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CÁLCULO I
Equipe de Professores do Projeto Newton
Aula no^ 02: Funções.
Objetivos da Aula
- De nir função e conhecer os seus elementos;
- Reconhecer o grá co de uma função;
- Listar as principais funções e seus grá cos.
1 Funções
Consideremos A e B dois conjuntos. Uma função f é uma lei que associa a cada elemento x ∈ A um único elemento y ∈ B. O conjunto A é chamado domínio da função f , às vezes denotado também por Df , e o conjunto B é chamado contradomínio da função f. Costuma-se representar uma função pela seguinte notação: f : A → B Para a rmarmos que a um determinado x ∈ A está associado certo y ∈ B através da função f , costumamos utilizar a notação: y = f (x)
e dizemos que este y é a imagem de x por f. De nimos também o seguinte subconjunto do contradomínio, chamado conjunto imagem da função f
Imf = {y ∈ B| y = f (x), x ∈ A}.
Isto é, o conjunto imagem de f é o conjunto de todas as imagens de pontos do domínio por f. Uma forma de representarmos uma função é por meio do diagrama de echas, como ilustrado a seguir
Figura 1: Representação de uma função por um diagrama de echas
Observe que a cada elemento do domínio está associado um (e apenas um) elemento do contradomínio. Por exemplo, seja A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }, B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } e considere que
f (1) = 2 f (2) = 3 f (3) = 4 f (4) = 5 f (5) = 6
Note que Imf = { 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. A representação dessa função pelo diagrama de echas é feita da seguinte forma:
Figura 2: Exemplo de uma função representada por um diagrama de echas
Outra forma de representar uma função é através de seus valores numéricos. Por exemplo, considere a seguinte tabela: Dia Valor da Compra 02 2 , 8942 03 2 , 9260 04 2 , 9787 05 3 , 0100 06 3 , 0550 09 3 , 1285 Embora não tenhamos uma regra explícita, a tabela acima é função do conjunto D = { 02 , 03 , 04 , 05 , 06 , 09 }
em R, uma vez que para cada dia t ∈ D, existe um único valor correspondente de V (t) = Valor doa Compra no dia t. Em muitas situações não existe uma regra explícita que estabeleça a correspondência entre os elementos do domínio e contradomínio, sendo isto feito por meio de tabela de valores. Usando técnicas apropriadas é possível encontrar uma expressão para uma função que aproxime os valores dados na tabela. Contudo, tanto o diagrama de echas quanto a tabela de valores não são e cientes para representar uma função cujo domínio é um conjunto in nito. Por isso, a representação grá ca de uma função é a melhor forma de visualizá-la e entender o seu comportamento. E, para entendermos melhor esse tipo de representação, segue a de nição de grá co de uma função:
De nição 1. Seja f : A → B uma função. O grá co de f , denotado por Gf , é o seguinte subconjunto do produto cartesiano A × B: Gf = {(x, f (x)) ∈ A × B|x ∈ A} O grá co de uma função f nos dá uma imagem útil sobre o comportamento da função pois, uma vez que a coordenada y de qualquer ponto (x, y) pertencente ao grá co, é da forma y = f (x), podemos ler o valor f (x) como sendo a "altura"do ponto no grá co acima de x.
Figura 3: Entendendo f (x) como uma altura do ponto x no grá co de f.
A seguinte curva não é grá co de uma função, pois pelo menos uma reta vertical intersecta mais de um ponto da curva.
Figura 7: Teste da Reta Vertical: Exemplo de curva que não é grá co de uma função.
1.1 Restrições no domínio
Quando não especi cado, o domínio de uma função é o maior subconjunto A ⊂ R tal que a função esteja de nida. Contudo, para determinar esse maior subconjunto é necessário fazer algumas considerações, pois podem haver restrições sobre o domínio de uma função. Por exemplo,
Exemplo 1. Considere a função dada por f (x) =
x^2 − 1
. Determine o seu domínio.
Devemos determinar o maior subconjunto dos números reais, onde a função f esteja de nida. Para isso, note que a função é dada por um quociente de funções. Com isso, note que a função no denominador não pode ser 0 , pois não existe divisão por 0. Logo, os pontos onde a função não está de nida são os valores que zeram a função x^2 − 1. Dessa forma, fazemos
x^2 − 1 6 = 0 ⇒ x^2 6 = 1 ⇒ x 6 = 1 e x 6 = − 1
Logo, o domínio de f é o conjunto A = {x ∈ R|x 6 = − 1 e x 6 = 1}
Exemplo 2. Seja g(x) = 4
x^2 − 2 x. Determine o conjunto domínio de g.
Para isso, devemos notar que nenhum radical de índice par admite radicando negativo. Logo, o domínio de g devem ser os números reais tais que x^2 − 2 x ≥ 0. Logo,
x^2 − 2 x ≥ 0 ⇒ x(x − 2) ≥ 0
Estudando o sinal desse produto de polinômios, obtemos que
Figura 8: Estudo do Sinal de x(x − 2).
Logo, o domínio de g é o conjunto A = {x ∈ R|x ≤ 0 ou x ≥ 2 } = (−∞, 0] ∪ [2, +∞)
Exemplo 3. Determine o domínio da função h(x) =
2 x − 4 √ x^3 − 8
Note que no denominador, agora temos uma função raiz quadrada, logo, os valores reais que anulam ou que tornam a função x^3 − 8 negativa não podem estar no domínio de h. Desse modo, calculamos
x^3 − 8 > 0 ⇒ x^3 > 8 ⇒ x > 3
8 ⇒ x > 2
Assim, o domínio de h é o conjunto Dh = {x ∈ R|x > 2 }.
2 Funções Elementares
Existem vários tipos de funções que podem modelar problemas e situações do cotidiano. Apresentaremos, a seguir, algumas funções elementares e que serão muito utilizadas ao longo deste curso.
2.1 Funções Polinomiais
De nição 2 (Função Polinomial). Uma função f cuja regra é dada por:
f (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + an− 2 xn−^2 + · · · + a 2 x^2 + a 1 x + a 0
onde n é um número inteiro não negativo e an, an− 1 , an− 2 , ..., a 2 , a 1 , a 0 são números reais (ou constantes) chamados de coe cientes do polinômio, é chamada polinomial. O número inteiro n é chamado grau do polinômio.
Dependendo do grau do polinômio, temos algumas classes de funções polinomiais que são muito co- nhecidas e que já foram amplamente discutidas no ensino médio. A seguir, mostraremos algumas dessas funções e seus respectivos grá cos.
Exemplo 4 (Função Polinomial do 1o^ Grau ou Função A m). A função polinomial do 1o^ grau (ou simples- mente função do 1o^ grau) é toda função que associa a cada número real x o valor numérico do polinômio ax + b, com a 6 = 0. Os números reais a e b são chamados, respectivamente, de coe ciente angular e coe ciente linear. Simbolicamente: f : R → R x 7 → ax + b O grá co da funçãof (x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados. A depender do valor de a, a função f pode ser dita crescente (para a > 0 ) ou decrescente (para a < 0 ). Observe, a seguir, o grá co da função do 1o^ grau:
Figura 9: Grá cos da Função A m. À esquerda, temos o grá co de uma função crescente e à direita, o grá co de uma função decrescente.
2.2 Funções Racionais
De nição 3 (Função Racional). Uma função racional f é a razão de dois polinômios:
f (x) = P (x) Q(x)
em que P e Q são polinômios. O domínio consiste em todos os valores de x tais que Q(x) 6 = 0.
Exemplo 7. A função f (x) = x − 1 x + 1
é uma função racional, cujo domínio R − {− 1 }. Observe o grá co:
Figura 12: Grá co da Função f (x) =
x − 1 x + 1
Exemplo 8. A função f (x) =
(x^2 + 3x − 4)(x^2 − 9) (x^2 + x − 12)(x + 3) é racional e seu domínio é R − {− 4 , − 3 , 3 }. Observe
o grá co:
Figura 13: Grá co da Função f (x) =
(x^2 + 3x − 4)(x^2 − 9) (x^2 + x − 12)(x + 3)
2.3 Função Potência
De nição 4 (Função Potência). Uma função da forma
f (x) = xα,
onde α é uma constante, é chamada função potência. Observe que, se α = 1, 2 , 3 , ..., a função potência é uma função polinomial. Se α = 1/n, com n positivo, dizemos que a função é do tipo raiz.
Exemplo 9. A função f (x) =
x é uma função raiz, onde α = 1/ 2. Observe o grá co:
Figura 14: Grá co da Função f (x) =
x
Observe que essa função só está de nida para x ≥ 0.
Exemplo 10. A função f (x) =
x
é uma função potência. Seu grá co é um tipo de curva denominada
hipérbole.
Figura 15: Grá co da Função f (x) =
x
Observe que o domínio da função modular é o conjunto R e a imagem desta função é o conjunto R+.
Exemplo 13 (Função Heaviside). A Função Heaviside, muito utilizada na eletricidade para representar chaves que ligam e desligam, é de nida por:
H(t) =
0 , se, t < 0 1 , se, t ≥ 0
Note que o domínio desta função é R e a imagem é o conjunto { 0 , 1 }, formado apenas de dois elementos. Representamos gra camente esta função a seguir.
Figura 18: Grá co de H(t).
Exemplo 14 (Função Maior Inteiro ou Função Escada). A função maior inteiro denotada entre colchetes e de nida por: f (x) = [x], ∀ x ∈ R
representa o maior inteiro que é menor que ou igual a x. Atribuindo alguns valores para x, ela tem como imagem números inteiros. Por exemplo: [0, 8] = 0, [1, 5] = 1, [− 1 , 75] = − 2 , [− 0 , 4] = − 1 , [π] = 3, etc. Gra camente, temos:
Figura 19: Grá co da Função Maior Inteiro.
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas seções 1.1, 1.2 e 1.6 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das seções 1.1 e 1.2 do livro texto.
Dica importante
Utilize algum software matemático, como por exemplo o Geogebra, para plotar grá cos de funções e veri car os conceitos geométricos apresentados nessa aula, como o teste da reta vertical.
