Calculo Diferencial e Integral - N. Piskounov - Vol.1, Notas de estudo de Informática

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N. PISKOUNOV CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL VOLUME I TRADUÇÃO DE: ANTÔNIO EDUARDO PEREIRA TEIXEIRA Uicanciada em Economia (U, P.) Contabilista diplomado (1. €. P.) MARIA JOSÉ PEREIRA TEIXEIRA Contabilista diplomada (1. C. P.) 18º EDIÇÃO EM LÍNGUA PORTUGUESA EDIÇÕES LOPES DA SILVA -PORTO-2000 | DA BAHI URIVEASIDADE E FEDERAL TOMBAMENTO To he LIS Data do ONA Todi os direitos de adaptação e de reprodução por todos os processos, reservados para todos os países de expressão Portiiguesa, de acordo com us leis em vigor É LIVRARIA LOPES DA SILVA — EDITORA Composta » impressa nas Oficinas Dtificos Reunidos, Lea RA Aivncas Cabral, 23:37 - Talat 222 000 BON - Fux 252 007 134 AOSÓ-MO PORTO = 3000 8x = JAN 2000 Dep Legal HS DETIRA INDICE CAPITULO 1 Número, variável, funções Números reais. e dos números reais pelos pontos do eixo numérico . +. ve od figa Rag 0 AI CT doem Ely! É Grandezas variáveis e grandezas constantes . . Domínio de definição duma variável . - Variável ordenada: Varidvel eomcnsiaco oi diereanenit varid- vel Hmrtada e vw gos gia aa gos - Diversas formas de expressão das funções - Principais funções elementares. Funções elementares . Funções algébricas. cs cs Sistema de coordenadas polares . Esto 7 Bus pede nr Ea CAPITULO 11 Limite e continuidade dos funções - Limite duma dr, variável. Grandeza variável infinitamente grande EE MES O é 5 4 Limite de uma função EA as E Funções que tendem pará o infinito. Fanções: 1 toa Infinitamente pequenos e as suas propriedades fundamentais , Teoremas fundamentais sobre os limites . sena Limite:da função, — "= quando; 20 RR Ef O número e. Ls os ae e a e aa Logariimos neperianos . cc cs a a as Continuidade das funções. cc ca Propriedades das funções contínuas . Comparação de infinitamente pequenos diseredéiia vç SM Ee Em A u 13 16 tz 19 BUS SArSsÊ bp aR=SE â INDICE CAPITULO VI Curvoturo duma curvo $ 1. Comprimento do arco e sua derivada i 22 ps das RO a ca à sa a & 3. Cálculo da curvatura. ge ão oa RB & & Cálculo da curvatura das qurvas sob a forma gariinários ed AM & 5. Cálculo da curvatura das curvas em coordenadas polares . no & 6 Raio e circulo de curvatura. Centro de curvatura. Evoluta é evolvénte 231 & 7. Propriedades da evoluta E RE: $ 8 Cálculo aproximado das raízis reais dogs enuação NR aa 240 Exercícios . . ao. “ RR 245 CAPITULO Vil Números somplexos, Polinômios 6 |. Números complexos. Definições . . e dg 249 4 2 Principais operações sobre ou húmeros campleoãe e ie 251 4 2 Elevação de um número complexo a uma potência e ameaição da raiz dum número complexo . . & 4 Função exponencial de expoente eêmplas à é suas “propriedades 27 & 5 Fórmula de Euler. Forma exponencial dum número complexo 260 5 6 Decomposição dum polinómio em factores os e HH 6 7. Raizes múltiplas do polinómio . 264 & 8. Decomposição em factores dum polindenia no caso. das malzes complexas . . e atagrs 266 E.5; Inlerpolação. Fórmula de interpolação de ph à Med 287 * 10, Melhor aproximação duma pesto is polinômios. Teorema de Tehébychev t Re PRE. ZM Elerciçãos a ces mm ro co is cp A TDT CAPITULO VII E Funções de várias variáveis 8 | Definição das funções de várias variáveis «0 os A : 2 Aaprutantação pediiica irma: Hu. qo Sa. 6 & 3 Crescimento parcial e crescimento total da função . . . 2 27 & 4 Continuidade das [unções de várias variáveis =. 29 & S Derivadas parciais duma função de várias variáveis . 281 É 6 Interpretação geométrica das derivadas parciais duma função de duas variáveis . nt ca nau a $ 7 Crescimento total e diérencial total nm 4 + 2 & 8 Emprego do diferencial total pára os cálculos aprosiviádos - 288 INDICE E) Emprego do diferencial para avaliar o erro cometido durante os cálculos numéricos sao tp ABA Derivada “doma função composta. Derivada: total E 283 Derivação das funções implícitas is Mm 295 Derivadas parciais de diferentes ordens. sus 298 Superfícies de nível. E OMS WE Wa 303 Derivada segundo uma dada “direcção e, mm MS 4 Gradiente . mM o N6 Fórmula de Taylor para uma função de duas “variás - Mo Máximo e minimo duma função de várias variáveis 2 Máximos: é mínimos das funções de várias variáveis subenetidas a a certas condições (máximos e mínimos ligados) . . 3a Pontos singulares duma curva + cu E job e gas Emenda perus caso copo e sp Mo 32 CAPITULO IX Aplicações do cóleulo diferencial na geometria do espaço Equação duma curva no espaço . RR +: Limite-e derivada duma função vectorial duma variável escalar lide: pendente. Equação da tangente 4 uma curva, Equação do plano normal 140 Regras de derivação dos vectores (funções vectoriais) . . . . 347 Derivadas, primeira e segunda, dum vector em relação ao compri- mento do arco, Curvatura da curva. Normal principal . 349 Plano osculador. Binormal. Torção duma curva empenada o 36 Plano tangente e normal a uma superfício . . cc 0 MH Exercícios 2 à uu - sen Gg Aoib o 365 CAPITULO X Integral Indefinido Primitiva e integral indefinido. cuco A Quadro de integrais E e Algumas propriedades do integral indetinido 2 20 cc 73 Integração por mudança de variável . 375 Integração de certas expressões contendo O lrinômio at + br te 38 Integração por partes. : a8t Fracções racionais. Fracções racionais » diementares e sua jalegração 3as Decomposição das fracções racionais em elementos simples . . 389 Integração das fracções racionais . . os ce crase AM Mietado de Ostrogradsky . ss se e + 396 Integração das funções irracionais EE ao Integrais do tipo [Rig VE FE ra de fo ue a aê! ah 401 Integração dos binúmios diferenciais . . =. us Integração de certas classes de funções teigonasnáiibrat os “08 ES DICE e a te vm um BemaBima mp apr ans Integração de certas funções irracionais com o auxílio de transfor- mações trigonométricas . cr cc cs Funções cujos integrais não podem ser expressos por mentaros = os na a RR Exercícios. O RR uid: ei Ee CAPITULO XI Integral definido Posição do problema. Somas integrais inferior superior - + - Integral definido =seylo so cs ms a Propriedades fundamentais do integral definido . . +» . Cálculo do integral definido. Fórmula de Newton-Leibniz , Mudança de variável num integral definido , cu Integração por partes. «cc rs Alargamento da noção de inte O O Cálculo aproximado dos integrais definidos . + ces Fórmula de Tehébychev 2 cs e e e em Integrais que dependem dum parâmetro . cr CAPITULO XIt Aplicações geométricas e mecânicos do integral definido Cálculo das áreas em coordenadas reclangulares o. + 0» Área dum sector curvilíneo em coordenadas polares + Comprimento dum arco de curva cc ce mms Cálculo do volume dum corpo em função das áreas das secções paralelas... e a: Volume dum como de revolução . Lc ss ss Área dum corpo de revolução à cs sr lira iam Cálculo do trabalho por meio do integral definido. 4 vs Coordenadas do centro de gravidade . us cacos eve a Exercícios «va ea e aa a Anexo | Estabelecimento duma dependência funcional a partir dos dados experimentais pelo método dos mínimos quadrados . Anexo || Fórmula de Interpótação de Newiom, Derivação numérica . «a Indice alfabético POR sé na E ve ais ais am & s1o s13 PREFÁCIO A 3º edição em lingua francésa conserva como essencial U conteúdo da 2.º edição. Carsos capítulos Foram profundamente revistos e completados, em especial aqueles que tratam de certos ramos das matemáticas modernas, cujo conhécimento É nos nossos dias indis- pensável a todo o engenheiro. Na parte «Exercicios» aumentou-se o número de problemas, indo sobre aqueles que, mais difíceis, exi- gem mais reflexão. O material desta nova edição é apresentado em dois volumes. No primeiro volume, us capítulos iniciais «Número, variável, função» e «Limite e continuidade das funçõeso foram resumilos na medida do possível Cerias questões, habitualmênto tratadas nestes capitulos, foram conscientemente reportadas uos capitulos seguimes. Isto permitiu abordar mais rapidamente a derivada. noção fundamental do cálculo diferencial; esta necessidade fui-nous ditada pelas exigências das outras disciplinas do ensino técnico superior. O bom fundamento duma tal disposição foi felizmente confirmado pela experiência de vários anos. No Em do primeiro volume inseriuse os anexos 1 e H expondo problemas muito importantes parir o engenhairo: eEstabelscimento duma cenendência funcional à partir de dades experimentais pelo método dos minimos quadrados e «Fórmula de interpolação de Newton. Derivação numérica» No segundo volume. para assegurar aus estudantes uma prepa- ração: matemática oque lhes permita aburdar disciplinas ligadas à automação e aos métodos ade cálculo au o. que são hoj ensi- nadas nos estabelecimentos de ensinm técnico superior, vários desen- volvimentos, tratando em detalhe destas questões. foram inseridos: «lntegiação numérica das equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais» (*). «Integração de sistemas diferenciais lincareso, «Nução sobre é teoria da estabilidade de” Liapounove. «Operador hamiltonianos, «Integral de Fouriere, cio 1105 métodos de esleuto numérico habitualmente tratados nos cursos de amdliio sho ipualimente expostos neste manual 14 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Se o número x, é positivo, representá-lo-emos pelo ponto M, situado à direita da origem e distante de O de OM, =x: da mesma forma se O número x; é negativo, nós representá-lo-emos pelo ponto My situado à esquerda de O e distante de O de OM: = & (figo D. O ponto O representa o numero zero. É evidente que todo O número real é representado por um só ponto do eixo numérico. À dois números reais distintos correspondem dois: pontos diferentes (fig. 1) do eixo numérico. A afirmação seguinte É verdadeira: cada ponto do eixo, numérico é a imagem dum só número real (racional ou irracional). Assim existe uma Correspondência biunivoca entre todos os números reais e todos os pontos do eixo numérico: a cada. número mu LA a e e À “Ef j Zoo Fig. + corresponde um ponto único € inversamente à cada ponto corresponde “um só número de que elê é imagem. Isso permite em numerosos raciocínios empregar indiferentemente à noção de «número x» ou à de «ponto x». Neste manual teremos frequentemente, à ocasião de tirar partido desta observação. Indiquemos, sem 4 demonstrar, d propriedade seguinte, relativa “* ao conjunto dos números reais: entre dois números reais quaisquer, existent sempre números racionais e números irracionais, Geomêtrica- mente isto significa: emre dois pontos quaisquer do eixo numérico, existem sempre pontos racionais e pontos irracionais. ] À guisa de conclusão, citamos o seguinte teorema que representa, de qualquer mudo, o papel de um «ponto lançado entro a teoria e a práticas. da Teorema — Todo o número irracional a pode ser expresso com o grau de precisão desejudo como auxilio dos números racionais. Com efeito, seja a um número irracional positivo. Propunhamo-nos calcular q valór aproximado de a 4 menos de É (por exemplo, a menos de » a menos de ar etc). Qualquer que seja u número «, ele está incluso entre dois números inteiros consecutivos N e N + |. Dividamos o segmento compreendido entre Ne N+1 em n partes iguais Então a encontrar-se-á incluso entre dois números racionais N + Te Wes. A diferença entre estes “dois números, sendo igual à +, cada um deles exprimirá « com a precisão desejada, o primeiro por defeito, o segundo por excesso. NCMERO, VARIAVEL, FUNÇÕES 15 - Exemplo — O número irracional W/Z exprime-se com a ajuda dos múmeros tacionais: lá EIS amenos de do 1 TAL A: E ITE AL e AZ a ménos de qu, Lage LAIS a menos de ete 1 tUDO 8 2 Valor absoluto dum número real Intróduzamos ágora a noção de valor absoluto de um número real. Definição — Chama-se valor absoluto (ow módulo) de um número real x (notação |x|) ao número real não negativo, que salisfaz as seguintes condições: Izi== se +20; tz=— 2 se 2<]0. Exemplos: 12] =Sj=5; |0|-0. Resulta desta defi que para todo x se tem x< |x). Vejamos algumas propriedades do valor absoluto, 10 valor absoluto da some algébrica de vários números reais não é superior à soma dos valores absolutos dos componentes. t+ ui =| + Il. Demonstração — Seja x + y > 0, então ir yl=2+ << | + | yl (porque 2<<|2] 0 u<]|g]). Seja x +y<0, então Iepul=-tetp=(-9+(-us|zl+yl, e qd A demonstração pode ser facilmente alargada a um número qual- quer de termos. Exemplos: [245 <|-2 [Bh 2 t=a>B|=|>8 H=5- 2. O vulor absoluto de diferença não é inferior à diferença dos valores absolutos: tr—sisizi—lul. Demonstração — Façamos x— vy ==, então x=y+ 1 e segundi a propriedade precedente, ESSA lri= 14% tulHal=[ 2] Elz—yl. 15 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL donde lul=Ipi0 Po 28 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL valorés de x; as funções y= tg x e y = sec x são definidas para todos os valores, excepto nos pontos x = (2k + 1) E (K=0, 12 cas funções y= cotg x e y = cosec x são definidas para todos os valores de x excepto nos pontos x=kr (k=0, |, 2, ...). Os gráficos das | funções trigonométricas estão representados sobre as figuras 15 a 19. veloga 2a 0 Ei Za “E f) Ea Fig. 18 Fig, (8 Fig: 14 No decorrer das lições estudaremos em pormenor os gráficos das funções trigonométricas inversas, a Introduzamos a noção de função de função. Se y é uma função | de u, e u uma função da variável x, y depende então de x. Seja v= Fu) u=wlal Deduzimos uma função y de x:y=F [p (MD). Esta última chama-se função de função ou função composta. Exemplo. Seja y=sen wu e u=2 A função y=sen (x) é uma função composta de 2; Nota —O domínio de definição da função y = Fly (x)] é ou o dominio de definição completo da função u = (x), ou b parte deste domínio no qual os valores de u pertencem ao domínio de definição da função E (u), Exemplo—2 O domífiio de definição da função y = VT = É iy= Va u=1=x) € o segmento [— 1, 1) visto que quando |x/>1, u<]0, e por te, a função VW não é definida fembora a função u=1 = seja todos os valores de x). O gráfico desta função é a metade ircunferência de raio 1, cujo centro é a origem das coordenadas. Po 28 CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A operação «função de função» pode ser executada não sómente uma vez, mas um número arbitrário de vezes. Por exemplo, obtém-se a função composta y = Log [sen ( + 1] executando as operações seguintes (em definindo as funções seguintes): rettt, u=8ncr v—Logu. Dêmos à definição duma função elementar, Definição — 2. Chama-se função elementar toda a função que pode ser dada com à ajuda de uma só fórmula do tipo y = f(x) onde a função f(x) € o resultado das combinações de funções elementares principais c de constantes realizadas com a ajuda das operações de adição, Fig, 2 de subtacção, de multiplicação, de divisão e de função de função: todas as operações devem ser efectuadas um número finito de vezes. Resulta desta definição que as funções elementares fazem parte das funções definidas analiticamente. Exemplos de funções elementares: En loga 4P +23 tp v=ViDia pofBtitiicis pe dependa ET «te, Exémplo de função não elementar: A função y= 123... “nn (4 =Hy)) não é uma função elementar visto que o númsro de operações que se deve efectuar para obter y cresce com n, isto é, não é um número finito. Noa—A função representada sobre a figura 20 é uma função elementar se bem que ela seja dada com a ajuda de duas fórmulas: fij=z é Ogrçt fj= Pode-se mostrar que esta função pode ser dada com a ajuda de uma única fórmula y = | (x), como indicada na definição 2. Com efeito, pode-se escrever: NOMERO, VARIÁVEL, FUNÇÕES 29 $ 9. Funções algébricas As. funções algébricas compreendem as funções elementares seguintes: 1 Função racional inteira qu polinômio p= a ++... + am em que as, a «: Ga São números constantes chamados: coeficientes; n é um inteiro positivo que se chama grau do polinómio. É evidente que esta função é definida para todos os valores de x, isto é, que cla é definida num intervalo infinito, Exemplos— 1. y=ur+b é uma função linear. Quando b=0, esta função exprime-uma dependência entro x cy tal que estas duas variáveis são proporcionais, Quando a=0, y=b a função é constante, “A a>e “4 aco T Er a) 5) Fig, 21 2 y=or+br+te é uma função do segundo grau. O gráfico desta função é uma parábola (fig. 21). O estudo pormenorizado destas funções é O objecio da geometria analítica. IL Frucções racionais. Esta função é definida como o quociente de dois polimónios: PR di si Ai PR “Eb Loco ba Um exemplo de fracção racional é-nos fornecido pela função nja = que exprime úma dependência inversamente proporcional. O gráfico desta função é dado sobre a figura 22. É evidente que a fracção racional é definida para todos os valores de x excepto, os valores para os quais o denominador se anula. WL Função irracional. Diz-se que a função y = f (2) é irracional, se f(x) é o resultado das operações de adição, de subtracção, de multi- a CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL Exemplo—2. p=ap, onde a = const Dispunhamos sob a forma de quadro os valores de p para certos valores de q: edi EE às = 4 Pe 2,80 0) att a)ja 4,7 de 8,28! 4 oe orsaje Lista A curva correspondente está representada sobre à figura 26: Esta curva chama-se Espiral de Arquimedes. Fig. 26 4 —3.. Exemplo picas: É a equação dum círculo de raio q, cujo centro se +enconira no ponto m=a p=0 (fig; 27 Escrevamos a equação deste círculo no sistema de cordenadas rectangulares. Obtituiado mesa equação p=EDIE; eoq VEiF vê tem: =! ld st yi= da VE ou att dar==t, Exercícios 1. Seja dada a função f (uj= 42+ 6r— 4, Verificar as igualdades f (1) =3, fG)=23 9. f(x)= 2 +1, Calóular os valores: a) f (4) Resposta 17. hj | VE, Resp 3. e) | (a + 1), Respi at E 2a + 2. df (a) 4 4, Respo alto 3 | dns. Respe a! + 1.1) [4 (a). Respo at 20? + 1.8) f (2a). Resp. dat. 3 qui El, Formar as espressões: (5) w A Repeg (=)= ERR FA: z E sm E =545! Tl Formar as espressões:: p(2r) e ap(0). Resp p(r)— M=2. NUMERO, VARIAVEI, FUNÇÕES 33 5 fl0j=g 0, Verificar a ifualdado do riem ias - 1— a " 6 q (ej=log (E Verificar a igualdade de pla) te b)=q (EE 7. [= log x; plz) = 22. Formar as espressões: ; a) | [q (2)]. Resp. 3 log 2. z by 4 (eh) Resp 3 log soe [f (a)]. Resp. [log af. . Indicar o domínio natural de definição da = +. Rep— o <22<+ o. DES a ” W, Indicar os domínios naturais de definição das funções: a) Via, Rep —Age<4t db) VOday z. Resp. —31€ 7. ua ar e VETe—y=—». Rep —co0), Resp. —co 0, sé pode indicar um valor da variável x tal que todos os valores consequentes da variável verifiquem a desigualdade x — | 5, verificam a desigualdade Im—il1— 575 E ! md vi mEttogdo es Esta variável tem um limite igual à unidade. Com efeito, pas (reter) j=4. Para e arbitrário a partir den satisfazendo a celação a no. E 1 nlog35> log À 1 log “og? * O% valores seguintes de x verificam a desigualdade [3 — [| e. Notemos que neste caso o valor da variável é tanto maior, quanto Er o do valor limite. A variável tende para o seu limite «oscilando à Nota—l, Como foi indicado no & 3 do Capí É pitulo E, a grandeza donstante c pole ser considerada como uma variável onde todos os valores são iguais: x = e. É evidente que o limite duma grandeza constante € igual à ea constante, visto: que a desigualdade |x—- e|=|e>c|=0b quando x>a traduz-se no gráfico da função y = J (x) da seguinte maneira (fig. 31); visto que da desigualdade lx—a|< 5 resulta a desigualdade |f (x) — b| <, então os pontos M do gráfico da função y = f(x). correspondentes a todos os pontos x cuja distância até ao ponto a é interior a & estão contidos numa faixa de largura 2e delimitada pelas rectas y=b—-cey=b+e. Nota-—l. Pode-se igualmente definir o limite da função (5), quando x->a, da seguinte maneira. Seja uma variável x tomando valores tais que (ordenados de tal maneira que) se Figo je cal=|2""—ab então «** é um valor conséquente ex* um valor antecedente. Se - —. = ma | —a] lg —a| 0 E TE então 7** é consequente e x* antecedente, Doutro modo. de dois pontos da recta numérica o ponto conse- quente é aquele que está mais perto. de a, Se os pontos estão a igual distância de a, O ponto consequente será aquele que se encontra à direita de a. Seja“uma variável x ordenada desta maneira € tendendo para o limite a [x—>a ou lim x =a), 4 Consideremos a variável y = [(x). Além disso, admitamos duma vez para sempre que de dois valores da função O valor consequente é&.o que corresponde ao valor consequente da-variável x. Se uma grandeza variável y, definida como foi acima indicado, tende para um limite à, quando x —+a, escreveremos então limft)=b ag e diremos que a função y = [(x) tende para o limite b para x a Demonstra-se facilmente que estas duas definições de limite são equivalentes. Nota—?. Se f(x) tende para o limite b, quando x tende para um número à tomando apenas valores menores que a, escreveremos então lim f(x) =, é chamaremos b, o limite à esquerda da função ) ado f(x) no ponto à. Se x toma valores maiores que a escreveremos LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES 39 então ue mede e chamamos b; o limite à direita da função no ponto a (fig. 32). ; Pode-se demonstrar que se os limites à esquerda e à direita exis- tirem e forem iguais, isto é b=b;=b, então b é o limite desta função no ponto a no sentido definido acima. Inversamente, se uma função tem um limite 5 no ponto a, os limites desta função no ponto a à esquerda e à direita existem e são iguais. y E, Ex lo—1, To nd ada 1. Mostremos que Í Ea] | Com efeito, seja 2>0 di | arbitrário dado; pr q pr pe A [fz [Gr+n—7|a, não é necessário que a função seja definida no Duo od Quando calculamos um limite, devemos considerar os valores da função na vizinhança do ponto a, mas diferentes di laram Ilustrado pelo exemplo seguinte. ad a s2— 4 s—2 Exemplo—2. Mostremos que lim RES Aqui a função hão é definida para x=2. Devemos demonstrar que pára Ditrári pode aque seja satisfeita à desigualdade fiseramçe. 8 due pa ad É E sj o se para cada número positivo e por mais pequeno que seja se pode indicar um número positivo NM tal que para todos os valores de x verificando a desigualdade |x|>N a desigualdade | (x) — b|< € é satisfeita. Exemplo —3. Mostremos que tm ( ou que lim (115) = aces = É necessário demonstrar que, qualquer que seja €; a desigualdade n 1 o 3) [e )-i|<: (6) será satisfeita desdo que |x|>N, onde N é definido pela escolha de É. A desigualdade (3), é equivalente à desigualdade seguinte: | setisfeita se sé liver L ) pEISç=M. El tip 3. Isso. significa. que lim (1 +=tim E = so e Fig. 33 A significação dos símbolos x =>» € x — ed torna evidente a das expressões «f (x) tende para b quando x — + mo» € «f (x) tende para b quando x => — ca que se nota simbôlicamente por lim fti)=6 lim ftg=». + LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES E $ 3. Funções que tendem para o infinito. Funções limitadas Estudámos os casos em que à função f(x) tende para um certo limite & quando x=>a ou x=> co. Consideremos agora o caso em que a função y = f(x) tende para infinito quando a variável x varia duma certa maneira. Definição— 1. A função f(x) tende para O infinito quando xa, isto é f(x) é infinitamente grande quando x => a, se para cada número pasitivo M, por maior que seja, se pode encontrar um número 5>0 tal que para todos os valores de x diferentes de a e verifi- cando a condição ix — a| < 8, à desgualdade |f(m)|>M é satisfeita. Se f(x) tende para infinito quando x—> a, escreve-se: lim fuj=". ou f(x) =» vo quando x =, Se f(x) tende para o infinito quando x-»a, tomando apenas valores positivos ou valores negativos, escreve-se respectivamente lim fl)=+eo é lim [(1)=— o. E a Exemiplo— 1. Mostremos que lim bm +. Com efeito, qual a apê Qualquer apt que seja M DO tem-se: desde que cad U-ai0 tem-se 1 EA Ed donda que jal=pe=0[opim aco (+)