Jog, x = “a potência do a que leva ax” Analogamento, x = 4% ou log a! O domínio de log, é (0, x)e o ntradomííiio é R Sea> 1 então fog, x é negativo para 9 |, e sempre crescente, O logaritmo comum é log,,. Exemplos: log,a=1 log,32=5, log, (1/10) Os logaritmos transformam multiplicação em adição: log 1=0 log xy=log x+log,y jog x" =mlog x log (x) = log x-log,y Tog, (5) = “log x A terceira identidade vale para todo número rcal m. Para uma mudança de base, temos log,x log,x Tog,b =log x *loga= Exponencial e logaritmo natural A função exponencial namral é a exponencial ja reta tangente no ponto (0,1) em seu gráfico tem inclinação 1. Sua base é um número irracional ) = 2,718 O logaritmo natural é da = Jog, à inversa dee”: Inx= y significa x = e* Há identidades mea eus x, me=1, e Im tem as propriedades de um logaritmo. Ex.: In (19) = -Inx. Os valores especiais são: In 1=0,In2=0,6931, In 10 = 2,303. = na, Toda exponencial pode ser escrita a” nx Todo logaritmo pode ser escrito Jog, x = rg Funções de exponenciais gerais Estas têm a forma f (1) = P, 4” e têm a proprie- dade de que a razão de duas ordenadas depende somente da diferença das abcissas. À razão das saí- das para uma mudança de unidade na entrada é à base a. O ponto de intersecção com y é f (0) =P, Crescimento exponencial Uma quantidade P (ex., dinheiro investido) que aumenta por um fator a = "> 1 durante cada uni- dade de tempo é descrita por P=Pa'=Per. Durante um intervalo At o fator é a! Ex.: se P aumenta 4% por semestre, então a 5 =1,04,e P=P (1,04! Pet (tem anos) O tempo de duplicação D é o intervalo de tempo durante o qual a quantidade dobra: In2 m2 p=gv=7, p=n2 = at=ev=2,D=[ê = ” Se o tempo de duplicação é D, então P=P, 2 A composição contínua À taxa percentual anual » x 100% leva ao fator de crescimento anual a=lim[1+5) é Decaimento exponencial Uma quantidade Q (ex. de material radiativo) que diminui numa proporção b = e < 1 durante cada unidade de tempo é descrita por Q=0,/=0,e*. Durante um intervalo Af a proporção é b a. Ex: se O diminuiu 10% cada 12 horas, então DP =0,90,00=0,(0,905º = O e ts (t om horas). A meia-vida H é o intervalo de tempo durante o quala pás diminui pelo fator meio: Se a meia-vida é E então Q= 0, E”! Potências irracionais Estas podem ser definidas por fl) =x? = est» para (x> 0). Funções hiperbólicas ebge O cosseno hiperbólico é cosh a = HE — Tem domínio R, contradomínio [1, 2) e é par. No domínio restrito [0, x), tem inversa arecosh x In(e+ 201) O seno hiperbólico é senh x = coshr! 2 “Tem dominio R, contradomínio R, e é ímpar. Sempre estritamente crescendo, tem inversa aresenhx senhix=In (x+ /27+1) A identidade básica é cosh?x - senhêx = 1, por exemplo. FUNÇÕES TRIGONOMEÉTRICAS Radianos A medida radiana de um ângulo éarasão entro | Medida radiana comprimento s c o raio de um arco circular correspondente: O = 5 E 2x Tashanos 360º cauda de dérivadas paarão)ique;os ampurmentos de funções trigonométricas sejam em radianos. Cosseno, seno, tangente Considere um número real £ como medida +adiana do ciclo trigonométrico de um ângulo: a distância medida no sentido anti-horário (ao longo da circunferência do circulo unitário) desde o ponto (1, 0) até o ponto terminal (x, y). Então Cosseno e seno ent - S cost=xsent=yitge= = Cosseno e seno têm domínio R c contradomínio FLA]. O domínio da tangento exclui 5 1, s5m. e seu contradomínio é R. O cosseno é par, o seno e a tangente são impares. Continuidade num ponto Uma função f é continua em a se à está no domínio de fe lim ff) =fia). Explicitamente, f está definida em algum inter- valo aberto contendo «, e todo E > O admite um 8>0 tal que ft) - fia)] < e quando pe- aj <6. Formulação de zooming Se o contradomínio do traçado de gráfico para f é mantido fixo com f(a) no meio. e o domínio do traçado de gráfico é estreitado por meio de intervalos centralizados em x = 4, o gráfico de f fica totalmente dentro do contra- domínio do traçado de gráfico fixo. Isso deve valer para todo contradomínio de traçado de gráfico dessa natureza. fiajte Continuidade abaixo de zoomin pia) ta)-e a a a 3"! É Continuidade lateral Uma função f é contínua em «, pela esquer- da, sc a está no domínio lateral de f e im fo) =fia). Uma função f é continua em a, pela direita, se a está no dominio lateral de f e SO) = fo). Continuidade Dizemos que uma função é contínua se é contínua em cada ponto de seu domínio. f é contínua em um ponto a de seu domínio quan- do dim fl) = fa) Atenção: os livros, às vezes, referem-se a alguns pontos fora do domínio como pontos de descontinuidade, Intuitivamente, uma função é contínua num intervalo se não existem “que- bras” em seu gráfico. Continuidade uniforme Uma função f é uniformemente contínua em seu domínio )D se para todo E > O há um ô >Otalquexpem Delte-y|<6 implicam | fp) - f6)| < é A continuidade uniforme implica continuidade. Uma função continua num inter- valo fechado [a,b] é uniformemente contínua. Ariimética Os múltiplos escalares de uma função contá- nua são contínuos. Somas, diferenças, produ- tos e quocientes de funções contínuas são comtínuos (em seus domínios) Composições Uma composição de funções contínuas é continua. Funções elementares Polinômios, funções racionais, funções de raiz, exponenciais e logaritmos, e funções trigonomé- tricas é trigonométricas inversas são continuas. Teorema do valor intermediário Se f é continua no intervalo fechado fa, d], então f atinge todo valor entre (a) e f(b): para todo entre f() e / (6) há ao menos um. em fa, b] tal que f69=9. O teorema do zero determina que se f é continua em fa, b] e f(a) e f(b) têm simais opostos, então há um x em (a, b) tal que f()=0. Método ecção Trata-se de um método para encontrar zeros com base no teorema do zero. 1. Com f, a, b como no teorema do zero, o ponto médio x, = (atb) é uma estima- tiva inicial de um Zero. Presumindo que f(x) não é zero, há um novo intervalo [a, x,| ou [x,s b| no qual se tomam sinais opostos nos pontos extre- mos. Contém um zero, e scu ponto médio x, é uma nova estimativa de zero. 3. Repetir passo (2) com o novo intervalo c x, 4. À estimativa n-ésima x, difere de um zero em não mais de (b-a) / 2". Ld Teorema do valor extremo Se f é continua no intervalo fechado [2,6], então f atinge um mínimo e um máximo cm [a,b]; existem ce dem [0,6] tal que O) Flor - a), com F(h) = right, Formulação de zooming Se o domínio do traçado de gráfico para f é estreitado por meio de intervalos centrados em x = q enquanto a razão do contradomínio do traça- do de gráfico para o domínio do traçado de grá- fico é mantida fixa, o gráfico de f acaba apare- cendo linear (idêntico à reta tangente em x = q). Se f(4) 4 0, o gráfico em zoom aparece lincar sem restrição nos contradominios do traçado. Notação A própria fimção derivada é designada f” ou D(f). Se p= f9, os seguintes elementos geralmen- te representam expressões para a função derivada: 25 ED PO) dr MO A segunda é a notação de Leibniz. As nota- ções para a derivada em x = a são stay, Dea, E, o Elo fo. Linearização A lincarização, ou aproximação linear, de fom « é a função linear af fu) + (a) tea) Seu gráfico é a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f (a). A derivada, portanto, fornece um “modelo linear” da função próximo de x = a. Diferenciai A diferencial de f em a é a expressão dfta) =P ado. Aplicado a um incremento Ax, toma-se Fla) Ax. Se y= [6 escreve-se dy = Pljde. Quocientes de diferença O quociente de diferença fla + h)— fa) h aproxima f'(4) se h é pequeno. É a inclinação da reta secante através dos pontos (a, f (4) e (a+h, f(2H). A sua média e o “quociente de recuo”, Fa) Ha—h) h é o quociente simétrico flath)— fla —h) 2h geralmente uma aproximação melhor de fº(a). INTERPRETAÇÕES Taxa de variação A derivada fº(a) é a taxa de vai instantã- nea de f com respeito ax emx=a. Diz com que rapidez f está aumentando ou diminuindo à medi- da que x aumenta o longo dos valores na vizi- nhança de x=. À taxa de variação média de f ao longo de um intervalo [ax] é f(x) — fla) sa Conforme x aproxima-se de a, cssas taxas médias aproximam-se de fº(4). As unidades da derivada são as unidades de f(x) divididas pelas unidades de x. Reia tangente A derivada f (a) é a inclinação da reta tan- gente em relação ao gráfico de f no ponto (a, (a). É um limite de inclinações de retas secantes passando através daquele ponto. Aproximação linear E possível aproximar valores de f na vizinhan- qa de a de acordo com fts) = fila) + Pta) - a) Ex. já que, E pa “dx 2d a Ly J62 Reta 2=7,875 A aproximação é melhor quanto mais perto x estiver de a e quanto mais plano o gráfico estiver na vizinhança de a. Variações diferenciais A derivada é o fator pelo qual as pequenas ariações são representadas em escala para tor- nar-se variações aproximadas. A variação dife- rencial em « sobre um incremento do entrada Ax aproxima a mudança de saída: Siad = Hatha) - fia) A variação diferencial é a variação exata na aproximação linear. Variações diferenciais fardo) — 4 Velocidade Suponhamos que s(f) é a posição no tempo t de um objeto que sc move ao longo de uma reta. Sua velocidade média durante um intervalo de tempo ga t, é s(t) Gg) E Sua velocidade instantânea no tempo f é vb =s"(9). Sua velocidade é |v(9)]. A acele- ração é v'(8) Interpretando o valor de uma derivada. Suponhamos que T é a temperatura (em “C) em função da localização x (em em) ao longo de uma reta. O significado de, digamos, T* (8) = 0,31 (Clem) é que, na localização x=8, pequenas mudanças na direção x positiva levam a pequenos aumentos da temperatura numa tazão de aproximadamente 0,31ºC por cm. Pequenas mudanças na direção negativa levam a diminuições semelhantes de 7. APLICAÇÕES Aproximações lineares em O As igualdades a seguir são aproximações lineares comumente usadas e válidas na vizi- nhança de x = 0. In (19 =x a I-x O crro em cada aproximação é de não mais de MIxB/2, em que M é todo limite em [/"()| para [y|£ 9, sendo f a função relevante. E nx = x] 5,005 para [x] s 0,1. Método de Newton Para encontrar uma raiz aproximada de ff) = 0, selecione um ponto x, conveniente c avalie HS) Pt) sucessivamente para 1 — 0, até que os valores deixem de mudar na precisão desejada. O valor do lado direito do item acima onde a rota tangente em (x, ffx,)) encontra o eixo x. Método de Newton — exemplo Taxas relacionadas Suponhamos que duas variáveis, cada uma delas uma função do tempo, são relacionadas por uma equação. Derive os dois lados da equação em rela ao tempo para obter uma expressão que envolva as derivadas de tempo ou taxas cas variáveis originais. Com dados suficientes para as variáveis e uma das taxas, a relação das derivadas pode ser resolvi- da para a outra taxa. REGRAS DE DERIVAÇÃO Notas gerais: considere, abaixo, que f e g são deriváveis. Em cada regra apresentada, a seguir, considera-se que a função a ser derivada é derivável em todo o seu domínio. Para cada uma, há também uma notação fun- cional, ex.: (cf? = cf), e uma notação de Liebniz, ex.: A (eu) =c dt É (eu) =c & Soma E fo) +eto=P6) +e'to Múltiplo escalar E efeo] =er6o Produto de Vito g6)] =P pagto + fodg'6) Quociente A Regra de Cadeia (para composições). EP DON FO) =P (809) g'0) Segundo essa regra, uma pequena ção na entrada para uma compos representada cm escala por g*(x) depois por f(g(2)). Na notação de Liebniz, se z = FO) e y = g(x), e portanto vemos z como função de x, então a E Lim notação D D(fog) = [D(f) og] Dig). “ sendo avaliado em y = gt). Funções Inversas Se f é a inversa de uma função g (e g” é con- tínua e não zero), então L PO ra Para obter uma fórmula específica direta- mente, comece com p = fl); reescreva como gs) =x; derive em relação a x para obler 1 =37(5) é coloque e'0)y"= 1, escreva p' 8'(y) cm Tunção de x, usando as relações v=f 6) egú) =x. Ex:y=Inx;e Funções implí A derivada de uma função definida implici- tamente por uma relação F(x, y) = c pode ser encontrada derivando-se em relação a x e tra- tando y como uma função de x sempre que aparecer na relação; e então resolvendo para p* em relação a x e y. O resultado é o mesmo obti- do da expressão formal E F(x,y) . ET E Fls) em que y é tratado como uma constante no numerador, « como uma constante no denominador, FÓRMULAS DE DERIVAÇÃO Constantes Para qualquer constante C, É €=0. IN = “lu Função 1 Raiz quadrada d 1 E ro de 246 Potências Para todo valor real de x1, x” = uxº!, válido onde x"? é definido. A regra da cadeia dá def = mL O PO]. Exponenci Uma função exponencial tem derivada pro- porcional a si mesma, sendo o fator de propor- cionalidade o logaritmo natural da base: Est Letces, Ein E Lut= (na A regra da cadeia dá Left = em (9 Logaritmos a La 1 an [el= 0a logbl= Tax As mesmas regras valem sem valor absolu- to, mas o domínio é restringido a (0, cs). A regra da cadeia dá Emfo= 5 “de Funções hiperbólicas senh'x = cosh x cosh"x = senh x aresenh'x arecosh'x Funções trigonométricas sen" x=cosx cos? x=-sen x sec x cof x=-ese? x sec! x=secxtgx =-arecot'x aretg'x Tg? CARACTERISTICAS LOCAIS DE FUNÇÕES Vizinhança Compreende um ponto próximo do meio de um intervalo aberto, contendo esse ponto. Ix.: (4-e,4+ e) é vizinhança do ponto a. [El [E pa a « a+e Continuidade Se uma função é diferenciável num ponto, então é contínuo nesse ponto. Pontos críticos Um ponto c é um ponto crítico de fse f é definido próximo de e e ou ff) = O ou f'(c) não existem. Extremos locais Um ponto de mínimo local f é um ponto e com fl) = fe) pata x próximo de e. Um ponto de máximo local f é um ponto e com f(x) < f(€) para x próximo de c. Se e é um ponto de extremo local, então é um ponto crítico. (Isso decorre das definições.) Extremos relativos são o mesmo que extremos locais. 
