Baixe Cálculo 1 LISTA 3: CONTINUIDADE e outras Notas de estudo em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Universidade Federal do Paraná
Cálculo 1
LISTA 3 : CONTINUIDADE
Exercício 1. [resolução]
Esboce o gráfico da função dada e, utilizando a ideia intuitiva de função contínua, determine os pontos em que
a função deverá ser contínua.
a) f (x) = 2
b) f (x) = x + 1
c) f (x) = x^2
d) f (x) =
x^2 , se x ≤ 1 2 , se x > 1
e) f (x) =
x^2 ,^ se^ |x| ≥^1 2 , se |x| < 1
f) f (x) =
1 x^2 ,^ se^ |x| ≥^1 1 , se |x| < 1
g) f (x) =
1 x
h) f (x) = x^2 + 2
i) f (x) = x^3 − 1
j) f (x) =
ln(x + 1) + 1, se x ≥ 0.
x + 1, se x < 0.
k) f (x) =
√ (^3) x + 7, se x ≥ 1.
2 , se x < 1.
Exercício 2. [resolução]
Mostre, usando a definição (ou seja, via e δ), que a função dada é contínua no ponto dado.
a) f (x) = 4x − 3 em p = 2
b) f (x) = x + 1 em p = 1
c) f (x) = −x^2 em p = 0
d) f (x) = (^1) x em p = 1
Exercício 3. [resolução]
Mostre que a função f (x) =
2 x, se x ≤ 1 1 , se x > 1
não é contínua em x = 1.
Exercício 4. [resolução]
Verifique se a função f (x) =
x^2 + 1, se x ≥ 0 1 , se x < 0
é contínua em x = 0. Em caso afirmativo, use a definição
para demonstrar.
Exercício 5. [resolução]
Dê exemplo de uma função definida em R que seja contínua em todos os pontos, exceto em − 1 , 0 e 1.
Exercício 6. [resolução]
Dê exemplo de uma função definida em R que seja contínua em todos os pontos, exceto nos inteiros.
Exercício 7. [resolução]
Calcule e justifique. Solução do item (a): A função f (x) = x^2 é contínua em x = 2 e, portanto, lim x→ 2
x^2 =
f (2) = 4.
a) lim x→ 2
x^2
b) lim x→ 1
3 x + 1
c) lim x→− 2
4 x + 1
d) lim x→ 10
e) lim x→− 9
f ) lim x→− 1
− x^2 − 2 x + 3
g) lim x→ 4
x
h) lim x→− 3
√ (^3) x
i) lim x→ 3
x^2 − 9
x + 3
j) lim x→ 3
x^2 − 9
x − 3
k) lim x→− 1
x^2 − 9
x − 3
l) lim x→ (^12)
4 x^2 − 1
2 x − 1
m) lim x→ 3
x −
x − 3
n) lim x→ 3
√ (^3) x − 3
x − 3
o) lim x→ 0
x^2 + 3x − 1
x^2 + 2
Exercício 8. [resolução]
Determine L para que a função dada seja contínua no ponto dado. Justifique.
a) f (x) =
x^3 − 8 x− 2 ,^ se^ x^6 = 2 L, se x = 2
em p = 2
b) f (x) =
x−
√ 3 x− 3 ,^ se^ x^6 = 3 L, se x = 3
em p = 3
c) f (x) =
x−
√ 5 x− 5 ,^ se^ x^6 = 5 L, se x = 5
em p = 5
d) f (x) =
x^2 −x x+1 ,^ se^ x^6 =^ −^1 L, se x = − 1
em p = − 1
Exercício 9. [resolução]
A função f (x) =
x− 1 x− 1 ,^ se^ x^6 = 1 3 , se x = 1
é contínua em x = 1? Justifique.
g) lim x→ 1
x^3 − 1
x^4 + 3x − 4
h) lim x→ 7
x −
x + 7 −
i) lim x→ 2
1 x −^
1 2 x − 2
j) lim x→p
x^3 − p^3
x − p
Exercício 13. [resolução]
Encontre os seguintes limites.
a) lim x→ 0
arccos(x)
b) lim x→ 1 / 2
arccos(x)
c) lim x→
√ 2 / 2
arccos(x)
d) lim x→
√ 3 / 2
arccos(x)
e) lim x→ 1
arcsin(x)
f) lim x→ 1 / 2
arcsin(x)
g) lim x→
√ 2 / 2
arcsin(x)
h) lim x→
√ 3 / 2
arcsin(x)
i) lim x→ 0
arctan(x)
j) lim x→ 1
arctan(x)
k) lim x→
√ 3 / 3
arctan(x)
l) lim x→
√ 3
arctan(x)
1 Resoluções dos exercícios:
Resolução do Ex. 1 [voltar]
a) f (x) = 2
A função é continua em qualquer ponto do seu
domínio R.
b) f (x) = x + 1
A função é continua em qualquer ponto do seu
domínio R.
c) f (x) = x^2
A função é continua em qualquer ponto do seu domínio R.
d) f (x) =
x^2 , se x ≤ 1
2 , se x > 1
A função é continua em qualquer ponto de R −
{ 1 }, más não é continua em x = 1.
e) f (x) =
1 x^2 ,^ se^ |x| ≥^1 2 , se |x| < 1
A função é continua em qualquer ponto de R −
{− 1 , 1 }, más não é continua em x = − 1 e x = 1.
Resolução do Ex. 2 [voltar]
Relembrando a definição de uma função ser continua via e δ: def: Uma função f : X → Y é contínua num ponto p ∈ X se, para qualquer > 0 , existe δ > 0 tal que
vale a seguinte implicação: |x − p| < δ ⇒ |f (x) − f (p)| < .
Intuitivamente: tomando x próximo o suficiente de p (quando |x − p| < δ) pode-se tornar f (x) arbitraria-
mente próximo de f (p) (isso é |f (x) − f (p)| < ).
a) f (x) = 4x − 3 em p = 2: Seja > 0 dado. Em primeiro lugar, avaliamos que:
|f (x) − f (2)| = | 4 x − 3 − (4. 2 − 3) = |4(x − 2)| = 4|x − 2 |.
Assim, tomando δ = 4 , já que |x − 2 | < δ, teremos:
|f (x) − f (2)| = 4 |x − 2 | ︸ ︷︷ ︸ <δ= 4
b) f (x) = x + 1 em p = 1: Seja > 0 dado. Calculemos que:
|f (x) − f (1)| = |x − 1 |.
Assim, tomando δ = , já que |x − 1 | < δ, teremos: |f (x) − f (2)| = |x − 1 | < δ = .
c) f (x) = −x^2 em p = 0: Calculamos que: |f (x) − f (0)| = |x^2 | = |x|^2.
Assim, dado > 0 basta tomar δ =
para ter:
|x − 0 | < δ ⇒ |x|^2 ︸︷︷︸ =|f (x)−f (0)|
< δ^2 ︸︷︷︸ =
⇒ |f (x) − f (0)| < .
d) f (x) =
1 x em^ p^ = 1: Seja^ >^0 dado. Calculemos que:
|f (x) − f (0)| = |
x
1 − x
x
| = |x − 1 | · | 1 /x|.
Aqui, é um pouco mais sútil: tomando δ = min{/ 2 , 1 / 2 }, temos:
|x − 1 | < δ ⇒ |x − 1 | < / 2 e
< x <
⇒ |x − 1 | < / 2 e
< 1 /x < 2
⇒ |x − 1 | · | 1 /x| ︸ ︷︷ ︸ |f (x)−f (1)|<
⇒ |f (x) − f (1)| < .
Resolução do Ex. 3 [voltar]
Relembrando a definição de uma função ser continua num ponto via limites:
def: Uma função f : X → Y é contínua num ponto p ∈ X se:
lim x→p
f (x) = f (p).
Note que, implicitamente nesta definição, o limite lim x→p
f (x) de f em p tem que existir, assim como o valor
f (p) em p (isso é, que p pertence no domínio de f ). A definição acima pede para o limite coincidir com o
próprio valor da função em p. Observação: Simbolicamente, uma função continua é uma função que "comuta com limites". De fato, a
condição de ser continua pode-se escrever:
f
lim x→p
x
= lim x→p
f (x),
isto por causa que, na fórmula acima, obviamente lim x→p
x = p.
Calculando os limites à direita e à esquerda, obtemos:
lim x→ 1
f (x) = lim x→ 1
2 x = 2,
lim x→ 1 <
f (x) = lim x→ 1 <
Assim, lim x→ 1
f (x) 6 = lim x→ 1 <
f (x). A função não possui limite em 0 , portanto não é continua neste ponto.
Resolução do Ex. 4 [voltar]
Calculando os limites à direita e à esquerda de f em 0 , obtemos:
lim x→ > 0
f (x) = lim x→ > 0
x
2
lim x→ < 0
f (x) = lim x→ < 0
Assim, lim x→ 1
f (x) = lim x→ 1 <
f (x) = 1, portanto a função possui um limite em x = 0, e este limite é: lim x→ 1
f (x) = 1.
Alem do mais, pela definição de f temos f (0) = 0^2 + 1 = 1, assim:
lim x→ 0
f (x) = f (0),
e, portanto, a função é contínua em x = 0.
Resolução do Ex. 5 [voltar] Seguem dois exemplos:
g) A função f (x) =
x é contínua em x = 4 e, portanto, lim x→ 4
x =
h) A função f (x) = 3
x é contínua em x = − 3 e, portanto, lim x→− 3
3
x = 3
i) A função f (x) =
x^2 − 9
x + 3
é contínua em x = 3 e, portanto, lim x→ 3
x^2 − 9
x + 3
j) A função f (x) =
x^2 − 9
x − 3
não é definida em x = 3, logo não pode ser contínua neste ponto!
Porem, para qualquer x 6 = 3, temos: f (x) =
x^2 − 9
x − 3
(x − 3)(x + 3)
x − 3
= x + 3.
Assim, a função f coincide em R − { 3 } com a função g(x) = x + 3, a qual é continua em x = 3. Segue que:
lim x→ 3
x^2 − 9
x − 3
= lim x→ 3
x + 3 = 3 + 3 = 6.
Observação: Na prática, pode-se resumir simbolicamente o raciocino acima da seguinte maneira:
x^2 − 9
x − 3
(x 6 =3)
x + 3 −→ x→ 3
k) A função f (x) =
x^2 − 9
x − 3
é contínua em x = − 1 e, portanto, lim x→− 1
x^2 − 9
x − 3
(−1)^2 − 9
l) A função f (x) =
4 x^2 − 1
2 x − 1
não é definida em x = 1/ 2. Porem, temos:
4 x^2 − 1
2 x − 1
(2x − 1)(2x + 1)
2 x − 1
= (x 6 =1/2)
2 x + 1
x→ 1 / 2
Portanto, lim x→ 1 / 2
4 x^2 − 1
2 x − 1
m) A função f (x) =
x −
x − 3
não é definida em x = 3. Porem, temos:
x −
x − 3
(x>0)
x −
x −
x +
(x 6 =3,x>0)
x +
x→ 3
Portanto, lim x→ 3
x −
x − 3
2
√ 3
Note aqui, que para x perto o suficiente de 3 , teremos x > 0 , assim não tem perda de generalidade em supor que x é positivo na conta acima. Muitas vezes na prática, se esqueça de precisar (x 6 = 3, x > 0)
deixando as coisas implícitas.
n) Usando a identidade a^3 − b^3 = (a − b)(a^2 + ab + b^2 ) no denominador, calculemos que:
3
x −
x − 3
3
x −
x −
x
2
x
2 )
x 6 =
x
2
x
2 )
x→ 3
2
Portanto, lim x→ 3
√ (^3) x − 3
x − 3
3
√ 3
Observação: Aqui, veremos mais tarde que, pela definição de uma função f ser derivável num ponto
p, temos:
lim x→p
f (x) − f (p)
x − p
= f
′ (p).
No caso acima, a função f (x) = 3
x = x^1 /^3 é derivável em p = 3, com derivada:
f
′ (x) =
x
1 3 −^1 =
x
− 2 / 3
x
Portanto, pode-se deduzir diretamente que lim x→ 3
√ (^3) x − 3
x − 3
= f ′(3) = 1 3
√ 3
o) A função f (x) =
x^2 + 3x − 1
x^2 + 2
é contínua em x = 0 e, portanto:
lim x→ 0
x^2 + 3x − 1
x^2 + 2
b) A função
√ x−
√ 3 x− 3 não está definida em^ x^ = 3, porem calculando o limite (veja o Exercício^7 - m)) obtemos:
lim x→ 3
x −
x − 3
Assim basta definir: f (x) =
x−
√ 3 x− 3 ,^ se^ x^ ≥^0 , x^6 = 3 1 2
√ 3
, se x = 3
para obter uma função continua.
Observação: Aqui, seguindo as contas no Exercício 7 - m), vemos que f (x) = √^1 x+
√ 3
(∀x ≥ 0).
c) Semelhantemente à questão precedente,
√ x−
√ 5 x− 5 não está definida em^ x^ = 5^ más, calculando o limite, obtemos:
x −
x − 5
x −
x −
x +
x 6 =
x +
x→ 5
Portanto, basta definir f (x) =
x−
√ 5 x− 5 ,^ se^ x^ ≥^0 , x^6 = 5 1 2
√ 5
, se x = 5
para obter uma função continua.
Observação: Aqui, na verdade f (x) = √^1 x+
√ 5
para todo x ≥ 0.
d) A função
x^2 −x x+1 não é definida em^ x^ =^ −^1 porem, calculando o limite, obtemos:
x^2 − x
x + 1
−→ x→− 1
2 ︷ ︸︸ ︷ x(x − 1)
x + 1 ︸ ︷︷ ︸ −→ x→− 1
0
x→− 1
Logo não existe L tal que f (x) =
x^2 −x x+1 ,^ se^ x^6 =^ −^1 L, se x = − 1
seja continua em x = − 1. A função não é
prolongável por continuidade em − 1. Confirmando no gráfico:
Resolução do Ex. 9 [voltar] Calculando o limite em x = 1, obtemos:
f (x) =
x − 1
x − 1
x − 1
(
x − 1)(
x + 1)
(x 6 =1)
x + 1
x→ 1
Portanto lim x→ 1
f (x) = 2. Assim, lim x→ 1
f (x) 6 = f (1) portanto, a função
f (x) =
x− 1 x− 1 ,^ se^ x^6 = 1 3 , se x = 1
não é contínua em x = 1.
Resolução do Ex. 10 [voltar]
a) lim x→ 1
g(x) não existe pois lim x→ <
1
g(x) = 1 e lim x→
1
g(x) = 0 não coincidem.
b) lim x→ 2
g(x) = 1 pois lim x→ <
2
g(x) = lim x→
2
g(x) = 1 (existem e coincidem).
c) lim x→ 3
g(x) = 0 pois lim x→ <
3
g(x) = lim x→
3
g(x) = 0 (existem e coincidem).
Porem, g não é continua em x = 3 pois lim x→ 3
g(x) 6 = g(3) = 1.
b) lim x→ 0
x^3 + x^2
3 x^3 + x^4 + x
Aqui, é imediato fatorar x em ambos o denominador e o numerador:
x^3 + x^2
3 x^3 + x^4 + x
x^2 (x + 1)
x(3x^2 + x^3 + 1)
(x 6 =0)
x(x + 1)
3 x^2 + x^3 + 1
x→ 0
c) lim h→ 0
x^2 + 3xh:
Um calculo direto leva a: x^2 + 3xh −→ h→ 0
x^2 , portanto:
lim h→ 0
x^2 + 3xh = x^2.
d) lim h→ 0
(x + h)^3 − x^3
h
Simplificando por h. obtemos:
(x + h)^3 − x^3
h
2 x^2 h + 2xh^2 + h^3
h
(h 6 =0)
2 x^2 + 2xh + h^2 −→ h→ 0
2 x^2.
e) lim x→ 3
x^2 − 9
x + 9
Não tem problema nenhum neste, por continuidade de
x^2 − 9
x + 9
em x = 3, temos:
x^2 − 9
x + 9
x→ 3
Teriá que simplificar para calcular o limite em x → − 9.
f ) lim x→ 2
x^3 − 5 x^2 + 8x − 4
x^4 − 5 x − 6
O numerador e o denominador admitem 2 por raiz, é preciso fatorar x − 2 em ambos para poder simpli- ficar. Por divisão euclidiana de polinômios, calculamos que:
x^3 − 5 x^2 + 8x − 4 x − 2
− x^3 + 2x^2 x^2 − 3 x + 2
− 3 x^2 + 8x 3 x^2 − 6 x
2 x − 4 − 2 x + 4
0
x^4 − 5 x − 6 x − 2
− x^4 + 2x^3 x^3 + 2x^2 + 4x + 3
2 x^3 − 2 x^3 + 4x^2
4 x^2 − 5 x − 4 x^2 + 8x
3 x − 6 − 3 x + 6
0
Portanto, o numerador e denominador fatoram em:
x^3 − 5 x^2 + 8x − 4 = (x − 2)(x^2 − 3 x + 2)
(x^4 − 5 x − 6) = (x − 2)(x^3 + 2x^2 + 4x + 4).
Assim, podemos prosseguir:
x^3 − 5 x^2 + 8x − 4
x^4 − 5 x − 6
(x − 2)(x^2 − 3 x + 2)
(x − 2)(x^3 + 2x^2 + 4x + 4)
(x 6 =2)
x^2 − 3 x + 2
x^3 + 2x^2 + 4x + 4
x→ 2
23 + 22^2 + 4.2 + 4
g) lim x→ 1
x^3 − 1
x^4 + 3x − 4
Semelhantemente ao caso f ) precedente, o numerador e o denominador admitem 1 por raiz, é preciso
fatorar x − 1 em ambos para poder fatorar. Por divisão euclidiana de polinômios, calculamos que:
x^3 − 1 x − 1
− x^3 + x^2 x^2 + x + 1
x^2
− x^2 + x
x − 1
− x + 1
0
x^4 + 3x − 4 x − 1
− x^4 + x^3 x^3 + x^2 + x + 4
x^3
− x^3 + x^2
x^2 + 3x
− x^2 + x
4 x − 4
− 4 x + 4
0
Assim, temos:
x^3 − 1
x^4 + 3x − 4
(x − 1)(x^2 + x + 1)
(x − 1)(x^3 + x^2 + x + 1)
(x 6 =1)
x^2 + x + 1
x^3 + x^2 + x + 1
x→ 1
h) lim x→ 7
x −
x + 7 −
Decompondo a fração da maneira seguinte, calculamos que:
√ x −
x + 7 −
x −
x − 7 ︸ ︷︷ ︸ −→ x→ 7
1 2
√ 7
x − 7 √ x + 7 −
−→ x→ 7
2
√ 14
x→ 7
Aqui, ambos limites podem ser tratados de maneira similar à questão n) do exercício Exercicio 7 (pelo
segundo termo, veja a observação com f (x) =
x + 7).
i) lim x→ 2
1 x −^
1 2 x − 2
e) A função lim x→ 1
arcsin(x) é continua em 1 , portanto
lim x→ 1
arcsin(x) = arcsin(1) = π/ 2.
f) A função lim x→ 1 / 2
arcsin(1/2) é continua em 1 / 2 , portanto
lim x→ 1 / 2
arcsin(x) = arcsin(1/2) = π/ 6.
g) A função lim x→
√ 2 / 2
arcsin(
2 /2) é continua em
2 / 2 , portanto
lim x→
√ 2 / 2
arcsin(x) = arcsin(
2 /2) = π/ 4.
h) A função lim x→
√ 3 / 2
arcsin(
3 /2) é continua em
3 / 2 , portanto
lim x→
√ 3 / 2
arcsin(x) = arcsin(
3 /2) = π/ 3.
i) A função lim x→ 0
arctan(x) é continua em 0 , portanto
lim x→ 0
arctan(x) = arctan(0) = 0.
j) A função lim x→ 1
arctan(x) é continua em 1 , portanto
lim x→ 1
arctan(x) = arctan(1) = π/ 4.
k) A função lim x→
√ 3 / 3
arctan(x) é continua em
3 / 3 , portanto
lim x→
√ 3 / 3
arctan(x) = arctan(
3 /3) = π/ 6.
l) A função lim x→
√ 3
arctan(x) é continua em
3 , portanto
lim x→
√ 3
arctan(x) = arctan(
- = π/ 3.
