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Probabilidades (12.o^ ano)
C´alculo combinat´orio - Problemas de contagem
Exerc´ıcios de Provas Nacionais e Testes Interm´edios - Propostas de resolu¸c˜ao
- Como os pontos pertencem a duas retas, os 5 pontos da reta r s˜ao colineares, pelo que nenhum conjunto de 3 destes pontos define um triˆangulo, assim como acontece para os n pontos da reta s.
Desta forma, para definir um triˆangulo com 3 destes pontos ´e necess´ario selecionar 2 pontos da reta r e 1 ponto da reta r (^5 C 2 ×n^ C 1 triˆangulos distintos deste tipo), ou em alternativa, selecionar 1 ponto da reta r e 2 pontos da reta r (^5 C 1 ×n^ C 2 triˆangulos distintos deste tipo).
Como ´e poss´ıvel definir exatamente 175 triˆangulos, temos que: (^5) C 2 × n (^) C 1 +
5 C
1 ×
n (^) C 2 = 175
Resolvendo a equa¸c˜ao anterior, determinamos o valor de n:
(^5) C 2 ×n (^) C 1 + (^5) C 1 ×n (^) C 2 = 175 ⇔ 5! 2!3!
× n +
n! 2!(n − 2)!
× 5 = 175 ⇔
5 × 4 × 3!
× n + n × (n − 1) × (n − 2)! 2!(n − 2)!
× 5 = 175 ⇔
5 × 4 × n 2!
n × (n − 1) × 5 2!
20 n 2
(n^2 − n) × 5 2 = 175 ⇔ 20 n + 5n^2 − 5 n = 350 ⇔ 5 n^2 + 15n − 350 = 0 ⇔ n = 7 ∨ n = − 10
Como n ´e o n´umero de ponto marcados sobre a reta s, ent˜ao n ∈ N, ou seja, n = 7 Exame – 2021, 2.a^ Fase
- Como os dois condutores s˜ao dois dos trˆes dirigentes,existem 3 A 2 formas diferentes de selecionar os condutores (a ordem ´e relevante, porque as viaturas s˜ao diferentes).
Como no autom´ovel, v˜ao dois jogadores de cada sexo, n˜ao existe qualquer lugar dispon´ıvel para o treinador ou para o dirigente que n˜ao vai conduzir, pelo que o n´umero de formas diferentes de selecionar os restantes ocupantes do autom´ovel consiste em contar o n´umero de formas de selecionar 2 dos 5 jogadores do sexo masculino e 2 das 5 jogadoras do sexo feminino, ou seja, 5 C 2 ×^5 C 2
Assim, temos a contagem do n´umero de condutores e grupos de ocupantes de cada uma das viaturas, pelo que resta ainda ordenar os 4 ocupantes do autom´ovel e 8 ocupantes da carrinha (`a exce¸c˜ao dos condutores) pelos lugares dispon´ıveis em cada viatura, ou seja P 4 = 4 A 4 = 4! para os lugares do autom´ovel e P 8 = 8 A 8 = 8! para os lugares da viatura.
Assim, a uma express˜ao que dˆe o n´umero de maneiras diferentes de distribuir os catorze elementos da comitiva pelos catorze lugares dispon´ıveis, ´e: (^3) A 2 × (^5) C 2 × (^5) C 2 × ×4! × 8!
Exame – 2021, 1.a^ Fase
- Como apenas os 4 h´ospedes dinamarqueses podem conduzir as 4 motos diferentes, a forma de os distribuir, um por cada moto ´e: 4 A 4 = P 4 = 4!
Como devemos distribuir os restantes 3 h´ospedes suecos pelos 4 lugares dispon´ıveis, o n´umero de formas diferentes de o fazer ´e 4 A 3 (porque se deve considerar a ordem relevante, uma vez que as motas s˜ao diferentes), ou seja, o n´umero total de formas distintas de distribuir os sete h´ospedes pelas quatro motos, nas condi¸c˜oes definidas, ´e: 4! ×^4 A 3 = 576 Resposta: Op¸c˜ao D
Exame – 2020, Ep. especial´
- Como os n´umeros devem ser naturais, superiores a 9999 e inferiores a 22 000, ent˜ao todos tˆem 5 algarismos, usando apenas os algarismos 0, 1, 2 ou 3.
O algarismo das dezenas de milhar tem que ser 1 ou 2 (n˜ao pode come¸car por zero e deve ser inferior a 30 000).
Se o algarismo das dezenas de milhar for 1, ent˜ao os restantes 4 podem ser escolhidos de entre as 4 alternativas, sem restri¸c˜oes, com repeti¸c˜ao e considerando relevante a ordem, ou seja, de 4 A′ 4 = 4^4 = 256 formas diferentes.
Se o algarismo das dezenas de milhar for 2, ent˜ao o algarismo dos milhares tem que ser 0 ou 1 (2 op¸c˜oes), para que o n´umero seja inferior a 22 000 e os restantes 3 podem ser escolhidos de entre as 4 alternativas, sem restri¸c˜oes, com repeti¸c˜ao e considerando relevante a ordem, ou seja, existem 2×^4 A′ 3 = 2× 43 = 2× 128 n´umeros diferentes nestas condi¸c˜oes.
Assim, a quantidade de n´umeros naturais superiores a 9999 e inferiores a 22 000 escritos usando apenas os algarismos 0, 1, 2 e 3 ´e: (^4) A′ 4 + 2^ ×
4 A′
Resposta: Op¸c˜ao C Exame – 2020, 2.a^ Fase
- Para que os n´umeros sejam ´ımpares e maiores do que seis milh˜oes, tˆem que, cumulativamente, ter o primeiro algarismo maior ou igual a 6 e o ´ultimo algarismo ´ımpar.
Como s´o existe um algarismo 7, os n´umeros ´ımpares que se podem formar maiores que sete milh˜oes, devem terminar em 5, pelo que usando o 7 para o algarismo dos milh˜oes e um dos 5 para o algarismo das unidades, restam escolher a posi¸c˜ao do outro algarismo 5, de entre as 5 posi¸c˜oes dispon´ıveis, sendo que as restantes posi¸c˜oes ser˜ao ocupadas por algarismos 6. Assim, nestas condi¸c˜oes o n´umero de n´umeros ´ımpares que se podem formar maiores que sete milh˜oes ´e: 5 C 1 = 5
Caso o algarismo dos milh˜oes seja um 6, podemos considerar a hip´otese do algarismo das unidades ser o 7, e neste caso, a contagem do n´umero de hip´oteses corresponde a escolher 2 das 5 posi¸c˜oes restantes onde devem figurar os algarismos 5, ou seja, 5 C 2 = 10
Ainda no caso do algarismo dos milh˜oes ser um 6, devemos considerar a hip´otese do algarismo das unidades ser 5, e nesse caso ser´a necess´ario escolher uma posi¸c˜ao para o 5 restante, de entre as 5 posi¸c˜oes restantes e outra para o 7, de entre as 4 restantes, ou seja, 5 C 1 ×^4 C 1 = 20
Assim, o n´umero de n´umeros ´ımpares e maiores do que seis milh˜oes, de acordo com as restri¸c˜oes do enunciado, ´e: (^5) C 1 + (^5) C 2 + (^5) C 1 × (^4) C 1 = 5 + 10 + 20 = 35
Exame – 2019, 1.a^ Fase
- Se pretendemos formar conjuntos com, pelo menos, trˆes pessoas de entre um conjunto alargado de cinco pessoas, devemos considerar todos os conjuntos de trˆes pessoas, com todos os conjuntos de quatro pessoas e ainda o ´unico conjunto de cinco pessoas, ou seja: (^5) C 3 +
5 C
5 C
Resposta: Op¸c˜ao D
Exame – 2018, Ep. especial´
- Como existem 5 vogais, existem 5 hip´oteses para o primeiro d´ıgito do c´odigo. Para os restantes 3 d´ıgitos do c´odigo existem 9 algarismos dispon´ıveis, e como os algarismos devem ser todos diferentes, para as restantes 3 d´ıgitos existem 9 A 3 escolhas diferentes.
Assim, nas condi¸c˜oes do enunciado existem 5 × 9 A 3 = 2520 n´umeros.
Resposta: Op¸c˜ao D Exame – 2018, 2.a^ Fase
- Como existem 4 alunos de Espanhol, que devem ficar juntos na fotografia, existem P 4 = 4 A 4 = 4! formas de dispor os 4 alunos em 4 posi¸c˜oes adjacentes. Da mesma forma, como existem 8 alunos de Inglˆes, existem P 8 = 8 A 8 = 8! formas diferentes de os dispor em 8 posi¸c˜oes adjacentes. Como se pretende que os alunos da mesma disciplina fiquem juntos, independentemente da ordena¸c˜ao das disciplinas, existem 2 formas de colocar os dois grupos (o grupo de Espanhol na direita, ou na esquerda), e assim o n´umero total de maneiras que se podem dispor os 12 alunos nas condi¸c˜oes descritas, ´e:
4! × 8! × 2 = 1 935 360
Resposta: Op¸c˜ao D
Exame – 2018, 1.a^ Fase
- Como o n´umero a formar deve ser maior que 20 000, ent˜ao para o algarismo das dezenas de milhar existem apenas 3 escolhas poss´ıveis (2, 3 e 4). Para os restantes 4 posi¸c˜oes do n´umero existem 4 algarismos dispon´ıveis (0 e 1 e os dois algarismos que n˜ao figuram na posi¸c˜ao das dezenas de milhar), e como os algarismos devem ser todos diferentes, para as restantes 4 posi¸c˜oes existem P 4 = 4 A 4 = 4! escolhas diferentes.
Assim, nas condi¸c˜oes do enunciado existem 3 × 4! = 72 n´umeros.
Resposta: Op¸c˜ao C Exame – 2017, Ep. especial´
- Temos que os algarismos pares, ficando juntos podem ocupar 4 grupos de duas posi¸c˜oes adjacentes e trocando entre si, podem figurar no n´umero de 2 × 4 formas distintas. Os algarismos ´ımpares devem ocupar as 3 posi¸c˜oes restantes, podendo trocar entre si, o que corresponde a 3 A 3 = P 3 = 3! disposi¸c˜oes diferentes. Assim, considerando todas as disposi¸c˜oes diferentes dos algarismos, temos que o total de n´umeros naturais nas condi¸c˜oes do enunciado ´e: 2 × 4 × 3! = 8 × 6 = 48
Resposta: Op¸c˜ao B Exame – 2017, 2.a^ Fase
- Os n´umeros naturais de quatro algarismos que se podem formar com os algarismos de 1 a 9 e que s˜ao m´ultiplos de 5, s˜ao constitu´ıdos por 3 algarismos ou posi¸c˜oes, em que as trˆes primeiras podem ser ocupada por 9 algarismos (todos exceto o zero), e a ´ultima apenas por 1 (o algarismo 5). Assim, o n´umero de m´ultiplos de 5 nas condi¸c˜oes do enunciado ´e 9 × 9 × 9 × 1 = 9^3 × 1 = 9^3 = 729 Resposta: Op¸c˜ao A Exame – 2017, 1.a^ Fase
- Considerando uma ´unica fica horizontal, existem 4 posi¸c˜oes que devem ser ocupadas por 4 elementos (fi- chas com n´umero par) diferentes e por isso cuja ordem de coloca¸c˜ao ´e relevante, ou seja, s˜ao 4 A 4 = P 4 = 4! as formas de colocar os n´umeros pares numa ´unica fila horizontal. Como existem 4 filas horizontais, o n´umero de formas que existem para dispor as fichas com n´umeros pares no tabuleiro, ocupando uma ´unica fila horizontal ´e 4 × 4!
Ap´os a coloca¸c˜ao das fichas com um n´umero par, restam 16 − 4 = 12 posi¸c˜oes dispon´ıveis no tabu- leiro que podem ser ocupadas por uma fichas com um n´umero ´ımpar (que s˜ao diferentes e por isso ´e relevante a ordem de coloca¸c˜ao), ou seja, existem 12 A 5 formas de dispor as fichas com os n´umeros ´ımpares.
Assim o n´umero de maneiras diferentes ´e poss´ıvel dispor as nove fichas, de tal forma que as que tˆem n´umero par ocupem uma ´unica fila horizontal ´e: 4 × 4! × 12 A 5 = 9 123 840 Exame – 2016, 2.a^ Fase
- Para que o n´umero seja ´ımpar o algarismo das unidades deve ser 1 (porque ´e o ´unico n´umero das bolas que ´e ´ımpar). Assim, dos 9 algarismos do n´umeros, apenas 8 podem ser ocupados pelas bolas com os n´umeros 2 e 4.
Selecionando 4 das 8 posi¸c˜oes (dispon´ıveis) do n´umero para serem ocupadas por bolas com o n´umero 2, temos 8 C 4 hip´oteses, e selecionando 1 das 4 posi¸c˜oes dispon´ıveis (excluindo a posi¸c˜ao das unidades e as posi¸c˜oes ocupadas pelas bolas com os n´umeros 4), temos 4 C 1 = 4 hip´oteses diferentes. As restantes posi¸c˜oes ser˜ao ocupadas pelas bolas com os n´umeros 1, pelo que a quantidade de n´umeros ´ımpares que ´e poss´ıvel obter, ´e: (^8) C 4 × 4 = 280
Exame – 2016, 1.a^ Fase
- Para que as bolas 3 e 4 fiquem lado a lado, existem duas hip´oteses, a bola 3
a direita, ou ent˜aoa esquerda
( 3© © 4 ou © 4 © 3 ).
Considerando este par como um elemento (e garantindo desta forma que estas bolas ficam juntas), podemos considerar que temos 4 elementos - este par e as restantes 3 bolas - que podem ser colocados em 4 posi¸c˜oes, sendo a ordem relevante, ou seja, temos 4 A 4 = P 4 = 4! formas diferentes de dispor estes 4 elementos.
Assim, o n´umero de maneiras diferentes em que se podem colocar, lado a lado, as cinco bolas, de modo que as bolas com os n´umeros 3 e 4 fiquem ao lado uma da outra, ´e:
2 × 4! = 48
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 29.11.
- Designado as faces concorrentes no v´ertice A como as faces de cima e as restantes como as faces de baixo, temos que, O n´umero de maneiras em que, pelo menos trˆes das faces de cima ficam numeradas com n´umeros ´ımpares, pode ser calculado como a soma de maneiras diferentes relativas a duas situa¸c˜oes distintas:
- aquelas em que todas (as 4) as faces de cima ficam numeradas com n´umeros ´ımpares, e
- aquelas em que 3 das 4 faces de cima ficam numeradas com n´umeros ´ımpares. Calculando o n´umero de maneiras poss´ıveis para cada destas duas situa¸c˜oes temos:
Se todas as 4 faces de cima devem ter n´umeros ´ımpares (e uma delas j´a est´a numerada com o n´umero 1), ent˜ao devemos considerar todas as sequˆencias de 3 n´umeros ´ımpares que podemos obter com os 3 n´umeros ´ımpares restantes (3, 5 e 7) - considerando a ordem relevante e n˜ao permitindo repeti¸c˜oes - ou seja, temos 3 A 3 = P 3 = 3! formas de organizar os n´umeros ´ımpares nas faces de cima. Como os 4 n´umeros pares (2, 4, 6 e 8) podem ser colocados em faces diferentes, devemos considerar todas as sequˆencias de 4 elementos que se podem obter com os 4 n´umeros pares, ou seja, temos 4 A 4 = P 4 = 4! formas de organizar os n´umeros pares nas faces de baixo. Assim, existem 3 A 3 ×^4 A 4 = P 3 ×P 4 = 3!×4! formas de numerar as restantes faces do octaedro, garantindo que as faces de cima ficam numeradas com n´umeros ´ımpares.
Relativamente `a situa¸c˜ao de uma das faces de cima, ser numerada com um n´umero par, e as restantes com n´umeros ´ımpares, devemos selecionar um dos 4 n´umeros pares dispon´ıveis, e escolher uma das 3 faces dispon´ıveis para o colocar, o que pode ser feito de 4 × 3 formas poss´ıveis. Depois, ainda para as restantes duas faces de cima, devemos considerar as sequˆencias de 2 n´umeros que podemos obter, a partir dos 3 n´umeros ´ımpares ainda dispon´ıveis, ou seja 3 A 2 formas diferentes de numerar as restantes faces de cima. Depois, ainda devemos considerar as 4 A 4 = 4! formas diferentes de organizar os restantes 4 n´umeros nas 4 faces de baixo. Assim, existem 4 × 3 ×^3 A 2 × 4! formas diferentes de numerar as faces, garantindo que nas faces de cima existem exatamente 3 n´umeros ´ımpares.
Assim, o n´umero de total de formas diferentes que podemos numerar as faces do octaedro, garantindo que, pelo menos, 3 das faces de cima ficam numeradas com n´umeros ´ımpares ´e
3! × 4! + 4 × 3 × 3 A 2 × 4! = 1 872
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 29.11.
- Para que a comiss˜ao seja mista, deve ter pelo menos um rapaz, e como deve ter mais raparigas que rapazes, ent˜ao o n´umero de comiss˜oes diferentes que se podem formar pode ser calculado como a soma de comiss˜oes diferentes relativas a composi¸c˜oes de dois tipos:
- 3 raparigas e 2 rapazes Como a ordem n˜ao ´e relevante podemos escolher 3 raparigas do conjunto das 15, de 15 C 3 formas diferentes e podemos escolher os 2 rapazes de 7 C 2 formas diferentes, logo existem 15 C 3 ×^7 C 2 comiss˜oes deste tipo
- 4 raparigas e 1 rapaz As comiss˜oes deste tipo s˜ao 15 C 4 ×7 que correspondem a escolher 4 das 15 raparigas e 1 dos 7 rapazes, sem considerar a ordem relevante.
Assim, o n´umero de comiss˜oes diferentes que se podem formar, de acordo com as condi¸c˜oes impostas, ´e: (^15) C 3 × (^7) C 2 + 15 C 4 × 7
Resposta: Op¸c˜ao B
Exame – 2013, Ep. especial´
- A escolha pode ser feita selecionando, 9 dos 16 quadrados para colocar os discos brancos (n˜ao considerando a ordem relevante porque os discos s˜ao iguais). Ou seja, 16 C 9 s˜ao as diferentes formas de dispor os discos brancos no tabuleiro.
Depois, selecionamos 3 quadrados, de entre os 7 que permanecem sem qualquer disco. Ou seja 7 C 3 s˜ao as diferentes formas de dispor os discos pretos no tabuleiro, depois de termos colocado os 9 discos brancos.
Assim, o n´umero de formas diferentes de colocar os 12 discos no tabuleiro, de acordo com as condi¸c˜oes definidas ´e (^16) C 9 × 7 C 3
Resposta: Op¸c˜ao B Exame – 2013, 2.a^ Fase
- A Resposta (I) (^20 C 16 × 16! ×^8 A 4 ) pode ser interpretada como: Selecionando, de entre os 20 jornalistas 16 para ocupar as duas filas da frente, temos 20 C 16 grupos dife- rentes de 16 jornalistas. Como em cada um destes grupos, existem 16! maneiras diferentes de os sentar, correspondentes a todas as trocas de lugar entre eles que podem ser feitas, multiplicamos os dois n´umeros. E, por cada uma das situa¸c˜oes diferentes antes consideradas, existem ainda 8 A 4 hip´oteses a considerar, decorrentes de selecionar 4 cadeiras, ou posi¸c˜oes, de entre as 8 existentes na terceira fila (considerando a ordem relevante) para fazer a atribui¸c˜ao de cada uma delas a um dos 4 jornalistas que se senta nesta fila. Como consideramos a ordem relevante, ficam j´a consideradas as trocas poss´ıveis entre eles.
A Resposta (II) (^20 A 8 ×^12 A 8 ×^8 A 4 ) pode ser interpretada como: Existem 20 A 8 formas de ocupar a primeira fila, selecionam-se 8 de entre os 20 jornalistas (considera-se a ordem relevante para considerar as trocas poss´ıveis entre cada grupo de 8 selecionados). Por cada uma das hip´oteses anteriores, existem 12 A 8 formas de ocupar a segunda fila, correspondentes a selecionar 8 de entre os 12 jornalistas que n˜ao ocuparam a primeira fila, podendo estes 8 fazer todas as trocas entre si. Finalmente, por cada uma das 20 A 8 ×^12 A 8 formas de ocupar as duas primeira filas, existem ainda 8 A 4 hip´oteses a considerar, decorrentes de selecionar 4 cadeiras, ou posi¸c˜oes, de entre as 8 existentes na terceira fila (considerando a ordem relevante) para fazer a atribui¸c˜ao de cada uma delas a um dos 4 jornalistas que se senta nesta fila. Como consideramos a ordem relevante, ficam j´a consideradas as trocas poss´ıveis entre eles.
Exame – 2013, 2.a^ Fase
- Para calcular o n´umero de c´odigos diferentes, de acordo com as restri¸c˜oes impostas, podemos come¸car por escolher a posi¸c˜ao do 2 , e assim existem 7 posi¸c˜oes poss´ıveis. Por cada uma das 7 escolhas anteriores, escolhemos outras duas posi¸c˜oes (de entre as 6 dispon´ıveis para posicionar os 5 , logo existem 6 C 2 escolhas diferentes. Como as restantes posi¸c˜oes s˜ao todas ocupadas por a , a coloca¸c˜ao dos a corresponde a uma ´unica hip´otese de posicionamento. Assim temos que o n´umero total de hip´oteses poss´ıveis ´e
7 × 6 C 2 × 1 = 105
Resposta: Op¸c˜ao A
Exame – 2012, 2.a^ Fase
- A resposta (I) (^500 C 30 − 498 C 28 ) pode ser interpretada como: O n´umero total de grupos de 30 funcion´arios que se podem escolher s˜ao 500 C 30. Naturalmente em alguns destes est˜ao presentes as duas irm˜as. Se ao n´umero total destes grupos subtrairmos o n´umero de grupos em que as duas irm˜as est˜ao presentes, ou seja, os grupos de 30 elementos que incluem as duas irm˜as e mais 28 de entre os restantes 498 fun- cion´arios (^498 C 28 ), restam apenas os grupos onde est´a apenas uma das irm˜as ou ent˜ao nenhuma delas, o que significa que pelo menos uma delas n˜ao integrar´a o grupo de funcion´arios escolhidos.
A resposta (II) (2 ×^498 C 29 + 498 C 30 ) pode ser interpretada como: Os grupos de 30 funcion´arios, que respeitam a condi¸c˜ao defina, podem ser de dois tipos:
- Apenas uma das irm˜as pertence ao grupo. Existem 2 × 498 C 29 grupos deste tipo, pois resultam de incluir 1 das 2 irm˜as e mais 29 funcion´arios, escolhidos de entre os restantes 498.
- Nenhuma das irm˜as pertence ao grupo. Existem 498 C 30 grupos deste tipo, pois resultam da escolha de 30 funcion´arios do grupo de 498 funcion´arios que n˜ao inclu´ı as irm˜as.
Assim, 2 × 498 C 29 + 498 C 30 representa o n´umero de grupos que inclu´ı apenas uma das irm˜as, adicionado ao n´umero de grupos que n˜ao inclu´ı nenhuma das irm˜as.
Exame – 2012, 2.a^ Fase
- Selecionando 7 dos 12 compartimentos para colocar os copos brancos, que por serem iguais, a ordem da sele¸c˜ao n˜ao ´e relevante, temos 12 C 7 formas de arrumar os copos brancos. Por cada arruma¸c˜ao diferente dos copos brancos, devemos considerar 5 A 3 hip´oteses diferentes para colocar os copos de outras cores, que correspondem a selecionar 3 dos 5 compartimentos (ainda) vazios, e em que a ordem da sele¸c˜ao ´e relevante por se destinarem a copos de cor diferente. Assim o n´umero de arruma¸c˜oes diferentes ´e 12 C 7 × 5 A 3
Resposta: Op¸c˜ao C
Exame – 2012, 1.a^ Fase
- Os 10 rapazes ir˜ao ocupar 10 posi¸c˜oes, podendo cada um deles ocupar cada uma das 10 posi¸c˜oes. Como qualquer troca de posi¸c˜oes representa uma foram diferente de se sentarem, a ordem ´e relevante. Assim, existem 10 A 10 = P 10 = 10! formas diferentes de sentar os rapazes na fila da frente. Como a delegada e a subdelegada, ocupam duas posi¸c˜oes espec´ıficas e podem trocar entre si, existem apenas 2 formas diferentes de colocar estas duas raparigas. As restantes 12 raparigas, ocupam as 12 posi¸c˜oes centrais na fila de tr´as, pelo que existem 12 A 12 = P 12 = 12! formas diferentes de dispor estas 12 raparigas.
Assim, uma express˜ao que d´a o n´umero de maneiras diferentes de, nestas condi¸c˜oes, os 24 jovens pousarem para a fotografia ´e 10! × 2 × 12!
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 13.03.
- Se considerarmos o bloco das trˆes cartas como um elemento ´unico, temos um conjunto de 11 elementos (o bloco das 3 figuras e as restantes 10 cartas) para serem dispostos em 11 posi¸c˜oes, ou seja, 11 A 11 = P 11 = 11! disposi¸c˜oes diferentes. Por cada uma das disposi¸c˜oes anteriores, temos que considerar, adicionalmente, as trocas poss´ıveis das 3 figuras no bloco das 3 cartas, ou seja, 3 A 3 = P 3 = 3! trocas poss´ıveis.
Assim, o n´umero de sequˆencias diferentes que ´e poss´ıvel construir, de modo que as trˆes figuras fiquem juntas ´e 11! × 3! = 239 500 800
Exame – 2011, Ep. especial´
- A resposta correta ´e a Resposta II. Relativamente a esta resposta, o n´umero de formas diferentes de escolher os 3 funcion´arios, de forma que pelo menos 2 dos funcion´arios escolhidos estejam a favor do novo hor´ario de trabalho, ´e calculado como a soma dos n´umeros de casos de duas situa¸c˜oes distintas:
- 2 dos 3 funcion´arios escolhidos s˜ao favor´aveis `a altera¸c˜ao, ou seja, escolher 1 funcion´ario de entre os 6 que n˜ao est˜ao no grupo dos que s˜ao favor´aveis, e por cada uma das 6 escolhas poss´ıveis, escolher um conjunto de 2 de entre os 9 trabalhadores que s˜ao favor´aveis (6 × 9 C 2 );
- escolher 3 trabalhadores que sejam favor´aveis `a altera¸c˜ao, ou seja, escolher um grupo de 3, do conjunto de 9 trabalhadores que s˜ao favor´aveis (^9 C 3 ).
Outra forma de fazer este c´alculo, consiste em subtrair ao total dos conjuntos de 3 trabalhadores que podemos fazer com os 15 funcion´arios (^15 C 3 ), o n´umero de grupos onde nenhum trabalhador ´e favor´avel a altera¸c˜ao, ou apenas 1 ´e favor´avela altera¸c˜ao. Observando a Resposta I, podemos identificar este racioc´ınio, embora tenham sido subtra´ıdos apenas os conjuntos em que nenhum trabalhador ´e favor´avel (^6 C 3 , que consiste em calcular o n´umero de conjuntos de 3 que podemos fazer com os 6 trabalhadores que n˜ao est˜ao no grupo dos que s˜ao favor´aveis). Assim, para que o c´alculo fique correto, deve ser ainda subtra´ıdo o n´umero 6 C 2 ×9, ou seja, o n´umero de conjuntos em que s˜ao escolhidos 2 de entre os 6 trabalhadores que n˜ao est˜ao no grupo dos que s˜ao favor´aveis e um terceiro trabalhador do grupo dos 9 apoiantes da altera¸c˜ao. Desta forma, alterando a Resposta I para: 15 C 3 − 6 C 3 − 6 C 2 × 9, obtemos outra resposta correta.
Exame – 2011, 2.a^ Fase
- Como o c´odigo tem 4 algarismos e sabemos que 2 deles s˜ao 7 ^ e os restantes 2 s˜ao diferentes de 7 , podemos come¸car por calcular o n´umero de situa¸c˜oes diferentes em que os algarismos 7 podem ser dispostos (^4 C 2 , que corresponde a selecionar 2 das 4 posi¸c˜oes do c´odigo, sem considerar a ordem, porque estas posi¸c˜oes ser˜ao ambas ocupadas por algarismos iguais - o algarismo 7 ). Depois, por cada uma destas escolhas, existem 9 hip´oteses (todos os algarismos `a exce¸c˜ao do 7 ) para ocupar a primeira posi¸c˜ao n˜ao ocupada, e outras 9 para a segunda posi¸c˜ao n˜ao ocupada, pelo que o n´umero total de c´odigos pode ser calculado como (^4) C 2 × 9 × 9 = 486
Resposta: Op¸c˜ao A
Exame – 2011, 1.a^ Fase
- Selecionando 2 das 4 cartas de espadas, temos 4 A 2 formas de colocar as cartas nas extremidades (consi- deramos a ordem relevante, porque uma das cartas selecionadas fica no in´ıcio da sequˆencia e a outra no fim). Depois de termos colocado as 2 cartas nas posi¸c˜oes dos extremos, sobram 5 cartas (as 2 de espadas res- tantes e as 3 de copas) para serem dispostas em 5 posi¸c˜oes, que podem ser colocadas de 5 A 5 = P 5 = 5! formas diferentes. Assim, existem 4 A 2 × 5! = 1440 sequˆencias diferentes.
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 19.01.
- A resposta correta ´e a Resposta do Andr´e. Podemos calcular o n´umero de comiss˜oes diferentes com dois alunos do mesmo sexo, se, ao total de comiss˜oes diferentes que se podem formar com os 25 alunos (^25 C 2 ), subtrairmos aquelas que s˜ao com- postas por alunos de sexos diferentes, ou seja, selecionando 1 dos 15 rapazes e 1 das 10 raparigas (^15 C 1 × 10 C 1 = 5 × 10). Ou seja 25 C 2 − 15 × 10 comiss˜oes diferentes de 2 alunos do mesmo sexo. A resposta da Rita evidˆencia a hip´otese de calcular o n´umero de comiss˜oes formadas por 2 dos 15 rapazes (^15 C 2 ) e em separado o n´umero de comiss˜oes formadas apenas por raparigas (^10 C 2 ). Contudo estes dois n´umeros devem ser somados, porque as comiss˜oes podem ser formadas por dois rapazes OU por duas raparigas. Assim alterando a resposta da Rita de 15 C 2 × 10 C 2 para 15 C 2 + 10 C 2 , obtemos outra resposta correta para o problema.
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 15.03.
- Como se pretende que os n´umeros sejam pares, temos 2 hip´oteses para ocupar o algarismo das unidades (2 ou 4). Ap´os considerar as duas hip´oteses para o algarismo das unidades restam 4 algarismos (1, 3, 5 e o algarismo par que n˜ao ocupa a posi¸c˜ao das unidades) para ocupar 4 posi¸c˜oes, ou seja 4 A 4 = P 4 = 4!. Assim, a quantidade de n´umeros pares de cinco algarismos diferentes que se podem escrever com os algarismos dados ´e 2 × 4! = 48 Resposta: Op¸c˜ao B
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 04.12.
- Como uma das faces pentagonais j´a tem 3 vogais atribu´ıdas, bem como as respetivas posi¸c˜oes, nessa face s´o existem 2 hip´oteses para colocar as restantes duas vogais. Na outra face pentagonal, existem 4 v´ertices dispon´ıveis, e 23− 5 −1 = 17 letras dispon´ıveis (todas excepto as vogais e a consoante B), e como a ordem ´e relevante para a identifica¸c˜ao de cada v´ertice, existem 17 A 4 hip´oteses de coloca¸c˜ao das consoantes. Assim, o n´umero de maneiras diferentes de designar os restantes 6 v´ertices ´e
2 × 17 A 4 = 114 240
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 04.12.
- Como se pretende que a elei¸c˜ao seja feita de modo a que os eleitos sejam de sexos diferentes, devemos selecionar 1 dos 8 rapazes e 1 das 12 raparigas e ainda multiplicar por 2 para considerar a hip´otese de eles alternarem nos dois cargos. Assim, o n´umero de escolhas diferentes que podem ser feitas ´e
8 × 12 × 2 = 192
Resposta: Op¸c˜ao C
Exame – 2009, Ep. especial´
- Como se pretende que os n´umeros sejam pares, para o algarismo das unidades temos apenas 2 hip´oteses (o 6 e o 8 ). Como se pretende que das restantes 3 posi¸c˜oes, duas sejam ocupadas por algarismos 5 temos 3 C 2 hip´oteses de escolher 2 das 3 posi¸c˜oes para os algarismos 5 . Para a posi¸c˜ao restante existem ainda 4 hip´oteses (todos os elementos do conjunto A, `a exce¸c˜ao do 5 ). Assim, a quantidade de n´umeros n´umeros que se podem formar, nestas condi¸c˜oes, ´e
2 × 3 C 2 × 4 = 24
Exame – 2009, Ep. especial´
- Sendo ases a primeira e a ´ultima cartas da sequˆencia, existem 4 A 2 formas de arranjar os extremos da sequˆencia (selecionamos 2 dos 4 ases existentes, que por serem diferentes, deve ser considerada relevante a ordem de coloca¸c˜ao). Considerando as 3 posi¸c˜oes centrais, da sequˆencia, ocupadas por figuras, existem 12 A 3 configura¸c˜oes diferentes (que correspondem a selecionar 3 das 12 figuras existentes, e considerar relevante a ordem, por serem todas diferentes). Logo o n´umero total de sequˆencias que se podem formar em que a primeira carta e a ´ultima carta s˜ao ases, e as restantes s˜ao figuras ´e (^4) A 2 ×^
12 A
Exame – 2009, 2.a^ Fase
- Como os algarismos que comp˜oem o n´umero est˜ao definidos, os n´umeros que satisfazem estas condi¸c˜oes diferem entre si apenas na posi¸c˜ao de coloca¸c˜ao dos algarismos. Assim, selecionando 3 das 7 posi¸c˜oes para serem ocupadas pelo algarismo 1 ^ (sem considerar relevante a ordem porque estas posi¸c˜oes ser˜ao ocupadas por algarismos iguais), temos 7 C 3 coloca¸c˜oes poss´ıveis dos algarismos 1 . Por cada uma das coloca¸c˜oes anteriores, devemos ainda selecionar 2 das 4 posi¸c˜oes dispon´ıveis (7 − 3 = 4) para colocar o algarismos 4 , ou seja 4 C 2 escolhas. As 2 posi¸c˜oes ainda dispon´ıveis (7 − 3 − 2 = 2) ser˜ao ocupadas pelo algarismo 5 , o que corresponde a (^2) C 2 = 1 escolha poss´ıvel. Assim a quantidade de n´umeros diferentes que satisfazem as condi¸c˜oes definidas ´e (^7) C 3 × 4 C 2 × 2 C 2 = 210
Exame – 2009, 1.a^ Fase
- Como existem 3 raparigas, existem 3 formas diferentes de ocupar a posi¸c˜ao do meio que respeitam a condi¸c˜ao definida. Para al´em da posi¸c˜ao do meio, existem mais 4 posi¸c˜oes que ser˜ao ocupadas por 4 elementos diferentes, ou seja, devemos considerar relevante a ordem pela qual cada posi¸c˜ao ´e atribu´ıda a cada pessoa, pelo que, existem 4 A 4 = P 4 = 4! formas de sentar as restantes pessoas pelas posi¸c˜oes do banco, que n˜ao a posi¸c˜ao do meio. Assim o n´umero de maneiras diferentes que as 5 pessoas se podem sentar no banco, ficando uma rapariga no lugar do meio, ´e 3 × 4! = 72 Resposta: Op¸c˜ao B
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 11.03.
- Considerando a hip´otese de pintar o c´ırculo com 4 cores, existem 5 A 4 hip´oteses diferentes, que corres- pondem a selecionar 4 das 5 cores dispon´ıveis, uma para cada setor, sendo a ordem relevante porque os setores s˜ao diferentes. Adicionalmente, devemos considerar a hip´otese de pintar o c´ırculo com 2 cores, existem 5C 2 formas di- ferentes de selecionar 2 das 5 cores. E por cada sele¸c˜ao existem 2 formas diferentes de pintar o c´ırculo, porque setores adjacentes n˜ao podem ser pintados da mesma cor. Ou seja 5C 2 × 2 formas diferentes de pintar o c´ırculo com 2 cores. Assim, o n´umero de formas diferentes que o c´ırculo pode ser pintado ´e 5 A 4 + 5 C 2 × 2 = 140
Resposta: Op¸c˜ao A
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 10.12.
52.1. Selecionando 3 de entre os 8 v´ertices, podemos formar 8 C 3 conjuntos, e, por cada um destes conjuntos, podemos ainda formar 6 C 2 conjuntos de 2 v´ertices, escolhidos, de entre os 6 do octaedro. Assim n´umero total de conjuntos de cinco v´ertices que s˜ao constitu´ıdos por trˆes v´ertices do cubo e dois v´ertices do octaedro ´e (^8) C 3 ×^
6 C
- Como se pretende que o c´odigo tenha exatamente 3 algarismos 5 (cuja soma ´e 15), para que a soma seja 17, os restantes 2 algarismos s´o poderiam ser 1 − 1, ou 0 − 2, como os restantes dois devem ser diferentes, sabemos que os algarismos do c´odigo s˜ao 5 − 5 − 5 − 0 − 2 Selecionado 3 das 5 posi¸c˜oes para colocar os algarismos 5, temos 5 C 3 hip´oteses, porque, como os algarismos s˜ao iguais, a ordem ´e irrelevante. E por cada posicionamento destes, existem ainda duas hip´oteses alternativas que resultam de tocar o 0 e 2 nas duas posi¸c˜oes restantes. Assim, o n´umero de c´odigos diferentes que existem e satisfazendo as condi¸c˜oes impostas ´e (^5) C 3 × 2 = 20
Resposta: Op¸c˜ao A Teste Interm´edio 12.o^ ano – 17.01.
- Como apenas 2 dos amigos tˆem carta de condu¸c˜ao, existem duas hip´oteses para a ocupa¸c˜ao dos lugares do condutor. Escolhidos os 2 condutores, restam 12 − 2 = 10 amigos, pelo que o n´umero de grupos de 4 amigos que se podem sentar no autom´ovel ´e 10 C 4 (se escolhˆessemos a carrinha, o resultado era igual, porque seriam grupos de 6 amigos, e 10 C 4 = 10 C 6 ). Depois de escolhidos os condutores e os ocupantes de um ve´ıculo, os restantes s˜ao os ocupantes do ve´ıculo restante, pelo que o n´umero de maneiras diferentes podem ficar constitu´ıdos os dois grupos de amigos ´e
2 × 10 C 4 = 420
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 17.01.
- Para que o produto de trˆes n´umeros seja ´ımpar, nenhum dos trˆes pode ser par, visto que o produto de qualquer n´umero por um n´umero par, resulta num produto par. Se, `a totalidade de n´umeros de 3 algarismos diferentes (formados com os 9 algarismos apresentados), subtrairmos aqueles que s˜ao formados exclusivamente por n´umeros ´ımpares, vamos obter a quantidade de n´umeros que tˆem pelo menos um algarismos ´ımpar na sua composi¸c˜ao. Existem 9 A 3 n´umeros de 3 algarismos diferentes formados com os 9 algarismos apresentados (consideramos a ordem relevante, porque a troca de posi¸c˜oes para os mesmos algarismos geram n´umeros diferentes). Aos 9 A 3 n´umeros vamos subtrair aqueles que s˜ao formados exclusivamente por n´umeros ´ımpares, ou seja, (^5) A 3 , que corresponde a escolher 3 dos 5 algarismos ´ımpares (1, 3, 5, 7 e 9), considerando a ordem relevante porque as trocas de posi¸c˜ao para os mesmos algarismos geram n´umeros diferentes. Assim, a quantidade de n´umeros de 3 algarismos, cujo produto dos seus algarismos ´e um n´umero par ´e (^9) A 3 −^
5 A
3
Exame – 2007, 1.a^ Fase
- De acordo com as restri¸c˜oes impostas, existem 3 alternativas para pintar a primeira tira. Como as cores das tiras centrais s˜ao diferentes das cores das tiras das extremidades, existem 2 hip´oteses para pintar a segunda tira. Como as cores de tiras adjacentes tˆem que ser diferentes e as tiras centrais s´o podem ser de duas cores, s´o existem uma cor para a terceira tira. Da mesma forma forma, existe uma ´unica alternativa para pintar a quarta tira. Para a ´ultima tira podemos usar qualquer uma das 3 cores dispon´ıveis para as tiras das extremidades. Assim, o n´umero de bandeiras diferentes se podem fazer ´e
3 × 2 × 1 × 1 × 3 = 18
Resposta: Op¸c˜ao B
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 07.12.
- Sabendo que apenas os rapazes podem conduzir, existem 2 hip´oteses para ocupar o lugar do condutor, pelo que o n´umero de formas distintas ´e a soma de duas parcelas. Se for o Paulo a conduzir, o outro lugar da frente tem que ser ocupado pela Inˆes, e os 3 lugares de tr´as podem ser ocupados por qualquer um dos restantes trˆes amigos, ou seja, existem 3 A 3 = P 3 = 3! formas diferentes de ocuparem os 5 lugares. Se o Paulo n˜ao conduzir, existem 2 hip´oteses para ocupar o lugar do passageiro,
a frente (porque nem o Paulo, nem a Inˆes podem ocup´a-lo) e 4 hip´oteses para a ocupa¸c˜ao do banco traseiro, que correspondem a 2 hip´oteses para sentar os namorados (o Pauloa direita ou a esquerda) e a rapariga restantea direita ou `a esquerda do casal de namorados. Assim, de acordo com as restri¸c˜oes impostas, o n´umero de formas distintas que os amigos podem ocupar os 5 lugares no autom´ovel ´e 3! + 2 × 4 = 6 + 8 = 14 Resposta: Op¸c˜ao B
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 07.12.
- Como se pretende que a sequˆencia seja iniciada por uma figura, temos 3 hip´oteses para a escolha da primeira carta. Para cada hip´otese de in´ıcio da sequˆencia, existem 12 cartas (as restantes duas figuras do naipe de paus e as restantes 10 cartas do naipe de paus) para ocupar as 12 posi¸c˜oes da sequˆencia, ou seja, 12 A 12 = P 12 = 12! hip´oteses. Assim, o n´umero de sequˆencias diferentes de cartas do naipe de paus, iniciadas com uma figura, que ´e poss´ıvel construir ´e 3 × 12! = 1 437 004 800
Teste Interm´edio 12.o^ ano – 07.12.
- O algarismo dos milhares dos n´umeros naturais compreendidos entre 1 000 e 3 000 s´o pode ser 1 ou 2, pelo que existem 2 hip´oteses para o algarismo das unidades. Como os algarismos devem ser todos diferentes, devem ser escolhidos 3 algarismos de entre os 9 que s˜ao diferentes do selecionado para o algarismo dos milhares, ou seja, 9 A 3 escolhas diferentes, visto ser relevante a ordena¸c˜ao destes 3 algarismos, por gerarem n´umeros diferentes. Assim, a quantidade de n´umeros naturais, escritos com algarismos todos diferentes, compreendidos entre os n´umeros 1 000 e 3 000 ´e 2 × 9 A 3 = 1008 Resposta: Op¸c˜ao D
Exame – 2006, Ep. especial´
- Como ficam dois rapazes de p´e, calculamos quantos grupos de rapazes podem ficar de p´e, selecionando 2 de entre os 4 rapazes, sem considerar relevante a ordem 4 C 2 Depois, por cada grupo de rapazes que fica de p´e, calculamos o n´umero de formas diferentes de ocupar 6 posi¸c˜oes (lugares), com 6 elementos (4 raparigas e 2 rapazes que v˜ao sentados), onde a ordem ´e considerada relevante, por gerarem configura¸c˜oes diferentes na ocupa¸c˜ao dos lugares sentados, ou seja 6 A 6 = P 6 = 6! Assim, supondo que ficam dois rapazes em p´e, o n´umero de maneiras diferentes que podem ficar ocupados os 6 lugares dispon´ıveis ´e (^4) C 2 ×^ 6! = 4 320 Resposta: Op¸c˜ao D
Exame – 2006, 2.a^ Fase
- Como o Filipe est´a indeciso, existem 7 escolhas poss´ıveis (3 + 4). Por cada escolha do Filipe, cada um dos restantes 5 amigos pode escolher de entre 3 hip´oteses, ou seja 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3^5 escolhas poss´ıveis. Assim, o n´umero de escolhas diferentes que podem ser feitas ´e
7 × 35 = 1701
Exame – 2005, ´Ep. especial (c´od. 435)
69.1. Como os discos devem ser um de cada pa´ıs, existem 6 hip´oteses para a escolha do disco portuguˆes, 4 alternativas para o disco espanh´ois, 3 escolhas diferentes para o disco francˆes e o disco francˆes ´e ´unico, pelo que ser´a escolhido com certeza. Assim o n´umero de conjuntos diferentes de quatro discos compostos por um disco de cada pa´ıs ´e
6 × 4 × 3 × 1 = 72
69.2. Como se pretende que os discos sejam todos do mesmo pa´ıs, e o conjunto tem 4 discos discos, apenas se podem fazer conjuntos de discos portugueses ou espanh´ois (porque dos outros pa´ıses existem menos do que 4 discos). Assim, podem ser feitos 6 C 4 conjuntos de discos portugueses (6 discos dispon´ıveis para 4 posi¸c˜oes no conjunto, sem considerar relevante a ordena¸c˜ao por se tratar de um conjunto) ou ent˜ao, de forma an´aloga, 4 C 4 conjuntos de discos espanh´ois. Assim, o n´umero de conjuntos com quatro discos todos do mesmo pa´ıs ´e (^6) C 4 + 4 C 4 = 15 + 1 = 16
Exame – 2005, 2.a^ Fase (c´od. 435)
- O n´umero de diagonais de um prisma regular pode ser calculado como a soma do n´umero de diagonais das duas bases do prisma com o n´umero de diagonais das faces laterais. Como cada base do prisma tem n lados, tem tamb´em n v´ertices. Logo existem, em cada base, nC 2 pares de v´ertices distintos, que definem segmentos de reta. Desses, n s˜ao os lados do pol´ıgono (da base), pelo que nC 2 − n s˜ao os restantes segmentos de reta, ou seja as diagonais de cada base. Como s˜ao duas bases, 2 (nC 2 − n) ´e o n´umero de diagonais das duas base. Como as bases do prisma tˆem n lados, o prisma tem n faces laterais, e todas s˜ao retangulares, existem 2 diagonais em cada face lateral, pelo que existem 2 × n diagonais nas faces laterais (2 em cada uma das n faces laterais). Desta forma, o n´umero total de diagonais de todas as faces do prisma (incluindo as bases) ´e
2 (nC 2 − n) + 2n
Exame – 2005, 1.a^ Fase (c´od. 435)
- Como se pretende que os algarismos sejam ´ımpares, e o n´umero deve ser maior que 60 000, s´o existem 2 hip´oteses para a escolha do algarismo das dezenas de milhar (o sete ou o nove). Como os algarismos devem ser diferentes, para as restantes 4 posi¸c˜oes, existem 4 elementos dispon´ıveis, que s˜ao todos os algarismos ´ımpares ainda n˜ao utilizados (o um, o trˆes, o cinco e o ´ımpar maior que 6 que n˜ao tiver sido escolhido para a posi¸c˜ao das dezenas de milhar), pelo que existem 4 A 4 = P 4 = 4!, uma vez que a ordem ´e relevante e n˜ao pode existir repeti¸c˜ao. Assim, a quantidade de n´umeros de cinco algarismos ´ımpares e diferentes, maiores que 60 000 ´e
2 × 4! = 48
Resposta: Op¸c˜ao A
Exame – 2004, ´Ep. especial (c´od. 435)
- Se existem 7 empates e a Ana ´e a vencedora do torneio, a Ana pode ganhar as 3 partidas que n˜ao ficam empatados, ou, ganhar 2 e o Bruno ganhar 1. Se a Ana ganhar as 3 partidas, existem 10 C 3 registos poss´ıveis, correspondentes a selecionar 3 das 10 partidas para registar as vit´orias da Ana (considerando todas as vit´orias iguais entre si). Da mesma forma, se a Ana vencer 2 partidas, e o Bruno 1, devemos selecionar 2 das 10 partidas para registar as vit´orias da Ana e 1 das 8 restantes para registar a vit´oria do Bruno, ou seja, 10 C 2 × 8 C 1 Assim, a n´umero de registos diferentes que podem ser feitos com 7 empates e em que a Ana tem mais vit´orias ´e a soma das duas contagens anteriores, ou seja, (^10) C 3 +^
10 C
2 ×^
8 C
Resposta: Op¸c˜ao D
Exame – 2004, ´Ep. especial (c´od. 435)
- Como o banco tem 7 lugares, e os rapazes n˜ao podem ficar sentados nas extremidades, nem juntos, a disposi¸c˜ao dos lugares entre g´eneros fica definida, podendo apenas os 3 rapazes trocar entre si nas 3 posi¸c˜oes que lhes est˜ao reservadas (^3 A 3 = P 3 = 3!) e as 4 raparigas trocar entre si nas 4 posi¸c˜oes que lhes est˜ao reservadas (^4 A 4 = P 4 = 4!). Assim, o n´umero de maneiras distintas podem ficar sentados os 3 rapazes e as 4 raparigas num banco de sete lugares, se se sentarem alternadamente por sexo, ´e
3! × 4! = 144
Resposta: Op¸c˜ao C
Exame – 2004, 2.a^ Fase (c´od. 435)
- Como o primeiro e o ´ultimo local a visitar est˜ao previamente definidos, a sequˆencia resume-se definir a ordem dos 3 locais restantes, ou seja, agrupar 3 elementos em 3 posi¸c˜oes, considerando relevante a ordem, ou seja, 3 A 3 = P 3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 Considerando um racioc´ınio complementar podemos pensar que para o primeiro local a visitar existe 1 op¸c˜ao, para o segundo 3 op¸c˜oes, para o terceiro apenas 2 op¸c˜oes (porque os locais n˜ao se podem repe- tir, para o quarto existe apenas uma op¸c˜ao e para o quinto tamb´em uma op¸c˜ao, pelo que o n´umero de sequˆencia diferentes ´e 1 × 3 × 2 × 1 × 1 = 3 × 2 = 6
Resposta: Op¸c˜ao A
Exame – 2004, 1.a^ Fase (c´od. 435)
- Considerando o grupo dos rapazes juntos, existem 4 elementos para 4 posi¸c˜oes adjacentes, ou seja 4 A 4 = P 4 = 4! formas de sentar os rapazes juntos. Considerando depois que as 5 raparigas e o conjunto dos rapazes podem trocar entre si, existem 6 elemen- tos (5 raparigas e o conjunto dos rapazes, que permanecem num ”bloco”´unico, em posi¸c˜oes adjacentes) para colocar em 6 posi¸c˜oes, considerando a ordem relevante, ou seja, 6 A 6 = P 6 = 6! disposi¸c˜oes diferentes. Assim, o n´umero de maneiras distintas que podem ficar sentados quatro rapazes e cinco raparigas, num banco de nove lugares, de tal modo que os rapazes fiquem todos juntos ´e
4! × 6! = 17280
Resposta: Op¸c˜ao B
Exame – 2003, Prova para militares (c´od. 435)
