Baixe Cálculo de Áreas e Volumes: Exercícios Resolvidos e outras Transcrições em PDF para Matemática, somente na Docsity!
APOSTILA DE CÁLCULO
DIFERENCIAL E INTEGRAL II
x
y
z
a b
y=f(x)
r=f(x)
dx
Cálculo do elemento de volume
dV= r dx
dV= f(x) dx
π [ ]²
x
y
a b
y=f(x)
Área plana
Colaboradores para elaboração da apostila: Elisandra Bär de Figueiredo, Enori Carelli, Ivanete Zuchi Siple, Marnei Luis Mandler
Versão atual editada por Elisandra Bär de Figueiredo Para comentários e sugestões escreva para dma2ebf@joinville.udesc.br
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Joinville, julho de 2011
Capítulo 1
INTEGRAL DEFINIDA
Objetivos (ao nal do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de):
- De nir integral inferior e integral superior;
- Calcular o valor da integral de nida por de nição;
- Aplicar o teorema fundamental do cálculo e suas propriedades;
- Calcular integral de nida por substituição de variáveis;
- Resolver exercícios que envolvam integrais impróprias;
- Resolver exercícios que envolvam integrais impróprias de funções descontínuas;
- Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas retangulares;
- Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas polares;
- Calcular áreas delimitadas por funções em coordenadas paramétricas;
- Calcular volume de um sólido de revolução;
- Calcular o comprimento de um arco em coordenadas retangulares, paramétricas e po- lares;
- Calcular a superfície de um sólido de revolução;
- Resolver problemas através da integral nas áreas de física, produção, economia entre outras aplicações;
- Resolver exercícios usando uma ferramenta tecnológica.
A prova será composta por questões que possibilitam veri car se os objetivos foram atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formu- lação das questões é o modelo adotado na formulação dos exercícios e no desenvolvimento teórico desse capítulo nessa apostila.
1.1 Introdução
Neste capítulo estudaremos a integral de nida. Uma das principais aplicações da integral de nida encontra-se em problemas que envolvem cálculo de área e volumes. Por exemplo, seja f : [a, b] → R uma função contínua tal que f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Nosso propósito é determinar a área da região delimitada pela curva y = f (x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, conforme Figura 1.1 abaixo:
a y^ b
x
f
Figura 1.1: Área da região R
Estimando o valor da área R: Sabemos como calcular a área de um retângulo (base × altura). A área de um polígono podemos obter subdividindo-o em triângulos e retângulos. No entanto, não é tão fácil encontrar a área de uma região com lados curvos. Assim, parte do problema da área é utilizar uma ideia intuitiva do que é a área de uma região. Recordemos que, para de nir uma tangente, primeiro aproximamos a inclinação da reta tangente por inclinações de retas secantes e então tomamos o limite dessas aproximações. Utilizaremos uma ideia semelhante para obter áreas. Por exemplo para calcular a área da região R vamos dividir o intervalo [a, b] em 2 subin- tervalos de comprimento ∆x = b− 2 a. Denotamos os extremos destes subintervalos por xi, onde i ∈ { 0 , 1 , 2 }. Veja que, neste caso, temos x 0 = a, x 1 = c e x 2 = b. Na Figura 1.2, considere os retângulos de largura ∆x e altura Mi = M ax{f (x) : x ∈ [xi− 1 , xi]}.
a y (^) c (^) b
x
f
Figura 1.2: Estimativa por soma de áreas de retângulos
Deste modo obtemos um polígono circunscrito a região R cuja área é dada pela soma da área dos dois retângulos. Como a base é a mesma, podemos dizer que a área é dada
por
∑^2
i=
Mi∆x, onde Mi = M ax{f (x) : x ∈ [xi− 1 , xi]}. Você acha que podemos comparar a
denominados intervalos da partição. Além disso, podemos escrever |[x 0 , x 1 ]| = x 1 − x 0 = ∆x 1 |[x 1 , x 2 ]| = x 2 − x 1 = ∆x 2 |[x 2 , x 3 ]| = x 3 − x 2 = ∆x 3 · · · |[xi− 1 , xi]| = xi − xi− 1 = ∆xi · · · |[xn− 1 , xn]| = xn − xn− 1 = ∆xn.
EXEMPLO 1.2.2 Considerando o intervalo [1, 12], o conjunto de pontos P = { 1 , 2 , 4 , 8 , 12 } é uma partição de [1, 12]. Os intervalos dessa partição são [1, 2], [2, 4], [4, 8] e [8, 12]. Naturalmente, temos 1 = x 0 < 2 = x 1 < 4 = x 2 < 8 = x 3 < 12 = x 4.
DEFINIÇÃO 1.2.3 Seja [a, b] um intervalo e considere
P = {x 0 , x 1 , x 2 , · · · , xi, · · · , xn} e Q = {x 0 , x 1 , x 2 , · · · , y 0 , · · · , xi, · · · , xn}
duas partições de [a, b]. Dizemos que a partição Q é um re namento da partição P se P ⊂ Q.
EXEMPLO 1.2.4 Consideremos o intervalo [1, 12]. Os conjuntos de pontos
P = { 1 , 2 , 4 , 8 , 12 } e Q = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 8 , 10 , 12 }
são duas partições de [1, 12] com P ⊂ Q. Então Q é um re namento de P.
1.3 Soma Superior
Consideraremos sempre uma função contínua f : [a, b] → R de nida num intervalo fechado [a, b] e limitada nesse intervalo, isto é, existem m, M ∈ R tais que m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b].
DEFINIÇÃO 1.3.1 Seja f : [a, b] → R uma função limitada e seja P = {x 0 , x 1 , x 2 , ..., xi, ..., xn} uma partição de [a, b], com a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < xn = b. Seja Mi o valor supremo de f no intervalo [xi− 1 , xi] , onde i = 1, 2 , 3 , · · · , n. Denominamos soma superior de f em relação à partição P e denotamos por S(f, P ) à expressão:
S(f, P ) = M 1 (x 1 − x 0 ) + M 2 (x 2 − x 1 ) + .. + Mn(xn − xn− 1 ) =
∑^ n
i=
Mi(xi − xi− 1 ). (1.3.1)
EXEMPLO 1.3.2 Considere a função f : [0, 2] → R de nida por f (x) = xsenx. Na Figura 1.4 podemos ver o grá co de uma soma superior referente a uma partição composta por 15 pontos. Já uma soma superior referente a uma partição com maior número de pontos ( pontos), é ilustrada pela Figura 1.5.
Note que, conforme aumentamos o número de pontos da partição, aqui uniformemente distribuídos, a soma superior S(f, P ) vai se aproximando da área sob o grá co de f (x) = x sin x, no intervalo [0, 2].
y
x
f(x)=xsen x
Figura 1.4: Soma Superior, S(f, P ), P com 15 pontos: A = 1, 863 u.a.
y
x
f(x)=xsen x
Figura 1.5: Soma Superior, S(f, P ), P com 80 pontos: A = 1, 746 u.a.
1.4 Soma Inferior
DEFINIÇÃO 1.4.1 Seja f : [a, b] → R uma função limitada e seja P = {x 0 , x 1 , x 2 , ..., xi, ..., xn} uma partição de [a, b], onde a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < xn = b. Seja mi o valor ín mo de f no intervalo [xi− 1 , xi] para i = 1, 2 , 3 , ..., n. Denominamos soma inferior de f em relação à partição P e denotamos por S(f, P ) à expressão:
S(f, P ) = m 1 (x 1 − x 0 ) + m 2 (x 2 − x 1 ) + ... + mn(xn − xn− 1 ) =
∑^ n
i=
mi(xi − xi− 1 ). (1.4.1)
EXEMPLO 1.4.2 Considere a função f : [0, 2] → R de nida por f (x) = xsenx. Na Figura 1.6 podemos ver o grá co de uma soma inferior referente a uma partição composta por um número reduzido de pontos (15 pontos) e na Figura 1.7 de uma soma inferior referente a uma partição com maior número de pontos (80 pontos).
Note que, aumentando o número de pontos de [a, b] a soma inferior S (f, P ) vai se apro- ximando da área sob o grá co de f (x) = x sin x no intervalo [0, 2].
da partição considerada, nem ∆xi é necessariamente constante. No entanto, em nossos propósitos, não iremos considerar esses casos mais gerais. Ainda, como f (x) pode ser negativa, certos termos de uma soma superior ou inferior também podem ser negativos. Consequentemente, nem sempre S(f, P ) e S(f, P ) irão repre- sentar uma soma de áreas de retângulos. De forma geral, estas somas representam a soma das áreas dos retângulos situados acima do eixo-x (onde f ≥ 0) com o negativo das áreas dos retângulos que estão situados abaixo deste eixo (onde f ≤ 0).
OBSERVAÇÃO 1.5.3 Para calcular integrais de nidas usando a de nição de somas superiores ou inferiores, serão usadas as seguintes expressões:
(i) 1 + 1 + 1 +| {z ... + 1} = k
k vezes
(ii) 1 + 2 + 3 + ... + k =
(1 + k)k 2
(iii) 12 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 =
k (k + 1) (2k + 1) 6
(iv) 13 + 2^3 + 3^3 + ... + k^3 =
k^2 (k + 1)^2 4
(v) 14 + 2^4 + 3^4 + ... + k^4 =
k (k + 1) (6k^3 + 9k^2 + k − 1) 30
EXEMPLO 1.5.4 Usando a de nição de soma superior, encontre a área delimitada pelas curvas y = x^2 + 1, x = 0, x = 4 e y = 0 (sabendo que a função é integrável).
Solução: Tomamos P = {x 0 ,x 1 , x 2 , ..., xn} uma partição do intervalo [0, 4], conforme ilustra a Figura 1.
y
x
Figura 1.8: Soma Superior de f (x) = x^2 + 1 com 10 retângulos
Como os subintervalos da partição podem ser quaisquer, podemos admitir que todos possuem o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x 1 = ∆x 2 = ... = ∆xn. Portanto, temos que
∆x =
n
n
e podemos atribuir valores para cada xi ∈ P como sendo
x 0 = 0, x 1 = ∆x, x 2 = 2∆x, x 3 = 3∆x, ..., xn = n∆x.
Seja Mi o supremo de f (x) = x^2 + 1 no intervalo [xi− 1 , xi]. Como neste exemplo temos uma função crescente, o máximo de f em cada subintervalo ocorre no seu extremo direito, ou seja, Mi = f (xi). Assim, a soma superior de f é dada por
S(f, P ) = M 1 ∆x + M 2 ∆x + M 3 ∆x + .... + Mn∆x = f (x 1 )∆x + f (x 2 )∆x + f (x 3 )∆x + ... + f (xn)∆x = f (∆x)∆x + f (2∆x)∆x + f (3∆x)∆x + ... + f (n∆x)∆x = ∆x[(∆x)^2 + 1 + (2∆x)^2 + 1 + (3∆x)^2 + 1 + ... + (n∆x)^2 + 1] = ∆x[1 + 1 + ... + 1 + (∆x)^2 + 4(∆x)^2 + 9(∆x)^2 + ... + n^2 (∆x)^2 ] = ∆x[n + ∆x^2 (1 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 )]
= ∆x
n + ∆x^2
n(n + 1)(2n + 1) 6
n
n +
n^2
n(n + 1)(2n + 1) 6
(n + 1)(2n + 1) n^2 = 4 +
n
n^2
n
3 n^2
Portanto, a área desejada é dada por
∫ (^4)
0
(x^2 + 1)dx = lim n→+∞
n
3 n^2
Agora, se desejarmos encontrar a soma inferior de f, quais modi cações deveremos efetuar nos cálculos acima? Sugere-se que o estudante refaça este exercício, prestando bastante atenção no que ocorre com as alturas dos retângulos inscritos e nas consequências deste fato.
EXEMPLO 1.5.5 Usando a de nição de soma inferior, encontre a área delimitada pelas curvas y = 16 − x^2 , x = 1, x = 4 e y = 0 (sabendo que a função é integrável).
Solução: Tomamos P = {x 0 ,x 1 , x 2 , ..., xn} uma partição do intervalo [1, 4], conforme ilustra a Figura 1.
y
x
Figura 1.9: Soma Inferior de f (x) = 16 − x^2 com 10 retângulos
v. Se m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b], então m (b − a) ≤
∫ (^) b
a
f (x) dx ≤ M (b − a).
vi. Se c ∈ [a, b] então
∫ (^) b
a
f (x) dx =
∫ (^) c
a
f (x) dx +
∫ (^) b
c
f (x) dx.
vii. A troca dos limitantes de integração acarreta a mudança no sinal da integral de nida, ou seja, (^) ∫ b
a
f (x) dx = −
∫ (^) a
b
f (x) dx.
viii.
∫ (^) a
a
f (x)dx = 0.
EXEMPLO 1.5.7 Determine a soma superior e a soma inferior para f (x) = x^2 − 2 x + 2 no intervalo [− 1 , 2]. A seguir, utilize-as para calcular a área da região situada abaixo do grá co de f e entre as retas y = 0, x = − 1 e x = 2.
Solução: A Figura 1.10 ilustra o grá co da soma superior de f referente a uma partição composta de 15 pontos. Observe que as alturas dos retângulos circunscritos não possuem o mesmo comportamento em todo o intervalo. Isso ocorre porque a função é decrescente no intervalo [− 1 , 1] e crescente em [1, 2]. Para obter a expressão para a soma superior de f usaremos a Propriedade vi. Tomaremos uma partição para o intervalo [− 1 , 1] e outra para o intervalo [1, 2].
y
x
Figura 1.10: Soma Superior de f (x) = x^2 − 2 x + 2 com 15 retângulos
Soma Superior para o intervalo [− 1 , 1]
Seja P = {x 0 ,x 1 , x 2 , ..., xn} uma partição do intervalo [− 1 , 1], de tal forma que todos os subintervalos de P possuam o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x 1 = ∆x 2 = · · · = ∆xn.
Portanto, temos que a base de cada um dos retângulos é dada por ∆x =
n
n
e
assim podemos atribuir valores para cada xi ∈ P como sendo
x 0 = − 1 , x 1 = −1 + ∆x, x 2 = −1 + 2∆x, x 3 = −1 + 3∆x, · · · , xn = −1 + n∆x.
Agora vamos determinar as alturas dos retângulos circunscritos. Seja Mi o supremo de f (x) = x^2 − 2 x + 2 no subintervalo [xi− 1 , xi]. Como neste intervalo a função é decrescente o
máximo de f em cada subintervalo ocorre no seu extremo esquerdo, ou seja, Mi = f (xi− 1 ). Assim, a soma superior de f é dada por
S(f, P ) = M 1 ∆x + M 2 ∆x + M 3 ∆x + · · · + Mn∆x
= f (x 0 )∆x + f (x 1 )∆x + f (x 2 )∆x + · · · + f (xn− 1 )∆x = f (−1)∆x + f (−1 + ∆x)∆x + f (−1 + 2∆x)∆x + · · · + f (−1 + (n − 1)∆x)∆x = ∆x{5 +
[
(−1 + ∆x)^2 − 2(−1 + ∆x) + 2
]
[
(−1 + 2∆x)^2 − 2(−1 + 2∆x) + 2
]
[
(−1 + (n − 1)∆x)^2 − 2(−1 + (n − 1)∆x) + 2
]
= ∆x{5 +
[
(1 − 2∆x + (∆x)^2 ) + 2 − 2∆x + 2
]
[
1 − 4∆x + 2^2 (∆x)^2 + 2 − 4∆x + 2
]
[
1 − 2(n − 1)∆x + (n − 1)^2 (∆x)^2 + 2 − 2(n − 1)∆x + 2
]
= ∆x{5 +
[
5 − 4∆x + (∆x)^2
]
[
5 − 8∆x + 2^2 (∆x)^2
]
[
5 − 4(n − 1)∆x + (n − 1)^2 (∆x)^2
]
= ∆x
[
5 n − 4∆x (1 + 2 + · · · + (n − 1)) + (∆x)^2
1 + 2^2 + · · · + (n − 1)^2
)]
n
[
5 n − 4 ·
n
n(n − 1) 2
n
(n − 1)n (2n − 1) 6
]
n
[
5 n − 4(n − 1) +
2 n^2 − 3 n + 1 n
)]
n
n
n^2
n
3 n^2
Soma Superior para o intervalo [1, 2]
Seja Q = {x 0 ,x 1 , x 2 , ..., xn} uma partição do intervalo [1, 2], de tal forma que todos os subintervalos de Q possuam o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x 1 = ∆x 2 = · · · = ∆xn.
Portanto, temos que a base de cada um dos retângulos é dada por ∆x =
n
n
e assim
podemos atribuir valores para cada xi ∈ Q como sendo
x 0 = 1, x 1 = 1 + ∆x, x 2 = 1 + 2∆x, x 3 = 1 + 3∆x, · · · , xn = 1 + n∆x. Como neste intervalo a função é decrescente as alturas dos retângulos circunscritos, Mi, ocorre no extremo direito de cada subintervalo, i.e., Mi = f (xi). Assim a soma superior de f em [1, 2] relativa a partição Q é dada por
S(f, Q) = M 1 ∆x + M 2 ∆x + M 3 ∆x + · · · + Mn∆x = f (x 1 )∆x + f (x 2 )∆x + f (x 3 )∆x + · · · + f (xn)∆x = [f (1 + ∆x) + f (1 + 2∆x) + f (1 + 3∆x) + · · · + f (1 + n∆x)]∆x = {[(1 + ∆x)^2 − 2(1 + ∆x) + 2] + [(1 + 2∆x)^2 − 2(1 + 2∆x) + 2] + +[(1 + 3∆x)^2 − 2(1 + 3∆x) + 2] + · · · + [(1 + n∆x)^2 − 2(1 + n∆x) + 2]}∆x = {[1 + (∆x)^2 ] + [1 + (2∆x)^2 ] + [1 + (3∆x)^2 ] + · · · + [1 + (n∆x)^2 ]}∆x = n∆x + (1^2 + 2^2 + 3^2 + · · · + n^2 )(∆x)^3
= n ·
n
n(n + 1)(2n + 1) 6
n
2 n
6 n^2 Portanto, a soma superior de f em [− 1 , 2] é
S(f, P ∪ Q) =
n
3 n^2
2 n
6 n^2
2 n
2 n^2
Soma Inferior para o intervalo [1, 2]
Considere a partição Q tomada acima. A altura dos retângulos inscritos, mi, ocorre no extremo esquerdo de cada subintervalo [xi− 1 , xi], i.e., mi = f (xi− 1 ). Assim, a soma inferior de f em [1, 2], relativa a partição Q, é dada por
S(f, Q) = m 1 ∆x + m 2 ∆x + m 3 ∆x + · · · + mn∆x = f (x 0 )∆x + f (x 1 )∆x + f (x 2 )∆x + · · · + f (xn− 1 )∆x = f (1)∆x + f (1 + ∆x)∆x + f (1 + 2∆x)∆x + · · · + f (1 + (n − 1)∆x)∆x = ∆x{1 +
[
(1 + ∆x)^2 − 2(1 + ∆x) + 2
]
[
(1 + 2∆x)^2 − 2(1 + 2∆x) + 2
]
[
(1 + (n − 1)∆x)^2 − 2(1 + (n − 1)∆x) + 2
]
= ∆x{1 + [1 + (∆x)^2 ] + [1 + (2∆x)^2 ] + · · · + [1 + ((n − 1)∆x)^2 ]} = n∆x + 1^2 + 2^2 + · · · + (n − 1)^2 ^3
= n ·
n
(n − 1)n(2n − 1) 6
n
2 n
6 n^2
Portanto, a soma inferior de f em [− 1 , 2] é
S(f, P ∪ Q) =
n
3 n^2
2 n
6 n^2
2 n
2 n^2
Finalmente, utilizando a soma superior de f, obtemos que a área da região desejada é dada por
A =
− 1
(x^2 − 2 x + 2)dx +
1
(x^2 − 2 x + 2)dx
= lim n→+∞
n
3 n^2
2 n
6 n^2
Note que obteríamos o mesmo resultado utilizando a soma inferior de f.
EXEMPLO 1.5.8 Utilize a de nição de integral de nida para determinar a área da região R delimitada por f (x) = 9 e g(x) = x^2 , com x ≤ 0 , sabendo que f e g são funções integráveis.
Solução: A região R está sombreada na Figura 1.12.
Figura 1.12: Região R
A área da região R pode ser interpretada como sendo a área da região R 1 menos a área da região R 2 , onde R 1 é a região retangular limitada pelas curvas y = g(x), y = 0, x = − 3 e x − 0 e R 2 é a região limitada pelas curvas y = f (x), y = 0, x = − 3 e x − 0.
Área de R 1 : AR 1 =
− 3
9 dx = 9[0 − (−3)] = 27u.a. (usando as propriedades de integral
de nida). Área de R 2 : Os retângulos inscritos na região R 2 estão representados na Figura 1.13. A área
Figura 1.13: Soma inferior da região R 2 com 7 retângulos
de R 2 é dada por AR 2 =
− 3
x^2 dx usando somas de áreas de retângulos inscritos tomamos
uma partição P = {x 0 , x 1 , x 2 , · · · , xn} do intervalo [− 3 , 0], de tal forma que todos os subin- tervalos de P possuam o mesmo diâmetro, isto é, ∆x = ∆x 1 = ∆x 2 = ... = ∆xn. Portanto,
temos que a base de cada um dos retângulos é dada por ∆x =
n
n
e assim
podemos atribuir valores para cada xi ∈ P como sendo
x 0 = − 3 , x 1 = −3 + ∆x, x 2 = −3 + 2∆x, · · · , xn = −3 + n∆x.
Agora vamos determinar as alturas dos retângulos inscritos. Como neste exemplo temos uma função decrescente, cada retângulo inscrito atinge sua altura no ponto xi, i = 1, 2 , · · · , n, ou seja, a altura de cada retângulo é g(xi) = x^2 i. Assim, a soma de Riemann de g relativa a partição P e com as alturas de nidas é dada por
S(g, P ) =
∑^ n
i=
g(xi)∆x =
∑^ n
i=
x^2 i ∆x = (x^21 + x^22 + · · · + x^2 n)∆x
= [(−3 + ∆x)^2 + (−3 + ∆x)^2 + · · · + (−3 + ∆x)^2 ]∆x
[(
9 − 6∆x + (∆x)^2
9 − 6 · 2∆x + (2∆x)^2
9 − 6 · n∆x + (n∆x)^2
)]
∆x = 9 n∆x − 6(∆x)^2 (1 + 2 + · · · + n) + (∆x)^3 (1^2 + 2^2 + · · · + n^2 )
= 27 −
n^2
n(n + 1) 2
n^3
n(n + 1)(2n + 1) 6
= 27 − 27
n
n
n^2
2 n
2 n^2
