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Um capítulo de um curso universitário sobre a integração de funções trigonométricas, especificamente sobre a integração de produtos de senos e cossenos e integrais evolutionares. O texto aborda as identidades trigonométricas necessárias para resolver esses tipos de integrais, seguido de vários exemplos de cálculo. Os exemplos ilustram o processo de transformar um produto de senos e cossenos em uma soma, utilizando as identidades trigonométricas apresentadas.
O que você vai aprender
Tipologia: Notas de aula
1 / 20
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Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson Jos´e Teixeira
At´e o momento, somos capazes de resolver algumas integrais trigonom´etricas relativamente simples. As integrais ∫ sen xdx,
cos xdx,
sec^2 xdx
s˜ao exemplos de integrais imediatas. J´a as integrais ∫ sen(2x)dx,
tg xdx,
sen(x) cos(x)dx
s˜ao exemplos de integrais que s˜ao resolvidas utilizando o m´etodo de substitui¸c˜ao.
Primeiramente abordaremos integrais com produto de senos e cossenos com argumentos distintos. Neste caso, utilizaremos as trˆes ultimas´ identidades anteriores.
Calcule a seguinte integral
sen(2x) cos(3x)dx.
Primeiramente, devemos transformar o produto em soma, utilizando as identidades acima. Utilizando as rela¸c˜oes trigonom´etricas apresentadas acima,
sen(2x) cos(3x)dx =
(sen(2x + 3x) + sen(2x − 3 x))
=
(sen(5x) + sen(−x))
=
(sen(5x) − sen(x)).
Portanto ∫ sen(2x) cos(3x)dx =
sen 5xdx −
sen xdx
cos 5x 5 + cos^ x
cos 5x 10
cos x 2
Portanto ∫ sen(3x) sen(5x)dx =
cos(2x)dx −
cos(8x)dx
sen(2x) 2
sen 8x 8
sen(2x) 4
sen(8x) 16
Resolva
cos(3x) cos(5x)dx.
Observe que
cos(3x) cos(5x)dx =
[cos(3x + 5x) + cos(3x − 5 x)]
= cos(8x) 2
Agora abordaremos integrais da forma ∫ senn^ x cosm^ xdx,
onde n, m ∈ Z, n, m ≥ 0.
Existem dois casos a serem considerados para resolver este tipo de integral:
I (^) Pelo menos um dos expoentes ´e impar, ou seja, m ´e ´ımpar ou n ´e ´ımpar. Neste caso utilizaremos a rela¸c˜ao
sen^2 x + cos^2 x = 1
e a integral ´e resolvida facilmente por uma substitui¸c˜ao. I (^) Ambos os expoente s˜ao pares, ou seja, m ´e par e n ´e par. Neste caso, deveremos utilizar as identidades
cos^2 x = 1 + cos 2x 2 e sen^2 x =^1 −^ cos 2x 2
Feito isso, a integral ´e facilmente resolvida pela ubstitui¸c˜ao u = cos x. Da´ı du = − sen xdx, e ∫ sen^3 xdx =
(1 − cos^2 x) sen xdx
= −
(1 − u^2 )du
=
(u^2 − 1)du
= u^3 3 − u + C
= cos^3 x 3 −^ cos^ x^ +^ C^.
Resolver a integral (^) ∫
cos^6 x sen^7 xdx.
O procedimento ´e o mesmo descrito anteriormente. Manipularemos o expoente ´ımpar. Assim, ∫ cos^6 x sen^7 xdx =
cos^6 x sen^6 x sen xdx
=
cos^6 x(1 − cos^2 x)^3 sen xdx
Resolver a integral (^) ∫
sen^4 x cos^2 xdx.
Neste caso, ambos os expoente s˜ao pares e o procedimento para se resolver ´e como descrito no segundo caso. Utilizaremos as identidades descritas no segundo caso e desta forma, podemos escrever
cos^2 x = 1 + cos 2x 2
(1 + cos 2x)
e
sen^4 x =
1 − cos 2x 2
(1 − 2 cos 2x + cos^2 2 x)
Assim, ∫ sen^4 x cos^2 xdx =
(1 + cos 2x)(1 − 2 cos 2x + cos^2 2 x)dx
=
(1 − cos 2x − cos^2 2 x + cos^3 2 x)dx
=
x −
sen 2x − I 1 + I 2
onde I 1 =
cos^2 2 xdx e I 2 =
cos^3 2 xdx.
cos^3 2 xdx
=
cos^2 2 x cos 2xdx
=
(1 − sen^2 2 x) cos 2xdx
Utilizando a mudan¸ca u = sen 2x, temos du = 2 cos 2x e desta forma,
I 2 =
(1 − u^2 )du
=
u −
u^3 + C
=
sen 2x −
sen^3 2 x + C
Logo, ∫ sen^4 x cos^2 xdx =
x −
sen 8x −
sen^3 2 x + C
