Campos Vetoriais e Integrais de Linha: Teoremas de Gauss e Stokes, Notas de aula de Cálculo para Engenheiros

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MÓDULO A – INTEGRAL DE LINHA

Até agora estudamos funções que associam um número a um vetor (funções vetoriais) e funções que associam um vetor a um número (funções de duas e/ou mais variáveis). A seguir estudaremos outro tipo função. Campos vetoriais Seja D um subconjunto do. Um campo vetorial em é uma função que associa a cada ponto (x, y) em D um vetor bidimensional (x, y).

MÓDULO A – INTEGRAL DE LINHA

Campos vetoriais Como(x, y) é um vetor bidimensional, podemos escrevê-lo em termos de suas funções componentes P e Q, da seguinte forma: (x, y) = P(x, y) + Q(x, y) = <P(x, y), Q(x,y)> As componentes P(x, y) e Q(x, y) são funções (de duas variáveis) que associam cada ponto (x, y) D um número real. Funções desse tipo são chamadas de campos escalares. Como no caso das funções vetoriais, podemos definir a continuidade dos campos vetoriais e mostrar queserá contínua se e somente se suas funções componentes forem contínuas.

MÓDULO A – INTEGRAL DE LINHA

Campos Vetoriais Se f (x, y, z) é um campo escalar, podemos obter um campo vetorial a partir do gradiente aplicado a f: (x, y, z) = P(x, y, z) + Q(x, y, z) + R(x, y, z) O campo vetorial assim obtido é chamado de campo vetorial gradiente. No caso de um campo escalar g(x, y) , aplicando o operador gradiente a g , obtemos um campo vetorial gradiente bidimensional: g (x, y) = (x, y) + (x, y,)

MÓDULO A – INTEGRAL DE LINHA

Campo vetorial conservativo Dizemos que (x, y, z) é um campo vetorial conservativo se existir um campo escalar f (x, y, z) (chamada de função potencial) tal que: (x, y, z) = f (x, y, z) A equação acima nos fornece um método para determinar a função potencial f. Note que: (x, y, z) = P(x, y, z), (x, y, z) = Q(x,y, z), (x, y, z) = R(x, y, z). Assim para determinar a função potencial, basta resolver o sistema de equações diferenciais acima.

MÓDULO A – INTEGRAL DE LINHA

Integral de linha no plano No limite quando o número de subdivisões do intervalo I , temos: lim 𝑛→ ∞

𝑖 = 1 𝑛 𝑓 ¿ ¿ ¿ Se o limite acima existir, chamamos o resultado de integral de linha de f (x, y) ao longo de C em relação ao comprimento de arco.

MÓDULO A – INTEGRAL DE LINHA

Integral de linha no plano Podemos reescrever a integral de linha notando que x = x(t), y = y(t) e que 𝑑𝑠 = √ ( 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ) 2

( 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ) 2 𝑑𝑡 De forma que:

𝑐 ❑ 𝑓 ( 𝑥 , 𝑦 ) 𝑑𝑠 =¿ ∫ 𝑎 𝑏

√ (

) 2

(

) 2

MÓDULO A – INTEGRAL DE LINHA

Teorema: Seja C uma curva lisa dada pela função vetorial ,. Seja f uma função diferenciável de duas ou três variáveis cujo vetor gradiente f é contínuo em C. Então

𝑐 ❑ 𝛻 f_. 𝑑_ ⃗ 𝑟 =¿ ¿ (^) f f Se e tiverem coordenadas, então:

𝑐 ❑ 𝛻 f_. 𝑑_ ⃗ 𝑟 =¿ ¿ (^) f f

MÓDULO A – INTEGRAL DE LINHA

Se onde C1 e C2 são dois caminhos distintos com mesmos pontos incial e final. O teorema anterior que mostra que:

𝑐 1 ❑

𝛻 f. 𝑑 𝑟 ⃗ =¿ ¿∫

𝑐 2 ❑ 𝛻 f_. 𝑑 𝑟_ ⃗ A integral de um campo vetorial contínuo é dita independente do caminho, se

𝑐 1 ❑ ⃗ 𝐹. 𝑑 𝑟 ⃗ =

𝑐 2 ❑ ⃗ 𝐹. 𝑑 𝑟 ⃗ para quaisquer caminhos C1 e C2 como mesmos pontos inicial e final.

MÓDULO A – INTEGRAL DE LINHA

Teorema fundamental das integrais de linha Uma curva é dita fechada se seu ponto inicial coincide com o final, i.e., (a) = (b). O teorema a seguir nos fornece uma condição sob a qual a integral de linha de um campo vetorial é independente do caminho de integração. Teorema: é independente do caminho, em uma região D, se e somente se, , para todo caminho C fechado em D. Este teorema afirma que para um campo vetorial conservativo , Assim, se representa um campo de forças, o trabalho realizado para mover uma partícula ao longo de um caminho fechado é nulo.

Módulo – A Item 1. Momento – Gamification

MÓDULO B – TEOREMA DE GAUSS/STOKES

DIVERGENTE E ROTACIONAL

Para entender os teoremas de Gauss e de Stokes, precisamos definir dois operadores para campos vetoriais que são básicos nas aplicações do cálculo vetorial. Cada operador lembra uma diferenciação, mas um produz um campo escalar enquanto que outro produz um campo vetorial. Introduziremos o operador diferencial vetorial (“del”) como: z k y j x i              z k y j x i             

MÓDULO B – TEOREMA DE GAUSS/STOKES

Ele tem a propriedade de, quando aplicado a uma função escalar f, produzir o gradiente de f: = z f k y f j x f f i          

        k z f j y f i x f z f k y f j x f f i          

        k z f j y f i x f