Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, Notas de estudo de Cálculo Diferencial e Integral

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Apostila

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

Fernanda Pereira, Luiz Felipe Nobili, Renan Lima, Samuel Wainer

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA

Departamento de Matemática

Sumário

Capítulo 1

Conceitos iniciais

O objetivo principal desse curso é estudar funções de R^2 e R^3 em R. Serão abordados os con- ceitos de limite/continuidade, diferenciabilidade e integração. Grande parte dos resultados que serão apresentados podem ser facilmente generalizados para funções de Rn^ em R, n ≥ 2. Algumas vezes, apresentaremos definições e resultados na forma geral Rn, para não ter que escrever os casos n = 2 e n = 3 repetidamente. No entanto, os exemplos e exercícios se restringirão aos dois casos de interesse.

1.1 Os espaços R^2 e R^3

Nesta seção, apresentaremos alguns elementos importantes dos espaços R^2 e R^3 que serão usados durante o curso.

1.1.1 Vetores e norma

Os elementos de R^2 são pares ordenados (x, y) e os de R^3 triplas ordenadas (x, y, z), com x, y, z ∈ R. Para representar um elemento de Rn^ em geral, utilizamos uma n-upla de números reais (x 1 ,... , xn). Fixamos o sistema ortogonal de coordenadas cartesianas habitual:

R^2 - origem O, eixos coordenados x e y; R^3 - origem O, eixos coordenados x, y e z.

Em R^2 , identificamos o par (x, y) com o vetor ⃗u =

OP, onde P é o ponto com coordenadas (x, y).

Figura 1.1: Vetor em R^2

2 Capítulo 1. Conceitos iniciais

Em R^3 , identificamos a tripla (x, y, z) com o vetor ⃗u =

OP, onde P é o ponto com coordenadas (x, y, z).

Figura 1.2: Vetor em R^3

Utilizaremos em R^2 (e analogamente estende-se a R^3 ) as seguintes operações:

soma de vetores (x 1 , y 1 ) + (x 2 , y 2 ) = (x 1 + x 2 , y 1 + y 2 ), (xi, yi) ∈ R^2 ; multiplicação por escalar λ (x, y) = (λ x, λ y), (x, y) ∈ R^2 , λ ∈ R.

Com essas duas operações, R^2 é um espaço vetorial (tais objetos serão estudados no curso de Álgebra Linear). Também utilizaremos:

produto escalar (x 1 , y 1 ) · (x 2 , y 2 ) = x 1 · x 2 + y 1 · y 2 ∈ R, (xi, yi) ∈ R^2.

Além disso, somente no espaço R^3 , temos

produto vetorial (x 1 , y 1 , z 1 ) × (x 2 , y 2 , z 2 ) =

⃗ i ⃗j ⃗k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2

= (y 1 z 2 − y 2 z 1 , x 2 z 1 − x 1 z 2 , x 1 y 2 − x 2 y 1 ).

Definição 1.1.1 A norma do vetor ⃗u = (x, y) ∈ R^2 é o número (não negativo)

∥(x, y)∥ =

p x^2 + y^2.

São válidas as seguintes propriedades:

(i) ∥λ⃗ u∥ = |λ | · ∥⃗ u∥ para todos ⃗u ∈ R^2 , λ ∈ R;

(ii) ∥⃗ u +⃗ v∥ ≤ ∥⃗u∥ + ∥⃗ v∥ para todos ⃗u,⃗ v ∈ R^2 ;

(iii) |⃗u ·⃗ v| ≤ ∥⃗u∥ · ∥⃗v∥ para todos ⃗u,⃗ v ∈ R^2 (Desigualdade de Schwarz).

A norma será usada para “medir distância” em R^2 : dados dois vetores ⃗u = (x 1 , y 1 ) e ⃗v = (x 2 , y 2 ), a distância entre eles será

∥⃗ u −⃗ v∥ =

q (x 1 − x 2 )^2 + (y 1 − y 2 )^2.

4 Capítulo 1. Conceitos iniciais

Figura 1.4: Bola aberta B 2 ( 0 , 0 , 0 )

■

Definição 1.1.5 Seja A ⊆ Rn^ um subconjunto não vazio. Um ponto p ∈ A é chamado de ponto interior se existe r > 0 tal que Br(p) ⊆ A. Denota-se por A◦^ ou int(A) o conjunto de todos os pontos interiores de A.

Veja, por exemplo, na figura em R^2 :

Definição 1.1.6 Seja A ⊆ Rn^ um subconjunto não vazio. Dizemos que A é aberto se todo ponto de A é ponto interior, ou seja, se A = A◦.

Figura 1.5: Conjunto aberto

Convenção. O conjunto vazio e o próprio Rn^ são abertos em Rn.

■ Exemplo 1.1.7 Toda bola aberta em Rn^ é um conjunto aberto. Faremos a demonstração para n = 2. Sejam (a, b) ∈ R^2 e r > 0. Mostraremos que a bola aberta Br(a, b)

1.1 Os espaços R^2 e R^3

é um conjunto aberto. Seja (x 0 , y 0 ) ∈ Br(a, b). Então,

r 1 := ∥(x 0 , y 0 ) − (a, b)∥ < r ⇒ r 2 := r − r 1 2

Mostremos que Br 2 (x 0 , y 0 ) ⊆ Br(a, b), donde seguirá que (x 0 , y 0 ) é ponto interior em Br(a, b). Seja (x, y) ∈ Br 2 (x 0 , y 0 ). Então,

∥(x, y) − (a, b)∥ = ∥(x, y) − (x 0 , y 0 ) + (x 0 , y 0 ) − (a, b)∥ ≤ ∥(x, y) − (x 0 , y 0 )∥ + ∥(x 0 , y 0 ) − (a, b)∥ < r 2 + r 1 =

r − r 1 2

• r 1 < r − r 1 + r 1 = r.

■

■ Exemplo 1.1.8 O conjunto A = {(x, y, z) ∈ R^3 : 0 < x < 2 , 0 < y ≤ 4 , 0 < z < 2 } não é aberto.

O ponto p = ( 1 , 4 , 1 ) ∈ A não é ponto interior, pois qualquer que seja r > 0, Br(p) ̸⊆ A. Tem-se A◦^ = {(x, y, z) ∈ R^3 : 0 < x < 2 , 0 < y < 4 , 0 < z < 2 } (verifique). ■

1.2 Funções vetoriais e curvas

■ Exemplo 1.1.16 O conjunto A = {( 0 , 1 ), ( 3 , 5 )} ⊆ R^2 é fechado. Mais geralmente, qualquer conjunto finito é fechado. ■

■ Exemplo 1.1.17 Em Rn, os subconjuntos 0 / e Rn^ são abertos e fechados ao mesmo tempo, e são os únicos subconjuntos de Rn^ com essa propriedade. ■

Definição 1.1.18 Seja A ⊆ Rn. Um ponto p ∈ Rn^ (que pode ou não pertencer a A) é chamado de ponto de acumulação de A se, para todo r > 0,

(Br(p) \ {p}) ∩ A ̸= 0 /.

Denota-se por A′^ o conjunto de todos os pontos de acumulação de A.

Numa linguagem mais informal: p é ponto de acumulação de A se A tem pontos distintos de p tão próximos de p quanto se queira.

Exercício 1.2 Mostre que A′^ ⊆ A.

Em muitos conjuntos “razoáveis” tem-se A′^ = A, como é o caso, por exemplo, se A é uma bola aberta. Mas isso não é sempre verdade! Por exemplo, se A é um conjunto finito, então A′^ = 0 e/ A = A.

Definição 1.1.19 Um conjunto A ⊆ Rn^ é dito ser limitado se existe uma bola aberta (ou fechada) que o contém. De forma equivalente, A é limitado se existe M > 0 tal que ∥x∥ < M para todo x ∈ A.

1.2 Funções vetoriais e curvas

Nesta seção, estudaremos alguns conceitos relacionados as funções vetoriais e curvas parametriza- das, como limites, continuidade, derivada e integral. Tais funções não serão o foco dessa disciplina, no entanto utilizaremos algumas ferramentas relacionadas a elas, por isso apresentamos algumas definições e resultados.

1.2.1 Funções vetoriais

Definição 1.2.1 Sejam I ⊆ R um intervalo e n ∈ N. Uma função f : I → Rn^ é chamada de função vetorial. Sua imagem, Im f é chamada de trajetória ou traço de f.

Quando se trata de funções vetoriais, muitas vezes é mais interessante, do ponto de vista geométrico, conhecer a trajetória de f do que o seu gráfico. Dada f : I ⊆ R → Rn, para cada t ∈ I associa-se o vetor f (t) = ( f 1 (t),... , fn(t)) ∈ Rn. Ou seja, na definição da função vetorial f estão envolvidas n funções reais fi : I → R, i = 1 ,... , n, chamadas de funções componentes de f. Muitas definições e propriedades envolvendo funções vetoriais serão simplesmente extensões de conceitos vistos no Cálculo I para funções reais, aplicados a todas as funções componentes. Quando n = 2 ou n = 3 , é mais comum denotar f (t) = (x(t), y(t)) ou f (t) = (x(t), y(t), z(t)). Outra maneira de descrever a função vetorial f é por meio das suas equações paramétricas: x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ I, onde x, y, z são variáveis que dependem de um mesmo parâmetro t. Muitas vezes, interpretaremos Im f como a descrição da trajetória de uma partícula, em função do tempo t. Recomendamos a videoaula Curvas Parametrizadas no plano.

8 Capítulo 1. Conceitos iniciais

■ Exemplo 1.2.2 Seja f (t) = (cost, sent), t ∈ [ 0 , 2 π]. Nesse caso,

x(t) = cost e y(t) = sent.

A Im f é exatamente a circunferência de raio 1 centrada na origem.

Figura 1.6: Trajetória de f

Já o gráfico de f é o conjunto G (^) f = {(t, x(t), y(t)) : 0 ≤ t ≤ 2 π}, cujo esboço é apresentado a seguir.

Figura 1.7: Gráfico de f

Observe que, projetando o gráfico de f no plano yz, obtém-se exatamente Im f. ■

■ Exemplo 1.2.3 Seja f (t) = (t^2 + 4 t,t − 1 ). Vamos identificar e fazer um esboço do traço de f. Temos,

x = t^2 + 4 t e y = t − 1.

Nesse caso, é simples “isolar” t na segunda equação. Então podemos substituir t em função de y na primeira equação e assim eliminar o parâmetro t, restando uma equação nas variáveis x e y. Desse modo,

x = (y + 1 )^2 + 4 (y + 1 ) = y^2 + 6 y + 5.

10 Capítulo 1. Conceitos iniciais

Exercício 1.3 Prove as seguintes afirmações.

(i) lim t→t 0 f (t) = L ⇔ lim t→t 0 ∥ f (t) − L∥ = 0.

(ii) Se f (t) = ( f 1 (t),... , fn(t)) e L = (L 1 ,... , Ln), então

tlim→t 0

f (t) = L ⇔ (^) tlim→t 0

fi(t) = Li para todo i = 1 ,... , n.

Observação 1.2.5 Os limites lim t→t 0

fi(t) = Li do exercício anterior são limites de funções reais.

Segue do Exercício 1.3(ii) que

lim t→t 0 f (t) =

lim t→t 0 f 1 (t),... , lim t→t 0 fn(t)

= (L 1 ,... , Ln), (1.2)

caso os limites existam.

■ Exemplo 1.2.6 Seja f (t) = ( 1 + t^3 )⃗ i + (te−t^ )⃗ j +

sent t

k. Então,

lim t→ 0 f (t) =

lim t→ 0 ( 1 + t^3 )

⃗ i +

lim t→ 0 (te−t^ )

⃗ j +

lim t→ 0

sent t

⃗ k =⃗ i +⃗ k = ( 1 , 0 , 1 ).

■

Definição 1.2.7 Sejam f : I → Rn^ e t 0 ∈ I. Dizemos que f é contínua em t 0 se

lim t→t 0 f (t) = f (t 0 ).

Dizemos simplesmente que f é contínua se f o for em todo ponto de I.

Observação 1.2.8 Segue de (1.2) que f é contínua em t 0 se, e somente se, fi é contínua em t 0 para todo i = 1 ,... , n.

1.2 Funções vetoriais e curvas 11

Definição 1.2.9 Uma curva parametrizada em Rn^ é a imagem de uma função vetorial γ : I → Rn contínua. A equação

γ(t) = ( f 1 (t),... , fn(t)), t ∈ I,

é chamada de parametrização de γ, t é chamado de parâmetro e, as equações

x 1 = f 1 (t),... , xn = fn(t), t ∈ I,

são chamadas de equações paramétricas de γ.

■ Exemplo 1.2.10 Esboce a trajetória da curva plana γ de equações paramétricas

x = 2 cost, y = sent.

Solução. Temos,

x 2 = cost e y = sent ⇒

x^2 4

• y^2 = 1 ,

que é a equação cartesiana de uma elipse.

Figura 1.9: Trajetória de γ

Outra parametrização da mesma curva é α(t) = (2 cos( 2 t), sen ( 2 t)). Com a primeira parametrização, é necessário um intervalo de comprimento 2 π para completar todo o traçado da curva, enquanto para α é necessário metade do intervalo. Assim, na segunda parametrização a partícula se move duas vezes mais rápido que na primeira. ■

Para mais exemplos interessantes, sugerimos a videoaula Curvas Parametrizadas no Plano - Coor- denada Polar. Para trabalharmos em dimensão 3, sugerimos a videoaula Curvas parametrizadas em R^3

■ Exemplo 1.2.11 Seja r a reta em R^3 que passa pelo ponto P 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) e é paralela ao vetor ⃗ v = (v 1 , v 2 , v 3 ) ̸= 0. Se P = (x, y, z) ∈ r, então

OP =

OP 0 + t⃗ v, t ∈ R.

1.2 Funções vetoriais e curvas 13

No entanto, quando t tende a t 0 , f (t) − f (t 0 ) tende a um vetor com direção “tangente” a curva definida por f (t). Segue daí a próxima definição.

Definição 1.2.15 Seja f : I → Rn^ derivável em t 0 ∈ I, com f ′(t 0 ) ̸= 0. Então, o vetor f ′(t 0 ) é chamado de vetor tangente f à trajetória de f em t 0. A reta

r(t) = f (t 0 ) + t f ′(t 0 ), t ∈ R,

é chamada de reta tangente à trajetória de f em t 0.

Observação 1.2.16 Quando f (t) descreve o vetor posição de uma partícula que se move ao longo uma curva, e f (t) é duas vezes derivável, costuma-se definir: (i) f ′(t) vetor velocidade da partícula;

(ii) ∥ f ′(t)∥ módulo da velocidade ou velocidade escalar da partícula;

(iii) f ′′(t) vetor aceleração da partícula.

As operações envolvendo funções vetoriais basicamente são as operações de vetores realizadas ponto a ponto do domínio. Vamos listá-las aqui, e, em seguida, as regras de derivação relacionadas.

Definição 1.2.17 — Operações com funções vetoriais. Sejam f , g : I → Rn^ duas funções vetoriais com f (t) = ( f 1 (t),... , fn(t)), g(t) = (g 1 (t),... , gn(t)), α : I → R uma função real e k ∈ R uma constante. Define-se as seguintes operações.

Soma f + g : I → Rn^ dada por ( f + g)(t) = f (t) + g(t) = ( f 1 (t) + g 1 (t),... , fn(t) + gn(t)).

Produto por uma constante k f : I → Rn^ dada por (k f )(t) = k f (t) = (k f 1 (t),... , k fn(t)).

Produto por função escalar α f : I → Rn^ dada por (α f )(t) = α(t) f (t) = (α(t) f 1 (t),... , α(t) fn(t)).

Produto escalar f · g : I → R dada por ( f · g)(t) = f (t) · g(t) = f 1 (t)g 1 (t) + · · · + fn(t)gn(t).

Produto vetorial Se n = 3, define-se f × g : I → R^3 por ( f × g)(t) = f (t) × g(t).

Proposição 1.2.18 Sejam f , g : I → Rn^ duas funções vetoriais deriváveis, α : I → R uma função real derivável e k ∈ R. Então, também são deriváveis f + g, k f , α · f , f · g, e valem:

14 Capítulo 1. Conceitos iniciais

(i) ( f + g)′^ = f ′^ + g′;

(ii) (k f )′^ = k f ′;

(iii) (α · f )′^ = α′^ · f + α · f ′;

(iv) ( f · g)′^ = f ′^ · g + f · g′. Além disso, se n = 3, f × g também é derivável, e: (v) ( f × g)′^ = f ′^ × g + f × g′.

A demonstração da proposição anterior são deixadas como exercício. Para o item (iv), a videoaula Derivada do Produto Interno de duas Funções pode ajudar.

Proposição 1.2.19 — Regra da Cadeia. Sejam f : I → Rn^ uma função vetorial derivável e α : J → I uma função real derivável, com I, J ⊆ R intervalos. Então, f ◦ α é derivável e

( f (α(t)))′^ = f ′(α(t)) · α′(t).

A demonstração desta proposição é deixada como exercício.

Falaremos, rapidamente, a definição de integração de funções vetoriais. Para maior detalhamento de sua motivação, sugerimos a videoaula Integração de Funções Vetoriais.

Definição 1.2.20 Seja f : [a, b] → Rn, f (t) = ( f 1 (t),... , fn(t)). Dizemos que f é integrável em [a, b] se cada fi o é, i = 1 ,... , n. Neste caso, Z (^) b

a

f (t) dt =

Z (^) b

a

f 1 (t) dt,... ,

Z (^) b

a

fn(t) dt

Também pode-se definir os conceitos de primitiva e integral indefinida para funções vetoriais, generali- zando tais conceitos apresentados no Cálculo I para funções reais.

1.2.4 Comprimento de curva

Dada uma curva γ : [a, b] → Rn, uma pergunta natural que surge é: qual é seu comprimento? Se pensarmos em γ(t) como a descrição da trajetória de uma partícula em função do tempo t, sua velocidade seria v(t) = ∥γ′(t)∥, e o comprimento L da curva seria a distância percorrida pela partícula, logo

L =

Z (^) b

a

∥γ′(t)∥ dt.

Vamos agora dar uma ideia mais formal da construção dessa fórmula. Considere γ = (γ 1 ,... , γn) de classe C^1. Dada uma partição de [a, b] :

a = t 0 < t 1 < · · · < tm = b,

considere os pontos P 0 = γ(t 0 ), P 1 = γ(t 1 ),... , Pm = γ(tm) em γ.

16 Capítulo 1. Conceitos iniciais

Definição 1.2.23 Sejam α : [a, b] → Rn^ e β : [c, d] → Rn^ duas parametrizações de classe C^1 de uma curva C. Dizemos que α e β são equivalentes se, existe h : [a, b] → [c, d] bijetora de classe C^1 (logo estritamente crescente ou decrescente), tal que

α(t) = β (h(t)) para todo t ∈ [a, b].

Pensando em α e β como a descrição do movimento de partículas sobre a curva C, a função h da definição anterior relaciona as velocidades de tais movimentos, pois α′(t) = h′(t)β ′(h(t)) (Regra da Cadeia). Se h é crescente (h′(t) > 0 ), então os vetores posição α(t) e β (t) se movem no mesmo sentido. Se h é decrescente (h′(t) < 0), então os vetores posição α(t) e β (t) se movem em sentidos opostos. Por fim, pode-se provar que o comprimento da curva C independe das parametrizações equivalentes escolhidas. No caso anteriormente mencionado, das parametrizações γ(r) = (r cost, r sent), 0 ≤ t ≤ 2 π, e, α(t) = (r cos( 2 πt), r sen ( 2 πt)), 0 ≤ t ≤ 1 , da circunferência de raio r centrada na origem, deixamos como exercício a verificação de que elas são equivalentes.

1.3 Funções de várias variáveis a valores reais

Muitas relações que aparecem na física, economia e outras aplicações envolvem duas, três ou mais variáveis. Nesta seção, iniciaremos o estudo de tais funções. Como já mencionado anteriormente, nosso foco serão as funções de 2 ou 3 variáveis. No entanto, muitas vezes apresentaremos as definições e resultados na forma geral Rn, para não ter que escrever os casos n = 2 e n = 3 repetidamente. Os exemplos, por sua vez, se restringirão aos dois casos de interesse.

1.3.1 Definição, domínio, imagem, gráfico

Recomendamos, inicialmente, a videoaula Funções de Duas Variáveis.

Definição 1.3.1 Uma função real f de n variáveis é uma regra que associa a cada ponto (x 1 , · · · , xn) de um conjunto D ⊂ Rn^ um único valor real z = f (x 1 , · · · , xn). O conjunto D = Dom f é o domínio de f e a imagem de f é o conjunto Im f = { f (x 1 , · · · , xn) ∈ R : (x 1 , · · · , xn) ∈ D}.

Também costuma-se escrever

f : D ⊂ Rn^ → R (x 1 , · · · , xn) 7 → z = f (x 1 , · · · , xn)

Dizemos que x 1 , x 2 , · · · , xn são as variáveis independentes e z é a variável dependente. Quando n = 2 ou n = 3, é mais comum denotar z = f (x, y) e w = f (x, y, z), respectivamente.

1.3 Funções de várias variáveis a valores reais

Figura 1.10: Diagrama para z = f (x, y)

Como de costume, se a função é dada por uma fórmula e seu domínio não é especificado, fica entendido que o seu domínio é o conjunto de todos os pontos para os quais a fórmula resulta em um número real bem definido.

■ Exemplo 1.3.2 Seja f (x, y) =

x − y

. Essa função está bem definida para (x, y) ∈ R^2 tais que x −y ̸= 0 , isto é, x ̸= y. Assim, o domínio de f é o conjunto Dom f = {(x, y) ∈ R^2 : x ̸= y}, que corresponde ao plano R^2 excluindo-se a reta y = x.

Figura 1.11: Domínio de f

■

■ Exemplo 1.3.3 Considere g(x, y) =

p 9 − x^2 − y^2 .. Nesse exemplo, devemos ter

9 − x^2 − y^2 ≥ 0 ⇔ x^2 + y^2 ≤ 9.

Assim, o domínio de g é o conjunto Dom g = {(x, y) ∈ R^2 : x^2 + y^2 ≤ 9 }, que corresponde a um disco circular de raio 3 com centro na origem.