Cálculo III - SMA 333, Notas de estudo de Cálculo

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C´alculo III - SMA 333

Notas de Aula

Sum´ario

• 1 Introdu¸c˜ao
• 2 Seq¨uˆencias Num´ericas
  • 2.1 Defini¸c˜ao, Exemplos e Opera¸c˜oes
  • 2.2 Seq¨uˆencias Limitadas e Ilimitadas
    • 2.2.1 Seq¨uˆencias Convergentes

a.m. Muitas outras seq¨uˆencias est˜ao presentes no nosso dia a dia. Quando assistimos TV as imagens s˜ao compostas por uma seq¨uencia de telas que s˜ao exibidas uma ap´os a outra e muitas vezes por segundo. Uma an´alise mais profunda de alguns sinais el´etricos peri´odicos que produzimos nos leva a concluir que esses sinais s˜ao compostos por uma seq¨uˆencia de sinais senoidais com espectro de freq¨uˆencias entre zero e infinito. Estas s˜ao as S´eries de Fourier que vamos estudar no final desta disciplina. J´a vimos tamb´em que as fun¸c˜oes de classe C∞^ apresentam uma seq¨uˆencia de polinˆomios que supostamente as aproximam (os Polinˆomios de Taylor). Estes aparecer˜ao quando estudarmos s´eries de potˆencias. Em ambos os casos acima, os objetos s˜ao fun¸c˜oes (polinˆomios trigonom´etricos ou simplesmente polinˆomios). De forma bastante elementar e muito antes da no¸c˜ao de seq¨uˆencia ser sistematizada e bem compreendida, Arquimedes utilizou uma seq¨uˆencia para determinar a ´area de um c´ırculo sabendo que a raz˜ao entre o comprimento da circunferˆencia de um circulo e seu diˆametro ´e um n´umero fixo denotado por π. Apenas para mostrar a genialidade deste grande cientista vamos apresentar a seguir o seu argumento.

Exemplo 1.0.1. A ´area de uma circunferˆencia.

O quociente entre o comprimento de uma circunferˆencia e o diˆametro ´e um n´umero real denotado por π.

°

°

°

°

°

°° r

L

d (^) r

L = π d = 2π r

Vamos utilizar o argumento de Archimedes para determinar a ´area do c´ırculo de raio r. A id´eia de Archimedes (287-212 a.c.) foi dividir a circunferˆencia em setores de igual ´area e reagrup´a-los da seguinte forma

8 Setores

°

°

°

°

°

°°

@

@

@

@

@

@@

16 Setores

πr

r °

°

°

°

°

°°

@

@

@

@

@

@@

Cada uma dessas figuras geom´etricas planas tem ´area exatamente igual a ´area do circulo (pois ´e obtida do c´ırculo recortando e reagrupando os peda¸cos). Esta seq¨uˆencia de figuras geom´etricas planas se aproximam do retˆangulo de base πr e altura r e portanto a ´area do c´ırculo tem que ser exatamente πr^2.

A demonstra¸c˜ao deste resultado envolve o conceito de limite de seq¨uˆencias que intro- duziremos brevemente. Se dividimos a circunferˆencia em n setores iguais temos

@

@

@

@

@

@@

°

°

°

°

°

r π/n °°p

A ∼ 2 n r senπn r cos πn^12 ∼ πr^2 senπ/nπ/n cos π/n.

Cap´ıtulo 2

Seq¨uˆencias Num´ericas

2.1 Defini¸c˜ao, Exemplos e Opera¸c˜oes

No C´alculo I estudamos as fun¸c˜oes definidas em subconjuntos R e tomando valores em R e no C´alculo II estudamos as fun¸c˜oes definidas em subconjuntos de Rm^ e tomando valores em Rn^ com m e n naturais. Nesta se¸c˜ao, consideraremos um caso particular dessas fun¸c˜oes que s˜ao as seq¨uˆencias num´ericas.

Defini¸c˜ao 2.1.1. Uma seq¨uˆencia num´erica ´e uma fun¸c˜ao definida no conjunto dos n´umeros naturais e com valores reais, ou seja, f : N → R.

Note que cada n´umero natural ´e levado em um ´unico n´umero real

N →f R 0 → f (0) 1 → f (1) 2 → f (2) 3 → f (3) ... ...

Se denotamos f (n) por xn, a seq¨uˆencia f est´a unicamente determinada pela lista de n´umeros {x 1 , x 2 , x 3 ,.. .} ou, abreviadamente, por {xn}. Desta forma, adotaremos a nota¸c˜ao {xn} ou {x 1 , x 2 , x 3 ,.. .} para representar uma seq¨uˆencia. Cada xn ´e chamado um elemento da seq¨uˆencia.

Exemplo 2.1.1. Temos

• A seq¨uˆencia f : N → R dada por f (n) = n ser´a denotada por {n} ou { 0 , 1 , 2 , 3 ,.. .}.

• A seq¨uˆencia f : N → R dada por f (n) = (^) n + 1^1 ser´a denotada por

n + 1

ou { 1 , 12 , 13 , 14 ,...

• A seq¨uˆencia f : N → R dada por f (n) = (−1)n^ ser´a denotada por {(−1)n} ou { 1 , − 1 , 1 , − 1 ,.. .}.
• A seq¨uˆencia f : N → R dada por f (n) = (^) n n+ 1 ser´a denotada por

n n + 1

ou { 0 , 1 2

• A seq¨uˆencia f : N → R dada por f (n) = rn, r ∈ R, ser´a denotada por {rn} ou { 1 , r, r^2 , r^3 ,.. .}.

Observa¸c˜ao: Como uma seq¨uˆencia ´e uma fun¸c˜ao particular, est˜ao definidas as opera¸c˜oes soma, multiplica¸c˜ao por escalar, produto e quociente de seq¨uˆencias.

Defini¸c˜ao 2.1.2. Se {xn} e {yn} s˜ao seq¨uˆencias e α ∈ R definimos

• A soma {sn} de {xn} e {yn} por

sn := xn + yn, n ∈ N.

Assim {xn} + {yn} = {x +n +yn}.

• O produto {pn} de {xn} e {yn} por

pn := xnyn, n ∈ N.

Assim {xn}{yn} = {xnyn}.

• A multiplica¸c˜ao {mn} do n´umero real α por {xn} por

mn := αxn, n ∈ N.

Assim α{xn} = {αxn}.

• Se yn 6 = 0 para todo n ∈ N, o quociente {qn} de {xn} e {yn} por

qn := x yn n

, n ∈ N.

Assim {{xyn} n}^

{x yn n

Segunda Aula ↓

2.2 Seq¨uˆencias Limitadas e Ilimitadas

Note que a seq¨uˆencia {(−1)n} ´e a lista infinita { 1 , − 1 , 1 , − 1 , · · · , } mas a seq¨uˆencia s´o assume os valores 1 ou −1. Se lembramos que esta ´e uma fun¸c˜ao f : N → R com f (n) = (−1)n ent˜ao, vemos que a imagem de f ( Im(f ) = {f (n) : n ∈ N} ) ´e o conjunto {− 1 , 1 }.

Defini¸c˜ao 2.2.1. A imagem de uma seq¨uˆencia ´e chamada conjunto dos valores da seq¨uˆencia.

Note que a seq¨uˆencia { 1 , 1 , − 1 , − 1 , 1 , 1 , − 1 , − 1 , · · · } tem o mesmo conjunto de valores que a seq¨uˆencia {(−1)n}.

Exemplo 2.2.1. Vamos considerar as expans˜ao bin´aria de um n´umero real s ∈ [0, 1]. Con- sidere a seq¨uˆencia {s 1 , s 2 , s 3 , · · · } onde s 1 = 0 se s ∈ [0, 1 /2] e s 1 = 1 se s ∈ (1/ 2 , 1]. Se s 1 = 0 ent˜ao, s 2 = 0 se s ∈ [0, 1 /4) e s 2 = 1 se s ∈ (1/ 4 , 1 /2]. Se s 1 = 1 ent˜ao, s 2 = 0 se s ∈ (1/ 2 , 3 /4] e s 2 = 1 se s ∈ (3/ 4 , 1]. Seguindo com este procedimento obtemos a seq¨uˆencia {sn}. N˜ao ´e dif´ıcil ver que

|s −

∑^ k 0

sn 2 −n| ≤ 2 −n−^1.

Veremos que isto significa que podemos escrever

s = s 12 −^1 + s 22 −^2 + s 32 −^3 + · · ·.

Com isto em mente, podemos associar a cada n´umero real em [0, 1] uma seq¨uˆencia {sn} com conjunto de valores em { 0 , 1 }. Aqui vemos uma infinidade de seq¨uˆencias num´ericas distintas com mesmo conjunto de valores.

Defini¸c˜ao 2.2.2. Uma seq¨uˆencia ´e dita limitada se o seu conjunto de valores for limitado. Caso contr´ario a seq¨uˆencia ´e dita ilimitada.

Ent˜ao, dizer que uma seq¨uˆencia num´erica {xn} ´e limitada ´e dizer que existem n´umeros m e M tais que m ≤ xn ≤ M para todo n ∈ N.

Exemplo 2.2.2.

• A seq¨uˆencia

n n + 1

´e limitada.

• A seq¨uˆencia {(−1)n} ´e limitada.

• A seq¨uˆencia

cos n^1

´e limitada.

• A seq¨uˆencia {n} ´e ilimitada.

2.2.1 Seq¨uˆencias Convergentes

Note que a seq¨uˆencia (^) { 0 , 1 2

tem a propriedade de que quanto maior for a vari´avel n, mais pr´oximo o valor da seq¨uˆencia

em n, (^) n n+ 1, fica de 1. Neste caso, diremos que o limite da seq¨uˆencia

n n + 1

´e 1 e a

seq¨uˆencia ´e dita convergente com limite 1. E preciso dar uma defini¸´ c˜ao mais precisa da no¸c˜ao de convergˆencia de uma seq¨uˆencia. Come¸camos com as seq¨uˆencias infinit´esimas.

Defini¸c˜ao 2.2.3. Dizemos que uma seq¨uˆencia {xn} ´e infinit´esima se dado ε > 0 existe um natural N = N (≤) tal que | xn| < ε, ∀ n ≥ N.

Interpreta¸c˜ao da Defini¸c˜ao: Uma seq¨uˆencia ´e infinit´esima se a partir de um certo n´umero natural N todos os xn’s est˜ao no intervalo (−ε, ε) e fora deste intervalo h´a apenas um n´umero finito de xn’s. Entre os elementos x 1 , x 2 , · · · , xN encontramos todos os elementos da seq¨uˆencia que est˜ao fora do intervalo (−ε, ε).

Exemplo 2.2.3. Mostrar que a seq¨uˆencia

n

´e infinit´esima.

De fato: Dado ≤ > 0 seja N ∈ N tal que N ≥ (^1) ε. Ent˜ao, ∣∣ ∣∣^1 n

∣∣ =^1

n

< ε, ∀n > N.

Exemplo 2.2.4. Mostrar que a ´unica seq¨uˆencia constante que ´e infinit´esima ´e a seq¨uˆencia nula { 0 , 0 , 0 , · · · }

Defini¸c˜ao 2.2.4. Uma seq¨uˆencia {xn} ´e convergente com limite se a seq¨uˆencia {xn −} ´e infinit´esima; ou seja, se dado ≤ > 0 , existe um n´umero natural N = N (≤), tal que

| xn − `| < ε, ∀ n ≥ N.

Terceira Aula ↓ O pr´oximo resultado diz que, se uma seq¨uˆencia for convergente, ent˜ao o limite ser´a ´unico.

Proposi¸c˜ao 2.2.1. Seja {xn} uma seq¨uˆencia convergente. Se

n^ lim→∞ xn^ =^ ^1 e^ nlim→∞ xn^ =^^2 ,

ent˜ao 1 = 2.

Prova: Suponha por absurdo que l 1 6 = l 2 e seja ≤ = |l^1 − 4 l^2 |. Ent˜ao existem N 1 , N 2 ∈ N tais que |xn − l 1 | < ≤ para todo n ≥ N 1 e |xn − l 2 | < ≤ para todo n ≥ N 2. Se N = max{N − 1 , N 2 } temos que

|l 1 − l 2 | ≤ |l 1 − xn| + |xn − l 2 | < 2 ≤ = |l^1 −^ l^2 | 2

, ∀n ≥ N,

o que ´e um absurdo. Segue que l 1 = l 2.

Defini¸c˜ao 2.2.5. Uma seq¨uˆencia ´e dita divergente se n˜ao for convergente.

Proposi¸c˜ao 2.2.2. Se {xn} for uma seq¨uˆencia convergente com limite , ent˜ao toda sub- seq¨uˆencia de {xn} ser´a convergente com limite.

Prova: Como h : N → N ´e crescente, temos que h(n) ≥ n. Do fato que {xn} ´e convergente com limite temos que, dado ≤ > 0 existe N ∈ N tal que |xn −| < ≤, para todo n ≥ N. Segue que, dado ≤ > 0, existe N ∈ N tal que, |xh(n) − `| < ≤ para todo n ≥ N. Isto mostra que limn→∞ xh(n) = limn→∞ xn para toda h : N → N crescente e o resultado segue. A Proposi¸c˜ao 2.2.2 ´e importante pois implica no seguinte crit´erio negativo de convergˆencia que ´e bastante utilizado.

Proposi¸c˜ao 2.2.3. Se uma seq¨uˆencia possui duas subseq¨uˆencias convergentes com limites distintos, ent˜ao a seq¨uˆencia ´e divergente.

Exemplo 2.2.7. A seq¨uˆencia {(−1)n} ´e divergente.

Proposi¸c˜ao 2.2.4. Toda seq¨uˆencia convergente ´e limitada.

Prova: Se limn→∞ xn = , seja ≤ = 1. Ent˜ao, existe N ∈ N tal que |xn −| < 1 para todo n ≥ N. Seja M = max{|x 1 |, · · · , |xN |, |`| + 1}. Ent˜ao |xn| ≤ M para todo n ∈ N.

Observa¸c˜ao: Note que, toda seq¨uˆencia convergente ser limitada mas nem toda seq¨uˆencia limitada ´e convergente (por exemplo, {(−1)n} ´e limitada, mas n˜ao ´e convergente).

Proposi¸c˜ao 2.2.5. Seja {xn} uma seq¨uˆencia. Ent˜ao {xn} ´e convergente com limite 0 se, e somente se, {|xn|} ´e convergente com limite 0.

Prova: A seq¨uˆencia {xn} ´e convergente com limite 0 se, e somente se, dado ≤ > 0 existe N ∈ N tal que ||xn| − 0 | = |xn − 0 | < ≤, ∀n ≥ N,

se, e somente se, a seq¨uˆencia {|xn|} ´e convergente com limite 0.

Proposi¸c˜ao 2.2.6. Seja {xn} uma seq¨uˆencia convergente com limite . Ent˜ao, a seq¨uˆencia {|xn|} ´e convergente com limite |. A volta n˜ao ´e v´alida, em geral.

Prova: Se {xn} ´e convergente com limite ` temos que: dado ≤ > 0, existe N ∈ N tal que

||xn| − ||| ≤ |xn −| < ≤, ∀n ≥ N.

Segue que {|xn|} ´e convergente com limite |`|. Para verificar que a rec´ıproca n˜ao ´e v´alida em geral, basta considerar a seq¨uˆencia {(−1)n} que n˜ao ´e convergente e cujo m´odulo ´e convergente. Terceira Aula ↑

Exemplo 2.2.10. Mostre que a seq¨uˆencia {xn} dada por x 1 =

2, xn =

2 + xn− 1 , n ≥ 2, ´e convergente e encontre o seu limite.

Proposi¸c˜ao 2.2.9 (Propriedades). Se {xn} e {yn} s˜ao seq¨uˆencias convergentes com lim- ites 1 e 2 respectivamente e c ∈ R, ent˜ao

(a) {cxn + yn} ´e convergente com limite c1 + 2

(b) {xnyn} ´e convergente com limite 1 2

(c) {xn/yn} ´e convergente com limite 1 / 2 , sempre que ` 2 6 = 0.

Quarta Aula ↑

Quinta Aula ↓

Proposi¸c˜ao 2.2.10. Se {xn} for uma seq¨uˆencia convergente e xn ≤ 0 , para todo n ∈ N, ent˜ao (^) nlim→∞ xn ≤ 0.

Prova. Suponha que lim n→∞ xn = `. Ent˜ao dado ε > 0, existe N ∈ N tal que

− ε < xn < + ε, ∀ n ≥ N.

Mas xn ≤ 0 por hip´otese. Portanto

` − ε < xn ≤ 0 , ∀ n ≥ N,

ou seja, < ε. Segue da arbitrariedade de ε que ≤ 0 e a prova est´a conclu´ıda.

Corol´ario 2.2.1 (Teste da compara¸c˜ao). Se {xn} e {yn} s˜ao seq¨uˆencias convergentes e xn ≤ yn para todo n ∈ N, ent˜ao

n^ lim→∞ xn^ ≤^ nlim→∞ yn.

Proposi¸c˜ao 2.2.11 (Teorema do Confronto). Sejam {xn} e {yn} duas seq¨uˆencias con- vergentes com mesmo limite `. Se {zn} ´e um seq¨uˆencia tal que

xn ≤ zn ≤ yn, ∀ n ∈ N,

ent˜ao {zn} ´e convergente com limite `.

Prova: Dado ε > 0, seja N ∈ N tal que

− ε ≤ xn ≤ zn ≤ yn ≤ + ε, ∀ n ≥ N.

Ent˜ao |zn − | < ε para todo n ≥ N e, portanto, lim n→∞ zn =. Isto conclui a prova.

Vamos dividir as seq¨uˆencias divergentes em trˆes tipos. Aquelas que divergem para +∞, aquelas que divergem para −∞ e aquelas que s˜ao limitadas mas n˜ao s˜ao convergentes.

Defini¸c˜ao 2.2.8.

• Dizemos que uma seq¨uˆencia {xn} diverge para +∞ se, dado R > 0 , existe N ∈ N tal que xn > R para todo n ≥ N. Neste caso escrevemos (^) nlim→∞ xn = +∞.
• Dizemos que uma seq¨uˆencia {xn} diverge para −∞ se, dado R > 0 existe N ∈ N tal que xn < −R para todo n ≥ N. Neste caso escrevemos (^) nlim→∞ xn = −∞.

Referˆencias Bibliogr´aficas

[1] E. L. Lima, P. C. P. Carvalho, E. Wagner e A. C. Morgado, A matem´atica do Ensino M´edio, Cole¸c˜ao do Professor de Matem´atica, SBM.