Baixe Cálculo Diferencial e Integral I - Ficha de Exercícios 1: Funções e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity!
C´alculo Diferencial e Integral I
Ficha de Exerc´ıcios n.
o
Fun¸c˜oes
1. Considere as fun¸c˜oes f e g definidas por f (x) = 3x
2 − 2 e g(x) =
x + 1
x − 1
Determine:
1.1 f (0), f (−2) e f (3t), com t ∈ R
1.2 g(20), g(π) e g(t^2 − 1), com t ∈ R \ {−
2. Considere as fun¸c˜oes f e g definidas por f (x) =
x e g(x) = x^3 + 1.
Determine:
2.1 f
g(2)
2.2 g
g(0)
, g(π) e g(t^2 − 1), com t ∈ R
3. Seja h a fun¸c˜ao definida, em R, por h(x) =
x
se x < 3
x + 1 se x > 3
Determine h(−20), h(8) e h(24).
4. Determine o dom´ınio da fun¸c˜ao f definida por:
4.1 f (x) =
x − 3
4.2 f (x) =
x
|x|
4.3 f (x) =
1 − sen x
4.4 f (x) =
9 x^2 − 4
3 x − 8
4.5 f (x) =
2 x
x^2 + 1
4.6 f (x) =
3 − x
4.7 f (x) =
x^2 − 4 x + 3
4.8 f (x) =
x
4.9 f (x) = 3 +
x
4.10 f (x) =
−x^2 + 5x − 6
4.11 f (x) =
4 − x^2
4.12 f (x) =
x^2 − 4
x + 1
4.13 f (x) =
6
x − 3
x + 2
4.14 f (x) =
x
4.15 f (x) =
x − 1
x − 5
4.16 f (x) =
|x − 4 | − 8 √ −|x| + 9
4.17 f (x) =
x^3 − x
5. Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao h definida por:
5.1 h(x) = x
2
5.2 h(x) = x
2
5.3 h(x) = (x − 1)
2
5.4 h(x) = |x| + 1
5.5 h(x) = x|x|
5.6 h(x) = |x − 2 |
5.7 h(x) = 1 + x + |x|
5.8 h(x) =
se x ≤ 0
1 se x > 0
5.9 h(x) =
−x se − 2 ≤ x ≤ 0
x se 0 < x < 2
5.10 h(x) =
x^3 se x ≤ 0
1 se 0 < x < 2
x^2 se x ≥ 2
5.11 h(x) =
− 1 se x < 0
x^2 se 0 ≤ x ≤ 1
6. Determine o conjunto imagem da fun¸c˜ao g definida por:
6.1 g(x) = x^2
6.2 g(x) =
x
6.3 g(x) =
x
6.4 g(x) =
x
|x|
6.5 g(x) =
x − 3
6.6 g(x) = 3 +
x
6.7 g(x) = − 4
x
6.8 g(x) =
4 − x^2
6.9 g(x) = x^2 − 1
6.10 g(x) =
0 se x < 0 1
2
se x = 0
1 se x > 0
6.11 g(x) =
−x se − 2 ≤ x ≤ 0
x se 0 < x < 2
6.12 g(x) =
x 3 se x ≤ 0
1 se 0 < x < 2
x 2 se x ≥ 2
6.13 g(x) =
0 se x < 0
x 2 se 0 ≤ x ≤ 1
9. Caracterize as fun¸c˜oes f + g, f − g,
f
g
e f × g, determinando a express˜ao anal´ıtica e o dom´ınio.
9.1 f (x) = 2x e g(x) = x
2
9.2 f (x) = 3x − 2 e g(x) = |x + 2|
9.3 f (x) =
x + 1 e g(x) = x^2 − 1
9.4 f (x) =
x + 1 e g(x) =
x + 3
9.5 f (x) = x
4 e g(x) =
x
9.6 f (x) =
x
e g(x) = x^2
9.7 f (x) = x^3 + x^2 e g(x) =
x^2
9.8 f (x) =
x^2
e g(x) = x 2
9.9 f (x) =
x
x^2 + 1
e g(x) =
x
10. Caracterize as fun¸c˜oes f ◦ g e g ◦ f , determinando a express˜ao anal´ıtica e o dom´ınio.
10.1 f (x) = 2 + x e g(x) = 3x + 1
10.2 f (x) = x^2 + 2 e g(x) =
x
10.3 f (x) =
x + 1 e g(x) =
x + 1
x − 2
10.4 f (x) = x + 1 e g(x) =
x − 2
10.5 f (x) =
x
x + 1
e g(x) =
x + 1
x − 1
10.6 f (x) = x
2
11. Indique as express˜oes anal´ıticas de duas fun¸c˜oes f e g tais que h(x) = (f ◦ g)(x).
11.1 h(x) = (x^2 + 1)^4
11.2 h(x) =
3 x + 5
11.3 h(x) = e
1 x
11.4 h(x) = tg(ln x)
11.5 h(x) = ln
x^2
11.6 h(x) = sen(3x)
11.7 h(x) = tg
x
2
11.8 h(x) =
5 + cos x
11.9 h(x) = 3 sen^2 x + 4 sen x
11.10 h(x) = (1 + sen x^2 )^3
11.11 h(x) = |x^2 − 3 x + 5|
11.12 h(x) =
x
12. Sejam f e g duas fun¸c˜oes ´ımpares. Mostre que:
12.1 f × g ´e par
f
g
´e par
12.3 f + g ´e impar
12.4 f − g ´e impar
13. Seja f uma fun¸c˜ao real de vari´avel real qualquer, de dom´ınio R. Mostre que f pode ser escrita
como a soma de uma fun¸c˜ao par e de uma fun¸c˜ao ´ımpar.
Sugest˜ao: Comece por mostrar que a fun¸c˜ao f 1 definida por f 1 (x) =
f (x) + f (−x) 2
´e par e que a fun¸c˜ao f 2
definida por f 2 (x) =
f (x) − f (−x) 2
´e ´ımpar.
14. Caracterize a fun¸c˜ao inversa de f , determinando a express˜ao anal´ıtica e o dom´ınio, sabendo
que:
14.1 f (x) =
x
14.2 f (x) =
x + 2
x + 1
14.3 f (x) = x^4 , x > 0
14.4 f (x) = 2 +
x + 1
14.5 f (x) =
x √ x^2 + 1
14.6 f (x) =
x^2
x^2 + 1
, x ≤ 0
14.7 f (x) = 1 + log 2 x
14.8 f (x) =
ln
x + 1
x − 1
14.9 f (x) =
x + 3
14.10 f (x) = −
3 − 2 x
14.11 f (x) =
4 x + 2
14.12 f (x) = x
2 − 2 x, x > 1
14.13 f (x) = x
2 − 4 x + 3, x > 2
15. Calcule:
15.1 arccos 0
15.2 arctan 1
15.3 arcsen
15.4 arctan
15.5 arccos
15.6 arctan
15.7 arctan
tan
π
4
15.8 arccos
cos
2 π
3
15.9 arcsen
sen
2 π
3
15.10 arctan
tan
2 π
3
15.11 arccos
cos
π
6
15.12 arcsin
sen
5 π
6
16. Determine o dom´ınio da fun¸c˜ao f definida por:
16.1 f (x) = arccos
x
16.2 f (x) = arctg (ln x)
16.3 f (x) = arcsen
x
16.4 f (x) = ln(5 − x) +
x
16.5 f (x) =
x − 1
x^2 − 2 x + 1
16.6 f (x) = log 2 (x − 3)
16.7 f (x) = arccos(x + 5)
16.8 f (x) = ln(x
2 − 1)
16.9 f (x) =
)tg x
16.10 f (x) =
ln x
16.11 f (x) = sen
x^2
16.12 f (x) = tg
x
16.13 f (x) = arcsin
x + 1
x + 2
16.14 f (x) = arcsen (x
2 )
16.15 f (x) = arccos
3 x
x + 1
16.16 f (x) = arctg (x
2
16.17 f (x) = arcsen ( 3
x)
16.18 f (x) = log 5 [x(x
2 − 2)(x 2 − 3)]
onde E ´e a energia liberada pelo terremoto, em Joules, e E 0 = 10^4 ,^4 Joules.
Nota: 0 ≤ M ≤ 8 , 9, onde 8, 9 ´e a magnitude do maior terremoto registado.
21.1 O terremoto de S˜ao Francisco nos EUA, em 1906, liberou aproximadamente 5. 95 × 1016
Joules. Qual foi sua magnitude?
21.2 Sabendo que o terremoto de Koebe, no Jap˜ao, teve uma magnitude de 7, 1, determine a
energia libertada.
22. O n´ıvel N de um som, medido em decib´eis, ´e fun¸c˜ao da sua intensidade I ( I > 0), medida em
watt por metro quadrado, de acordo com a igualdade
N = 10 log
12 I
22.1 Verifique que N = 120 + 10 log I.
22.2 Admita que o n´ıvel de ru´ıdo de um avi˜ao a jacto, ouvido por uma pessoa que se encontra na
varanda de um aeroporto, ´e de 140 decib´eis. Determine a intensidade desse som, em watt
por metro quadrado.
23. A acidez de uma solu¸c˜ao ´e medida pelo valor do seu pH, que ´e dado por
pH = − log x,
onde x designa a concentra¸c˜ao de i˜oes H 3 O+, medida em mol/dm^3. Admita que o pH do sangue
arterial humano ´e 7,4.
23.1 Qual ´e a concentra¸c˜ao (em mol/dm^3 ) de i˜oes H 3 O+, no sangue arterial humano? Escreva
o resultado em nota¸c˜ao cient´ıfica, isto ´e, na forma a × 10 b, com b inteiro e a entre 1 e 10.
Apresente o valor de a arredondado `as unidades.
23.2 A concentra¸c˜ao de i˜oes H 3 O+^ no caf´e ´e tripla da concentra¸c˜ao de i˜oes H 3 O+^ no leite. Qual
´e a diferen¸ca entre o pH do leite e o pH do caf´e? Apresente o resultado arredondado `as
d´ecimas.
Sugest˜ao: Comece por designar por y a concentra¸c˜ao de i˜oes no leite e por exprimir, em fun¸c˜ao
de y, a concentra¸c˜ao de i˜oes no caf´e.
24. O carbono-14 ´e um material radioativo utilizado na data¸c˜ao de foss´eis e achados arqueol´ogicos.
Esta substˆancia permanece numa quantidade est´avel num organismo vivo, deixando de haver
reposi¸c˜ao a partir da sua morte, iniciando-se assim um processo de decrescimento da quantidade
de carbono-14 nesse organismo.
Admita que a quantidade Q de carbono-14, em gramas, presente num dado organismo, t anos
ap´os a sua morte, ´e dada por
Q(t) = Q 0 e − 0 , 000121 t
24.1 No processo de desintegra¸c˜ao, a semivida de uma substˆancia radioativa ´e o per´ıodo de tempo
que a quantidade inicial demora a reduzir-se a metade.
Determine a semivida do carbono-14.
24.2 Realizou-se uma descoberta arqueol´ogica onde foi encontrado um organismo com 53 mg de
carbono-14. Sabe-se que um exemplar vivo desse organismo possui 350 mg de carbono-14.
Quanto tempo ter´a decorrido desde a morte desse organismo?
24.3 Um f´ossil (de um animal) com 20000 anos foi encontrado contendo 12 mg de carbono-14.
Que quantidade de carbono-14 teria o animal antes de morrer?
Fun¸c˜oes hiperb´olicas
Considere as fun¸c˜oes reais, de dom´ınio R, definidas por:
e x
(cosseno hiperb´olico)
ex^ − e−x
2
(seno hiperb´olico)
senh x
cosh x
(tangente hiperb´olica)
cosh x
(secante hiperb´olica)
Chama-se fun¸c˜ao cotangente hiperb´olica `a fun¸c˜ao, de dom´ınio R \ { 0 }, definida por
cotgh x =
cosh x
senh x
e fun¸c˜ao cossecante hiperb´olica `a fun¸c˜ao real, de dom´ınio R \ { 0 }, definida por
cosech x =
senh x
25. Calcule:
25.1 senh 0
25.2 cosh 0
25.3 tgh 0
25.4 tgh 1
25.5 senh(ln 2)
25.6 cosh(ln 3)
Solu¸c˜oes
1.1 f (0) = −2, f (−2) = 10 e f (3t) = 27t^2 − 2
1.2 g(20) =
21 19
, g(π) =
π + 1 π − 1
e g(t^2 − 1) =
t^2 t^2 − 2
2.1 f
( g(2)
) = 3
2.2 g
( g(0)
) = 2, g(π) = π^3 + 1 e g(t^2 − 1) = t^6 − 3 t^4 + 3t^2
3. h(−20) = −
1 20
, h(8) = 3 e h(24) = 5
4.1 R \ { 3 }
4.2 R \ { 0 }
4.3 R \
{ π 2
}
4.4 R \
{ 8 3
}
4.5 R
4.6 ] − ∞, 3]
4.7 ] − ∞, 1] ∪ [3, +∞[
4.8 [0, 1]
4.9 [0, +∞[
4.10 [2, 3]
4.11 [− 2 , 2]
4.12 [− 2 , −1[∪[2, +∞[
4.13 ] − ∞, −2[∪[3, +∞[
4.14 [0, +∞[
4.15 ]1, 5[∪]5, +∞[
4.16 ] − 9 , −4]
4.17 R
x
y
O
x
y
O 1
1
x
y
O
1
x
y
O
1
x
y
O
x
y
O
1
x
y
O
1
0,
x
y
O
2
x
y
2
4
O
1
x
y
O (^) 2
2
x
y
O
1
1
10.1 (f ◦ g)(x) = 3x + 3, Df ◦g = R, (g ◦ f )(x) = 3x + 7 e Dg◦f = R
10.2 (f ◦ g)(x) = x + 2, Df ◦g = R+ o , (g ◦ f )(x) =
√ x^2 + 2 e Dg◦f = R
10.3 (f ◦ g)(x) =
√ 2 x − 1 x − 2
, Df ◦g =]2, +∞[, (g ◦ f )(x) =
√ x + 1 + 1 √ x + 1 − 2
e Dg◦f = [− 1 , 3[∪]3, +∞[
10.4 (f ◦ g)(x) =
x x − 2
, Df ◦g = R \ { 2 }, (g ◦ f )(x) =
2 x − 1
e Dg◦f = R \ { 1 }
10.5 (f ◦ g)(x) =
x + 1 2
, Df ◦g = R \ {0; 1}, (g ◦ f )(x) = − 2 x − 1 e Dg◦f = R \ {− 1 }
10.6 (f ◦ g)(x) = (x^2 − 1)^2 + 3, Df ◦g = R, (g ◦ f )(x) = (x^2 + 3)^2 − 1 e Dg◦f = R
11. As respostas dadas podem n˜ao ser ´unicas.
11.1 f (x) = x^4 e g(x) = x^2 + 1
11.2 f (x) = 4
√ x e g(x) = 3x + 5
11.3 f (x) = ex^ e g(x) =
1 x
11.4 f (x) = tg x e g(x) = ln x
11.5 f (x) = ln x e g(x) =
1 x^2
11.6 f (x) = sen x e g(x) = 3x
11.7 f (x) = tg x e g(x) =
x 2
11.8 f (x) =
3 x + 5
e g(x) = cos x
11.9 f (x) = 3x^2 + 4x e g(x) = sen x
11.10 f (x) = x^3 e g(x) = 1 + sen x^2
11.11 f (x) = |x| e g(x) = x^2 − 3 x + 5
11.12 f (x) =
√ 1 − x e g(x) = 3
√ x
14.1 f −^1 (x) =
1 x
e Df − 1 = R \ { 0 }
14.2 f −^1 (x) =
2 − x x − 1
e Df − 1 = R \ { 1 }
14.3 f −^1 (x) = 4
√ x e Df − 1 = R+
14.4 f −^1 (x) = −1 +
3 x − 2
e Df − 1 = R \ { 2 }
14.5 f −^1 (x) =
x √ 1 − x^2
e Df − 1 =] − 1 , 1[
14.6 f −^1 (x) = −
√ x 1 − x
e Df − 1 = R+ 0
14.7 f −^1 (x) = 2x−^1 e Df − 1 = R
14.8 f −^1 (x) =
e^2 x^ + 1 e^2 x^ − 1
e Df − 1 = R \ { 0 }
14.9 f −^1 (x) = x^2 − 3 e Df − 1 = [0, ∞[
14.10 f −^1 (x) =
3 − x^2 2
e Df − 1 =] − ∞, 0]
14.11 f −^1 (x) =
x^5 − 2 4
e Df − 1 = R
14.12 f −^1 (x) = 1 +
√ x + 1 e Df − 1 = [− 1 , +∞[
14.13 f −^1 (x) = 2 +
√ x + 1 e Df − 1 = [− 1 , +∞[
π 2
π 4
π 6
π 3
2 π 3
π 6
π 4
2 π 3
π 3
π 3
π 6
π 6
16.1 [0, 1]
16.2 ]0, +∞[
16.3 ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[
16.4 ] − ∞, 5[{ 0 }
16.5 R \ { 1 }
16.6 ]3, +∞[
16.7 [− 6 , −4]
16.8 ] − ∞, −1[∪]1, +∞[
16.9 R \
{ π 2
}
16.10 [1, +∞[
16.11 R \ { 0 }
16.12 R \
1 π 2
, k ∈ Z
[ −
3 2
, +∞
[
16.14 [− 1 , 1]
[ −
1 4
,
1 2
]
16.16 R
16.17 [− 1 , 1]
16.18 ] −
√ 3 ,
√ 2[∪]0,
√ 2[∪]
√ 3 , +∞[
17.1 [0, 1]
17.2 [1, 3]
[ 3 2
,
5 2
]
17.4 R
] 4 − 3 π 6
,
4 + 3π 6
[
[
−
1 2
,
1 2
]
[
−
√ 3 2
π,
√ 3 2
π
]
[ −
5 2
, −
3 2
]
[ −
2 π 3
,
4 π 3
]
]
−
π 6
,
5 π 6
[
17.11 R
17.12 R
] 0 ,
π^2 4
[
17.14 ]−∞, 4[
17.15 ]0, 8
√ e]
[ 1 9
, +∞
[
20.1 6246 pessoas 20.2 16 dias
21.1 8 , 2 21.2 1 , 1 × 1015 J
22.1 22.2 100 watt/m^2
23.1 4 × 10 −^8 mol/dm^3 23.2 0 , 5
