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Licenciatura em ciências · USP/ Univesp
Gil da Costa Marques
LIMITES
Fundamentos de Matem[atica I
10.1 O cálculo 10.2 Definição de limite 10.3 Funções contínuas e descontínuas 10.4 Limites quando a variável independente cresce indefinidamente em valor absoluto 10.5 Limites infinitos 10.6 Limites laterais 10.7 Alguns Teoremas sobre limites Teorema 1 Teorema 2 Teorema 3 Teorema 4 Teorema da conservação do sinal Teorema 5 Limite da função composta Teorema 6 Teorema do Confronto Teorema 7 Consequência do Teorema do Confronto Teorema 8 Propriedades dos limites Teorema 9 10.8 Uma observação adicional 10.9 Propriedade da substituição direta 10.10 Outros limites de interesse 10.11 Calculando limites
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10.1 O Cálculo
Cálculo é uma palavra que deriva da palavra grega calculus. Essa palavra era empregada anti- gamente para designar uma pedra utilizada para contar, para efetuar cálculos, portanto. Hoje em dia ela tem muitos significados, pois existem muitas formas de efetuar contas, de calcular.Tendo isso em vista, a rigor, o Cálculo discutido a seguir deve ser entendido como uma abreviação para Cálculo Infinitesimal e ser subdivido em Cálculo Diferencial e Cálculo Integral.
O Cálculo tem evoluído significativamente desde as primeiras ideias envolvendo a deter- minação de áreas, a partir da divisão do todo em porções cuja área seja conhecida. Assim, suas origens remontam a séculos antes de Cristo. Newton e Leibniz recebem o crédito pela formulação original do Cálculo Infinitesimal. A formulação rigorosa do Cálculo recebe o nome de Análise Matemática. Os conceitos mais importantes do Cálculo, além do de função, são os de limite, derivada e integral. O estudo de séries infinitas é, igualmente, um dos objetos de estudo dessa ciência. Esse tema, no entanto, será abordado apenas de passagem neste texto. Neste texto, abordaremos o conceito de limite, que para alguns se origina no método de exaus- tão , formulado com um grau de precisão bastante alto por Eudóxio de Cnido (408 a.C. – 347 a.C.). Para entender o conceito de limite, consideremos o problema da determinação da área do círculo delimitado por uma circunferência de raio R. Podemos resolver esse problema considerando polígonos regulares de n lados inscritos na circunferência. Para cada n , seja An a área do correspon- dente polígono. Como resultado temos, como entendera Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C), que a área do círculo pode ser aproximada pela expressão:
com um resultado cada vez melhor à medida em que o número n cresce indefinidamente.
Trata-se de um ramo da Matemática no qual lidamos com grandezas que variam. Nesse sentido, o cálculo pode ser definido como a forma científica de lidar com as transformações que ocorrem no mundo físico.
π R^2 ≅ An
Figura 10.1: Para cada circunferência, o polígono inscrito e o polígono circunscrito para alguns valores de n.
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10.2 Definição de limite
O conceito de limite ocupa um papel central no Cálculo Infinitesimal. Isso ocorre porque, como se verá a seguir, no Cálculo Diferencial, a derivada de uma função, de acordo com a definição de Cauchy, é introduzida por meio de um processo limite e, no Cálculo Integral, para introduzir a integral de uma determinada função num dado intervalo, considera-se o limite de uma soma de Riemann. Limite é, portanto, um conceito básico do Cálculo e da Análise Matemática. Para entender tal conceito, consideremos o exemplo de um objeto atirado a partir do chão na direção vertical com uma velocidade de 10 m/s. Adotando-se para a aceleração da gravidade local o valor de 10 m/s^2 , sua altura, h , expressa em metros e determinada a partir da superfície, como função do tempo t , expresso em segundos, é dada por:
enquanto sua velocidade, na unidade m/s, será dada por:
Da expressão acima, concluímos que, depois de 1 segundo, o objeto para instantaneamente no ar, retornando em seguida. Podemos agora considerar uma situação em que gostaríamos de saber qual a tendência da altura quando consideramos valores do tempo cada vez mais próximos de um determinado valor. Consideremos, por exemplo, o caso em que esse valor seja igual a 1 segundo. Como sabemos, esse tempo é aquele em que o objeto atinge a sua altura máxima – para perceber tal fato, basta examinar o vértice da parábola, que é o gráfico da função h. Anotando-se os valores da altura, para valores cada vez mais próximos de 1 segundo, notamos que eles se aproximam cada vez mais do valor 5 metros. Dizemos que esse valor é o limite da altura quando o tempo tende ao valor 1 segundo, e escrevemos:
h t ( ) = − 5 t^2 + 10 t
V ( ) t = 10 − 10 t
lim t → 1 h t ( ) = 5
10 Limites
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1 Assim, considerando-se uma função arbitrária f ( x ), quando escrevemos:
que se lê: “o limite da função f ( x ) quando x tende a x 0 é f 0 ” – isso significa que f ( x ) pode ser feita tão próxima de f 0 quanto desejarmos, tomando valores de x suficientemente próximos de x 0 (mas, em geral, diferentes de x 0 ).
Dados dois números a e b sobre o eixo real, sendo a < b , considerando-se o conjunto de números reais compreendidos entre eles, podemos definir quatro tipos de conjuntos, aos quais damos o nome de intervalos. Cada um deles se diferencia pela inclusão ou não desses números no referido conjunto. No caso do ponto a , a inclusão é representada pelo símbolo “[” sucedido pela letra a e a exclusão é representada pelo símbolo “]” sucedido pela letra a. Para o ponto b , a convenção se inverte. Definimos, assim, o intervalo fechado como o conjunto que inclui os números a e b e o representamos por:
O intervalo aberto é um conjunto do qual os pontos a e b estão excluídos. Ele é repre- sentado por:
Definimos de forma análoga os intervalos semiabertos ou semifechados:
lim x → x f ( x ) = f
0 0
Uma definição mais rigorosa de limite será apresentada a seguir. Para isso, no entanto, devemos recapitular o conceito de intervalo aberto.
[^ a b , ]
]^ a b , [
[ a,b [ e ] a,b ]
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Exemplos resolvidos Vamos determinar alguns limites: a. lim x → 33 x − 1 = 2
O gráfico da função f (^) 1 ( ) x = 3 x − 1 é exibido no Gráfico 10..
Observamos que a função f 1 está definida no ponto x = 3 e f ( ) 3 = 32. Portanto, lim x → 33 x − 1 = 2.
Gráfico 10.2: Gráfico de f (^) 1 ( ) x = 3 x − 1.
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b. (^) x lim x x lim (^) x lim x
x
x
x → → →
− −
=
− ^
−
− ^
1 3
2 1 3
2
1 3
9 1 1 3
9 1 9 1 3
9 1 3 xx
x x x
+ ^
−
= + ^
→ =
1 3 1 3
9 1 3
lim1 3 6
O gráfico da função f x x x
2
9 2 1 1 3
( ) = − −
é exibido no Gráfico 10..
Observamos que o Gráfico 10.3 de f 2 é uma reta sem o ponto de coordenadas 1 3
, 6 ^
. De fato, a
função f 2 não está definida no ponto x = 1 3
.
Gráfico 10.3: Gráfico de f x x x
2 9 2 1 1 3
( ) = − −
.
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Entretanto, uma função do tipo f x x
( ) = 1 , que não está definida em x = 0, é contínua em todo o seu domínio, isto é, no conjunto * , isto é, − {0}, apesar de não ser contínua no intervalo [−3, 3], exi- bido no Gráfico 10.6 , pois não é contínua em x = 0, onde não está definida. A definição de função contínua num ponto envolve três condições. Dizemos que uma função f é contínua no ponto x 0 se e somente se: i. x 0 ∈ Dom f , isto é, existe o valor f ( x 0 ) ii. Existe o lim x → x f ( ) x 0 iii. lim x → x f ( ) x = f ( x ) 0 0 Convém tecer algumas observações a respeito da definição acima. Em primeiro lugar, se uma função não é definida num determinado ponto, não tem
sentido questionar sua continuidade nesse ponto. É o caso, por exemplo, da função f x x
e o ponto x = 0.
Agora, considerando a função
que está definida em x = 0, satisfaz a primeira condição da definição, mas não a segunda e, consequentemente, nem a terceira. Logo, não é contínua em x = 0.
Gráfico 10.5: Gráficos de funções contínuas.
Gráfico 10.6: Gráfico de f ( ) x = (^) x^1.
g x (^) x x x
se se
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Em segundo lugar, vale a pena observar o caso da função:
e o ponto x = −3. Nesse caso, a primeira condição da definição de função contínua está satisfeita, pois h existe em x = −3; a segunda condição da definição também está satis- feita, pois
mas a terceira não, uma vez que o valor desse limite não é igual ao valor da função no ponto x = −3. De fato,
Logo, a função h não é contínua no ponto x = −3.
Gráfico 10.7: Gráfico de g x (^) x x x
( ) = ≠
(^1 )
0 0
se se
.
h x
x x
x x
se se
Gráfico 10.8: Gráfico de h x
x x x x
( ) =
−
(^2 ) 3 3 2 3
se se
.
x^ lim^ x lim x (^ ).(^ )^ lim ( x^ ) x
x x x →− − →− →− x
= −^ +
3 =^ −^ = −
2 3 3
lim x^ x →− x
6 e h (−3) = 2.
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- lim x g x ( ) lim x ln x → → x 1 =^1 =^0 - Consequentemente, lim x → 1 g x ( ) = g ( ) 1 = 0.
Assim, estando satisfeitas as três condições da definição, temos que g é contínua em x 0 = 1.
2. Dada a função f x
x x x L x
( ) =
− − ≠ =
(^2 ) 4 4 4
se se determine o valor de L a fim de que a função f seja contínua em x = 4. Observamos que a função f no ponto x = 4 tem valor L. A fim de que f seja contínua nesse ponto, basta tomarmos lim x x ( ) x → − L^ f − 4 =^ =
(^2 ) 4
Como lim x x lim x (^ )(^ )^ lim( x ) x
x x x → − → → x −
= +^ − − 4 =^ +^ =
2 4 4
16 4
4 4 4
4 8
Assim L = 8.
10.4 Limites quando a variável independente
cresce indefinidamente em valor absoluto
Adotamos o símbolo
que se lê “infinito”, para representar valores de grandezas que não sejam superados por outros. Dizer que o valor de algo tende a infinito significa que estamos considerando valores dessa grandeza superiores a qualquer outro que possamos imaginar. Vamos analisar o caso do limite de uma função em que a variável independente tende a +∞ ou a –∞.
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Exemplo fundamental e muito útil para o cálculo de diversos limites é o
ou o
Definição Seja f uma função definida em ] a, +∞ [. Dizemos que o limite da função f ( x ) é L , quando x tende a +∞, e representamos tal fato por:
se – e somente se – para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 com δ > a tal que x > δ ⇒ L − ε < f ( x ) < L + ε. Analogamente, seja f uma função definida em ] −∞, a [. Dizemos que o limite da função f ( x ) é L , quando x tende a −∞, e representamos tal fato por:
se – e somente se – para todo número ε > 0 houver um número δ > 0 com –δ < a tal que x < − δ ⇒ L − ε < f ( x ) < L + ε.
Gráfico 10.11: O limite dessa função existe no infinito.
x^ lim →+∞^ f^ (^ x^ ) = L
x^ lim →−∞ f^ (^ x^ ) = L
lim x →∞ x
x^ lim →−∞ x
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10.5 Limites infinitos
Os valores da variável dependente podem crescer indefinidamente. Agora estamos falando de limites para os quais, quando a variável x se aproxima de um valor, digamos x 0 , a função cresce em valor absoluto, tendendo a +∞ ou a −∞. Se uma função f é bem definida numa vizinhança que contenha o valor x 0 (definida em ambos os lados de x 0 ), exceto possivelmente em x 0 , então, a expressão
significa que podemos fazer os valores de f ( x ) ficarem arbitrariamente grandes (tão grandes quanto quisermos) tomando x suficientemente próximo de x 0 , mas não igual a x 0. Analogamente, considerando f uma função definida numa vizinhança de x 0 , exceto possivel- mente no valor x 0 , então, quando escrevemos:
isso significa que os valores de f ( x ) podem ser arbitrariamente grandes, porém negativos, ao tomarmos valores de x suficientemente próximos de x 0 , mas não iguais a x 0. Como exemplo, podemos considerar a função exponencial f ( x ) = ex^ e a função logarítmica g ( x ) = ln x , para as quais temos:
ou
bem como
Verifique!
lim x → x f ( x ) = +∞
0
lim x → x f ( x ) = −∞
0
x^ lim →+∞ e^ x = +∞^ e^ x lim →−∞ e^ x =^0
x^ lim →+∞ e −^^ x =^0 e^ x lim →−∞ e^ x = +∞
x^ lim ln →+∞ x = +∞
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10.6 Limites laterais
Ao examinar uma função numa vizinhança de um ponto x 0 , ocorre que, em alguns casos, o comportamen- to da função quando x está próximo de x 0 , mas assume valores menores que x 0 , é completamente diferente do comportamento da mesma função, quando x está próximo de x 0 , mas assume valores maiores do que x 0. Por exemplo, a função
A função f não é contínua em x = 1. Observamos que, para valores próximos de x = 1, mas menores do que 1, os correspondentes valores da função são próximos de –4, menores do que –4; para valores próximos de x = 1, mas maiores do que 1, os correspondentes valores da função são próximos de –1, menores do que –1. Nesse caso, dizemos que o limite à esquerda da função f para x tendendo a 1, por valores menores do que 1, difere do limite à direita da função f para x tendendo a 1, por valores maiores do que 1. Dizemos que o limite à esquerda da função f ( x ) é L 1 , quando x tende a x 0 , por valores menores do que x 0 – indicando tal fato por x → x 0 −– e representamos tal operação por:
se – e somente se – para todo número ε > 0 houver um número correspondente δ > 0 tal que se x 0 − δ < x < x 0 , então, |f ( x ) − L 1 | < ε.
Gráfico 10.13: Gráfico de f x
x x x x
( ) =
− <
−
5 1 3 1 1 2
se se se x >
^1
f x
x x x x
se se se x >
^1
x^ lim → x −^ f^ (^ x^ ) = L
0 1
10 Limites
Licenciatura em Ciências · USP/Univesp · Módulo 1 De fato,
e
de onde
No entanto, o limite à esquerda é dado por:
pois
e
de onde
lim x → +^ x
^
lim x
x →
− 0 +^ =
1 2 0
x^ lim → x
− −
0 ^ =
1 1 1 2 1
x^ lim → f^ x lim x → x
− −
− (^ ) =^ − +
0 0 ^ =
1 1 1 2 0
lim x → −^ x
^
lim x → x
− − +
1 1 2
lim x
x →
− − − +
0 ^ =
1 1 1 2 0
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Outro exemplo interessante é o caso da função f x x x
( ) = |^ + |
Em primeiro lugar, a função f não está definida no ponto x = −
. Observamos que f também pode ser escrita de outra maneira:
ou seja,
Convém observar que não existe (^) x lim →−1 3/ f ( ) x , mas
que (^) x →−lim 1 3/ (^) + f ( ) x = 1 , ao passo que (^) x →−lim 1 3/ (^) − f ( ) x = − 1. Evidentemente, f não é contínua no ponto
x = −1/3.
10.7 Alguns Teoremas sobre limites
A seguir, apresentaremos alguns teoremas úteis para o cálculo de limites. As demonstrações podem ser encontradas em livros de Análise Matemática.
Teorema 1
Se uma função tem limite num ponto, então, ele é único.
Teorema 2
O limite de uma constante é a própria constante.
Gráfico 10.15: Gráfico de f ( ) x = |^33 xx^ ++^11 |.
f x x x
x x
x x x
( ) |^ |
se
se x < −
f x
x
x
se
se
