Baixe Série de Taylor e MacLaurin: Cálculo II - Maria José Pacifico e outras Notas de aula em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Maria José Pacifico Instituto de Matemática - Universidade Federal do Rio de Janeiro
Os seguintes exemplos e exercícios complementam o capítulo 11 do livro “Stewart, J. Calculo, Vol II.”
Séries de Taylor e MacLaurin. Capítulo 11.
1. Séries de Taylor e de MacLaurin. Lembramos que dada uma função f : R → R, define-se sua série de Taylor ao redor do ponto x = a como
Taf (x) =
∑^ ∞
n=
f (n)(a) n!
(x − a)n. (1)
Como o lado direito da série de Taylor é uma série de potências, podemos calcular o raio de con- vergência usando algum método estudado anteriormente. Lembre também que f (n)(a) denota a n-ésima derivada de f avaliada no ponto a.
A série de MacLaurin , nada mais é do que a série de Taylor ao redor de x = 0; isto é,
T 0 f (x) =
∑^ ∞
n=
f (n)(0) n! xn. (2)
Theorem 1. Se f admite uma representação (expansão) em série
f (x) =
∑^ ∞
n=
an(x − a)n
Então Taf (x) =
n=0 an(x^ −^ a) n_._
Note que os coeficientes satisfazem an = f^
(n)(a) n! para cada^ n^ ≥^0.
Exemplo 1. Encontrar a série de MacLaurin da função
f (x) = (1 − x)−^2
usando a definição e encontre o raio de convergência.
Resolução. Precisamos primeiro achar (conjecturar) uma expressão geral para f (n)(0). Para isso, calculamos f (n)(0) para alguns valores de n.
Sabemos que f (0)^ = f , logo f (0)(0) = f (0) = (^) (1−^1 (0)) 2 = 1.
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Para n = 1, f (1)(x) = f ′(x) =
1 (1−x)^2
= (^) (1−^2 x) 3 ⇒ f ′(0) = 2.
Para n = 2, f (2)(x) = f ′′(x) = (^) (1^3 −·^2 x) 4 ⇒ f ′′(0) = 3 · 2.
Para n = 3, f (3)(x) = (^) (1^4 −·^3 x·^2 ) 5 ⇒ f (3)(0) = 4 · 3 · 2. Resumidamente,
n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 f (0)(0) = 1 f ′(0) = 2 f ′′(0) = 3 · 2 f (3)(0) = 4 · 3 · 2
Esses cálculos já são suficientes para conjecturar que f (n)(x) = (^) (1(−nx+1)!)n+.
Portanto, f (n)(0) = (n + 1)!
para todo n ≥ 0.
Assim, substituindo na equação (2), a série de MacLaurin da função dada é
T 0 f (x) =
∑^ ∞
n=
(n + 1)! n!
xn^ =
∑^ ∞
n=
(n + 1)n! n!
xn^ =
∑^ ∞
n=
(n + 1)xn.
Para calcular o raio de convergência podemos usar, por exemplo, o Teste da Raiz, sabendo que limn→∞ n
n + 1 = 1:
n^ lim→∞^ n
|(n + 1) · xn| = lim n→∞^ n
(n + 1) · |x|n^ = (^)
nlim→∞^ n
n + 1 · (^) nlim→∞^ n
|x|n^ = |x|.
Para garantizarmos convergência, precisamos que |x| < 1. Portanto o raio de convergência da série de MacLaurin de f é R = 1. ■
Problema 1. Encontre o intervalo de convergência da série de MacLaurin achada no exemplo acima.
Exemplo 2. Encontre a série de MacLaurin da função
f (x) = sinh(x).
Resolução. Como no exemplo anterior, calculamos f (n)(0) para alguns valores de n, para podermos “conjecturar” uma expressão geral. Por definição sinh(x) = ex^ − e−x 2
(ex^ − e−x).
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Exemplo 3. Determine a série de MacLaurin de
f (x) = 3x^2 − 6 x + 5
usando a definição e determine seu raio de convergência.
Resolução. Como antes, calculamos f (n)(0) nos primeiros valores de n, para assim podermos determinar uma expressão geral. Para n = 0, f (0)(0) = f (0) = 5. Para n = 1, f ′(x) = 6x − 6 , ⇒ f ′(0) = − 6. Para n = 2, f ′′(x) = 6, ⇒ f ′′(0) = 6. Para n = 3, f (3)(x) = 0, ⇒ f (3)(0) = 0. Como f (3)(x) = 0, é claro que f (n)(x) = 0 para todo n ≥ 3 , portanto,
n = 0 n = 1 n = 2 n ≥ 3 f (0)(0) = 5 f ′(0) = − 6 f ′′(0) = 6 f (n)(0) = 0
Assim, a série de MacLaurin é
T 0 f (x) =
∑^ ∞
n=
f (n) n! xn^ =
∑^2
n=
f (n) n! xn^ +
>
∑^ ∞
n=
f (n) n! xn^ =
f (0) 0! x^0 +
f ′(0) 1! x^1 +
f ′′(0) 2! x^2 = 5 − 6 x + 3x^2.
Como a série de Taylor é finita (os termos an = 0, para n ≥ 3 ), a série é convergente para qualque valor de x. Portanto, o raio de convergência é R = ∞. ■
Remark 2. O resultado acima não deve ser tão surpreendente, porque a série de MacLaurin de qualquer polinômio é o próprio polinômio.
Exemplo 4. Sabendo que a função cos(x) tem expansão em série:
cos(x) =
∑^ ∞
n=
(−1)nx^2 n (2n)! para todo x ∈ R,
determine a série de MacLaurin de cos^2 (x).
Resolução. Basta usar a identidade trigonométrica
cos^2 (x) = 1 + cos(2x) 2
Pois, conhecendo a expansão em série de cos(x), podemos calcular fácilmente a expansão em série de cos(2x). De fato,
cos (2x) =
∑^ ∞
n=
(−1)n(2x)^2 n (2n)!
∑^ ∞
n=
(−1)n 22 nx^2 n (2n)!
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Logo
cos^2 x =
1 + cos(2x) 2
∑^ ∞
n=
(−1)n 22 nx^2 n (2n)!
∑^ ∞
n=
(−1)n 22 n−^1 x^2 n (2n)!
Como o raio de convergência da série
n=
(−1)nx^2 n (2n)! é^ R^ =^ ∞, o raio de convergência da série 1 2 +^
n=
(−1)n 22 n−^1 x^2 n (2n)! tem que ser também^ R^ =^ ∞.^ ■
Exemplo 5. (a) Mostre que a função
f (x) =
∑^ ∞
n=
xn n!
é uma solução da equação diferencial y′^ = y. (3) (b) Mostre que f (x) = ex_._
Resolução. (a) Se f é solução de (3), deveria verificar que f ′(x) = f (x). Observe que
f (x) = 1 + x +
x^2 2
x^3 3 · 2
x^4 4 · 3 · 2
Derivando essa função termo a termo obtemos
f ′(x) = 1 + x +
x^2 2
x^3 3 · 2
x^4 4 · 3 · 2
que coincide com f (x). Portanto f ′(x) = f (x) e portanto é solução de (3). (b) Sabemos que as soluções de (3) são múltimos da exponencial (as únicas funções cuja derivada coincide com ela mesma); isto é, as soluções de (3) são da forma
ϕ(x) = a · ex, a ∈ R.
Em particular, f (x) = a · ex^ para algum a ∈ R (já que foi provado em (a) que f é solução). Assim,
a · ex^ =
∑^ ∞
n=
xn n! = 1 + x +
x^2 2
x^3 3 · 2
x^4 4 · 3 · 2
Avaliando em x = 0, obtemos
ae^0 = 1 + 0 +
Portanto, a = 1 e logo f (x) = ex. ■
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Para n = 1, f ′(x) = (^1) x , → f ′(2) = 12. Para n = 2, f ′′(x) = − (^) x^12 , → f ′′(2) = − 14. Para n = 3, f (3)(x) = (^) x^23 , → f (3)(2) = 28. Para n = 4, f (4)(x) = − (^3) x· 42 , → f (4)(2) = − 316 ·^2. Em suma n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 f (0)(2) = log(2) f ′(2) = 12 f ′′(2) = − 14 f (3)(2) = 28 f (4)(2) = − 166 log(2) (−1)^0 · 0! 2 (−1)1 1! 22 (−1)2 2! 23 (−1)3 3! 24
De onde podemos concluir que f (0)(2) = log(2) e f (n)(2) = (−1)n−1 (n− 2 n1)! se n ≥ 1. Portanto, a série de Taylor é
T 2 f (x) =
∑^ ∞
n=
f (n)(2) n! (x − 2)n^ =
f (0)(2) 0! (x − 2)^0 +
∑^ ∞
n=
f (n)(2) n! (x − 2)n
= log(2) +
∑^ ∞
n=
(−1)n−^1 (n − 1)! 2 nn! (x − 2)n
= log(2) +
∑^ ∞
n=
(−1)n−^1 n 2 n^
(x − 2)n.
O raio de convergência pode ser calculado usando o Teste da Raiz, sabendo que limn→∞ n
n = 1:
lim n→∞
n
(−1)n−^1 n 2 n^
(x − 2)n
∣ = lim n→∞
n
|x − 2 |n n 2 n^
= lim n→∞
√ n|x − 2 |n √ nn √n 2 n =^
|x − 2 | 2
limn→∞ n
n
|x − 2 | 2
Pelo Teste da Raiz, para que a série convirga, precisamos que |x− 2 2 | < 1. Assi, |x − 2 | < 2 e portanto, o raio de convergência é R = 2. ■
Exemplo 8. Encontre a série de Taylor de f centrada em x = 4 se
f (n)(4) = (−1)nn! 3 n(n + 1)
Qual é o raio de convergência da série de Taylor?
Resolução. Pela definição da série de Taylor, temos que
T 4 f (x) =
∑^ ∞
n=
f (n)(4) n!
(x − 4)n^ =
∑^ ∞
n=
(−1)nn! 3 n(n+1) n!
(x − 4)n^ =
∑^ ∞
n=
(−1)n 3 n(n + 1)
(x − 4)n.
Para calcular o raio de convergência podemos usar, por exemplo, o Teste da Raiz, sabendo que limn→∞ n
n + 1 = 1:
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n^ lim→∞^ n
(−1)n(x − 4)n 3 n(n + 1)
∣ =^ nlim→∞
n
|x − 4 |n 3 n(n + 1)
= lim n→∞
√ n(x − 4)n √ n 3 n √nn + 1
= lim n→∞
|x − 4 | 3 n
n + 1
|x − 4 | 3
O Teste da Raiz garante a convergência da série somente quando |x− 3 4 | < 1 , ou seja, quando |x − 4 | < 3. Portanto, o raio de convergência da série é R = 3. ■
Exemplo 9. Determine a série de Taylor de f (x) = 3x^2 − 6 x + 5 ao redor de x = − 1_. Achar seu raio de convergência._
Resolução. Como temos feito até agora, devemos achar os valores de f (n)(−1) para alguns valores de n, para podermos determinar uma expressão geral. Para n = 0, f (0)(−1) = f (−1) = 14. Para n = 1, f ′(x) = 6x − 6 , logo f ′(−1) = − 12. Para n = 2, f ′′(x) = 6, logo f ′′(−1) = 6. Para n = 3, f (3)(x) = 0, logo f (3)(−1) = 0. É fácil ver que f (n)(−1) = 0 para todo n ≥ 3. Em suma,
n = 0 n = 1 n = 2 n ≥ 3 f (0)(−1) = 14 f ′(−1) = − 12 f ′′(−1) = 6 f (n)(−1) = 0
Assim,
T 1 f (x) =
∑^ ∞
n=
f (n)(−1) n! (x + 1)n^ =
∑^2
n=
f (n)(−1) n! (x + 1)n^ +
∑∞ :^0
n=
f (n)(−1) n! (x + 1)n
= 14 − 12(x + 1) +
(x + 1)^2 = 14 − 12(x + 1) + 3(x + 1)^2.
Como a série é finita, o raio de convergência é R = ∞. ■
Exemplo 10. Determine a série de MacLaurin de
f (x) =
{ (^) x−sen(x) x^3 se^ x^ ̸= 0 1 / 6 se x = 0.
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Re-escrevendo,
1 − cos x 1 + x − ex^
1 − x 2 2! +^
x^4 4! −^
x^6 6! +^ · · ·
1 + x −
1 + x + x 2 2! +^
x^3 3! +^
x^4 4! +^
x^5 5! +^ · · ·
^1 −^ 1 +^ x
2 2! −^
x^4 4! +^
x^6 6! − · · · 1 + x − 1 − x − x 2 2! −^
x^3 3! −^
x^4 4! −^
x^5 5! − · · ·
=
x ^2
1 2! −^
x^2 4! +^
x^4 6! − · · ·
x ^2
− (^) 2!^1 − (^) 3!x − x 2 4! − · · ·
1 2! −^
x^2 4! +^
x^4 6! − · · · − (^) 2!^1 − (^) 3!x − x 4!^2 − · · ·
Usando a continuidade das séries de potências, obtemos
lim x→ 0
1 − cos x 1 + x − ex^ = lim x→ 0
1 2! −^
x^2 4! +^
x^4 6! − · · · − (^) 2!^1 − (^) 3!x − x 2 4! − · · ·^
Exemplo 12. Encontrar a soma das seguintes séries:
(a)
∑^ ∞
n=
(−1)nx^4 n n!
(b) 1 − log(2) +
log^2 (2) 2!
log^3 (2) 3!
(c)
∑^ ∞
n=
(−1)nπ^2 n 62 n(2n)!
Resolução. (a) Como aparece o termo n! no denominador do n-ésimo termo da série, uma primeira possibilidade é que essa série de potências represente alguma variante da função expo-
nencial. Lembramos que • ex^ =
∑^ ∞
n=
xn n!
Então, manipulando nossa série dada, tentaremos chegar numa expressão similar à da exponen- cial. (^) ∞ ∑
n=
(−1)nx^4 n n!
∑^ ∞
n=
(−1)n(x^4 )n n!
∑^ ∞
n=
(−x^4 )n n!
Da última série, podemos ver que
∑^ ∞
n=
(−1)nx^4 n n!
∑^ ∞
n=
(−x^4 )n n! = e−x 4
. ■
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(b) Primeiro, vamos escrever a expressão em (b) como uma série expressada em somatório. Para isso, começamos observando que os termos da série vão alternando seu sinal, portanto o termo (−1)n^ deve aparecer na série. Agora é fácil ver que
1 − log(2) + log^2 (2) 2!
log^3 (2) 3!
∑^ ∞
n=
(−1)n^ logn(2) n!
∑^ ∞
n=
(− logn(2))n n!
Fazendo x = − log(2) na expanssão da exponencial, obtemos
∑^ ∞
n=
(− logn(2))n n! = e−^ log(2)^ =
elog 2^
(c) Observe que ∑∞
n=
(−1)nπ^2 n 62 n(2n)!
∑^ ∞
n=
(−1)n (2n)!
( (^) π 6
) 2 n .
e como sabemos
cos(x) =
∑^ ∞
n=
(−1)nx^2 n (2n)!
Portanto, se avaliamos x = π/ 6 na expanssão em série da função coseno obtemos a soma desejada. Assim, ∑∞
n=
(−1)nπ^2 n 62 n(2n)!
= cos(π/6) =
Theorem 3 ( Desigualdade de Taylor). Seja f : (a, b) → R uma função infinitamente difer- enciável. Se |f (n+1)(x 0 )| ≤ M para x 0 ∈ (a − R, a + R) , então
|Rn(x 0 )| ≤
M
(n + 1)!
|x 0 − a|n+1.
Exemplo 13. Considere a função f (x) = sen(x). (a) Determinar a série de Taylor de f ao redor de x = π/ 2_._ (b) Achar o raio de convergência da série anterior. (c) Achar o intervalo de convergência da série. (d) Mostrar que a Série de Taylor achada em (a) representa à função seno.
Resolução. (a) Temos que determinar uma expressão para f (n)(π/2).
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(porque as funções seno e coseno são limitadas por 1 ). Portanto, se satisfazem as hipóteses da desigualdade de Taylor, logo
Tπ/ 2 (x) = f (x) para todo x ∈ (−R, R).
Como R foi escolhido arbitrariamente, f (x) = Tπ/ 2 f (x) para todo x ∈ R. ■
EXERCICIOS
Exercício 1. Represente as seguintes integrais indefinidas como séries de potências:
(a)
sen(πx) πx
dx_._
(b)
e−x 2 dx_. Pode dar uma aproximação do valor_
0
e−x 2 dx_?_
Exercício 2. Encontre a série de MacLaurin das seguintes funções e determine o raio de convergência: (a) f (x) = cos(
x). (b) f (x) = cosh(x). (c) f (x) =. (d) f (x) =
∫ (^) x
0
cos(
t)dt_._
Exercício 3. Determine a série de Taylor das seguintes funções no ponto que se indica, e calcule o raio de convergência: (a) f (x) = log(x) em x = 1_._ (b) f (x) = x 4 x − 2 x^2 − 1
em x = 1_._
(c) f (x) =
1 − x
em x = 0_._ (d) f (x) = log(1 − x) , em x = 0_._
Exercício 4. Usando séries de potências, calcule os seguintes limites:
(a) (^) xlim→ 0
log(1 − x^2 ) x^2
(b) lim x→ 0 +
cos(
x) − 1 2 x
Exercício 5. Achar a soma das seguintes séries numéricas:
(a)
∑^ ∞
n=
2)n^
(b)
∑^ ∞
n=
(−1)n n
(c)
∑^ ∞
n=
(−1)nk^2 nπ^2 n (2n)!
para todo k ∈ Z_._
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Exercício 6. Achar a série de MacLaurin e o raio de convergência da função
f (x) =
2 − x
Na seguinte tabela, resumimos as séries de MacLaurin das funções mais importantes.
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k n
k(k − 1)(k − 2) · · · (k − (n − 1)) n!
