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Bilhar Relativ´ıstico
Inicialmente, destaca-se que, embora a estrutura espa¸co-tempo newtoniana tenha sido substitu´ıda por uma concep¸c˜ao relativ´ıstica mais geral e compat´ıvel com os postulados de Einstein, a an´alise das leis f´ısicas existentes revelou a necessidade de modificar aquelas que n˜ao s˜ao invariantes por transforma¸c˜oes de Lorentz, como a equa¸c˜ao fundamental F = ma. A mecˆanica de Newton ´e invariante sob transforma¸c˜oes de Galileu, mas n˜ao sob as de Lorentz, tornando-se logicamente necess´ario o desenvolvimento de uma nova mecˆanica — a relativ´ıstica. Apesar de seu nome, a mecˆanica newtoniana tamb´em ´e relativ´ıstica, mas sob o grupo de Galileu. Historicamente, a mecˆanica de Newton serviu com grande precis˜ao para aplica¸c˜oes astronˆomicas e tecnol´ogicas, com sua primeira falha significativa iden- tificada apenas no avan¸co anˆomalo do peri´elio de Merc´urio. A partir do s´eculo XX, com o advento de aceleradores de part´ıculas, discrepˆancias relevantes sur- giram, enquanto a mecˆanica relativ´ıstica mostrou-se consistente. Importante ressaltar que a nova mecˆanica coincide com a antiga em situa¸c˜oes de baixas velocidades, delineando assim o dom´ınio de validade suficiente da mecˆanica cl´assica, de acordo com a precis˜ao desejada. Em termos gerais, a mecˆanica de Newton torna-se inadequada a medida que os fatores de Lorentz (γ) se afastam da unidade. Em colis˜oes laboratoriais de part´ıculas elementares, valores de γ da ordem de 10^4 s˜ao comuns, e at´e 10^11 para pr´otons de raios c´osmicos na atmosfera terrestre. Apesar dessas limita¸c˜oes, a mecˆanica newtoniana continuar´a a ser utilizada em seu dom´ınio de validade devidoa sua simplicidade conceitual e conveniˆencia t´ecnica, permanecendo como uma constru¸c˜ao l´ogica perfeita, tal como a geome- tria euclidiana, mas sem se extrapolar indevidamente como modelo da natureza. Embora existam diferentes abordagens para essa nova mecˆanica, todas con- vergem para o mesmo resultado, desde que a teoria newtoniana se mantenha v´alida no limite de baixas velocidades. A mecˆanica relativ´ıstica proposta ´e el- egantemente consistente e experimentalmente validada em situa¸c˜oes de altas velocidades, onde a mecˆanica de Newton falha. O conceito central da nova teoria ´e a conserva¸c˜ao do 4-momento P = m 0 U , onde m 0 ´e a massa de repouso e U a 4-velocidade. Assume-se como axioma b´asico a conserva¸c˜ao do 4-momento em colis˜oes pontuais, expressa por:
X Pn = 0
com termos pr´e-colis˜ao positivos e p´os-colis˜ao negativos, garantindo automati-
camente a invariˆancia de Lorentz. Utilizando a forma componente de U , obt´em-se: P = m 0 U = m 0 γ(u)(u, c) = (p, mc)
onde: m = γ(u)m 0 p = mu A conserva¸c˜ao do 4-momento desdobra-se ent˜ao nas leis de conserva¸c˜ao do momento relativ´ıstico: (^) X p = 0
e da massa relativ´ıstica: (^) X m = 0 No limite de baixas velocidades (u ≪ c), essas leis se reduzem as conserva¸c˜oes newtonianas, assegurando conformidade com a mecˆanica cl´assica. No limite formal c → ∞, as equa¸c˜oes relativ´ısticas tamb´em retornamas leis de Newton, oferecendo um crit´erio adicional de valida¸c˜ao. Al´em disso, argumenta-se que a massa relativ´ıstica m deve variar conforme m = γ(u)m 0 para que a conserva¸c˜ao do momento se mantenha v´alida em to- dos os referenciais inerciais, fato corroborado tanto por simetrias quanto por experimentos de colis˜ao idealizados. Esse conjunto de postulados fundamenta a mecˆanica relativ´ıstica das part´ıculas, assegurando simplicidade, conformidade newtoniana no limite apropriado e in- variˆancia de Lorentz — os trˆes crit´erios essenciais para a consistˆencia da nova teoria.
O Conceito de 4-Momento
Para descrever corretamente o movimento de part´ıculas relativ´ısticas, substitu´ımos o vetor momento cl´assico pelo 4-momento, definido como:
P μ^ = m 0 U μ^ (1)
onde:
- m 0 ´e a massa de repouso
- U μ^ ´e o 4-vetor velocidade: U μ^ = γ(c, u) (2)
Massa Relativ´ıstica e Momentum Relativ´ıstico
A massa relativ´ıstica ´e dada por:
m = γm 0 (3)
e o momentum relativ´ıstico: p = γm 0 u (4) Obs.: Para velocidades baixas (u ≪ c), recupera-se a dinˆamica cl´assica.
- Radia¸c˜ao com momentum: A luz transporta energia e momentum, afetando a dinˆamica de part´ıculas e corpos.
- Limita¸c˜ao relativ´ıstica: Nenhuma part´ıcula massiva pode atingir c, e o limite de energia extra´ıvel de um corpo ´e mc^2.
Express˜oes Alternativas para o 4-Momento
O 4-momento de uma part´ıcula de massa de repouso m 0 pode ser expresso de diferentes formas equivalentes:
P μ^ = m 0 U μ^ =
p,
E
c
onde:
- p ´e o momento tridimensional relativ´ıstico
- E ´e a energia total da part´ıcula
Quadrado do 4-Momento
O quadrado do 4-momento ´e um invariante relativ´ıstico:
P μPμ = m^20 c^2 = m^2 c^2 − p^2 =
E^2
c^2
− p^2 (13)
Obs.: Para part´ıculas de massa de repouso nula (m 0 = 0), como o f´oton, temos: P μPμ = 0 (14)
Ou seja, o 4-momento ´e um vetor nulo (null vector ).
Rela¸c˜ao Energia–Momento
A equa¸c˜ao:
E^2 = p^2 c^2 + m^20 c^4 (15) Para part´ıculas de massa nula:
E = pc (16)
Produto Escalar de Dois 4-Momentos
Para duas part´ıculas com 4-momentos P 1 e P 2 e massas de repouso m 01 e m 02 :
P 1 · P 2 = m 01 E 2 = m 02 E 1 = c^2 γ(v 12 )m 01 m 02 (17)
Onde:
- v 12 ´e a velocidade relativa entre as part´ıculas
- γ(v 12 ) = q^1 1 − v^212 c^2 Nota: Essa identidade vale mesmo se a segunda part´ıcula for um f´oton.
Colis˜ao El´astica e Conserva¸c˜ao do Produto Es-
calar
Em uma colis˜ao el´astica, com 4-momentos iniciais P, Q e finais P ′, Q′:
P + Q = P ′^ + Q′^ (18)
Elevando ambos os lados ao quadrado:
(P + Q)^2 = (P ′^ + Q′)^2 (19)
Como o quadrado do 4-momento total se conserva, temos:
P · Q = P ′^ · Q′^ (20)
Isso implica que a velocidade relativa entre as part´ıculas se conserva durante a colis˜ao — um resultado v´alido tanto na relatividade quanto na teoria cl´assica de Newton, pois ´e independente de c. Mesmo na mecˆanica cl´assica, a velocidade relativa entre part´ıculas se con- serva em colis˜oes el´asticas — a Relatividade apenas generaliza esse conceito para velocidades pr´oximas a c.
Colis˜oes Relativ´ısticas: o Problema das Bolas de
Bilhar
Como primeiro exemplo de aplica¸c˜ao da nova mecˆanica relativ´ıstica, consider- amos a analogia de uma colis˜ao el´astica entre duas part´ıculas de massas de re- pouso iguais, sendo uma inicialmente em repouso. Esse problema tem aplica¸c˜oes importantes em experimentos desde a d´ecada de 1930, incluindo cˆamaras de nu- vens e modernos aceleradores de part´ıculas.
Rela¸c˜ao Entre os ˆAngulos
Multiplicando as duas express˜oes:
tan θ′^ tan ϕ′^ = sin^2 θ γ^2 (v)(1 − cos^2 θ)
γ^2 (v)
Como 1 − cos^2 θ = sin^2 θ, a rela¸c˜ao se reduz a:
tan θ′^ tan ϕ′^ =
γ^2 (v)
Compara¸c˜ao com o Caso Newtoniano
No limite cl´assico c → ∞, temos γ(v) → 1, e a equa¸c˜ao eq:relacaoangulossetorna :tan θ′^ tan ϕ′^ = 1(24) o que implica: θ′^ + ϕ′^ = 90◦^ (25) Na relatividade, no entanto:
- Para qualquer dado θ′, o correspondente ϕ′^ ´e menor do que no caso New- toniano.
- A soma θ′^ + ϕ′^ ´e sempre menor que 90◦.
- Para colis˜oes quase frontais (θ′^ ≈ ϕ′), essa soma pode ser muito pequena.
Esse desvio angular reduzido nas colis˜oes relativ´ısticas foi uma das primeiras confirma¸c˜oes experimentais da Relatividade Especial. Um referencial inercial onde o momento total de um sistema de part´ıculas ´e nulo ´e chamado de referencial de momento nulo, ou SZM (do inglˆes zero- momentum frame). Esse referencial corresponde ao referencial do centro de massa na mecˆanica cl´assica e ´e especialmente ´util para an´alise de colis˜oes e decaimentos relativ´ısticos.
Quantidades Totais no Referencial Arbitr´ario S
Considere um sistema de part´ıculas colidindo ocasionalmente, movendo-se livre- mente entre colis˜oes. No referencial S, definimos:
X
i
mi
X
i
pi
X
i
Pi = (¯p, mc¯ )
Cada uma dessas grandezas se conserva no tempo em sistemas isolados.
A Natureza 4-Vetorial de P¯
Apesar de a soma de 4-vetores depender do instante considerado em cada ref- erencial (devido `a relatividade da simultaneidade), pode-se provar que P¯ ´e de fato um 4-vetor. A conserva¸c˜ao do 4-momento em colis˜oes garante que a soma total permanece inalterada durante o deslocamento da hipersuperf´ıcie de integra¸c˜ao no diagrama espa¸co-tempo.
Existˆencia do SZM
Mesmo que algumas part´ıculas tenham massa de repouso nula, enquanto n˜ao forem todas e n˜ao se moverem paralelamente, a soma P¯ ser´a timelike e future- pointing. Assim, sempre existe um referencial onde:
p¯ = 0
Esse ´e o SZM.
4-Momento no SZM
No SZM, temos: P¯ = (0, 0 , 0 , m¯ZM c)
e P¯ = ¯mZM UZM
onde:
- UZM = (0, 0 , 0 , c)
- m¯ZM ´e a massa invariante do sistema, an´aloga `a massa de repouso de uma part´ıcula.
Transforma¸c˜ao para o Referencial Arbitr´ario S
Se no referencial S o SZM move-se com velocidade uZM , ent˜ao:
P¯ = (¯p, mc¯ ) = ¯mZM γ(uZM ) (uZM , c)
