Base e Dimensão de um espaço Vetorial, Notas de estudo de Álgebra

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Base e Dimensão de um

espaço Vetorial

ZAB0161 – “Álgebra linear com aplicações em geometria analítica” Prof. Dr. Jorge Lizardo Díaz Calle Dpto. de Ciências Básicas – FZEA – USP 16 de abril de 2020

Definição: Seja 𝐸 um espaço vetorial. Um conjunto de vetores 𝑆 = 𝑢 1

2

𝑛 ⊂ 𝐸 é uma base de 𝑬, se: a. 𝑆 gera o espaço 𝐸, e 𝑆 = 𝑢 1 , 𝑢 2 , … , 𝑢𝑛 (𝐸, ⨁, ⨂) 𝑢 = 2 𝑢 3 − 3𝑢 1 + 𝑢𝑛 𝑤 𝑣 = 2 𝑢 1 + 3 𝑢 2 𝑦 𝑥 𝑧

Exemplo 1: 𝑆 = 𝑡 + 2 , 𝑡 2 − 9 ,2𝑡 − 4 + 3 𝑡 2 é uma base de 𝑃 2

. (Vide exemplo 3 do conceito 3.) Exemplo 2: 𝑆 = − 2 , 0 , − 6 , 1 , − 2 , 1 , 1 , 0 , 3 não é base de ℝ 3 , pois não é gerador de ℝ 3 e também não é LI. Exemplo 3: 𝑆 = − 2 , − 5 , 1 , − 2 , 0 , 3 não é base de ℝ 2 . 𝑆 é gerador de ℝ 2 , mas não é LI.

Verificar, se um conjunto de vetores 𝑆 é uma base de um espaço vetorial 𝐸, envolve duas combinações lineares, de

Verificar, se um conjunto de vetores 𝑆 é uma base de um espaço vetorial 𝐸, envolve duas combinações lineares, de a. ser gerador: para todo 𝑣 ∈ 𝐸 devem existir 𝑐 1

2

𝑛 talque 𝑣 = 𝑐 1

1

2

2

𝑛

𝑛 b. ser LI: se 0 = 𝑑 1

1

2

2

𝑛

𝑛

necessariamente 𝑑 1

2

𝑛

Nota: Por estar considerando juntas as duas combinações devemos diferenciar os coeficientes.

Exemplo 4: Seja o sistema homogêneo 𝐴𝑋 = 0 𝐴 =

O conjunto solução é um espaço vetorial: 𝑆 =

Formamos o conjunto de três soluções δ =

. 𝛿 é uma base de 𝑆?

Devemos verificar que 𝛿 é gerador de 𝑆 e é LI.

a. 𝛿 é gerador de 𝑆?

para todo 𝑣 ∈ 𝑆 devem existir 𝑐 1

2

3 talque 𝑣 = 𝑐 1

2

3

Devemos verificar que 𝛿 é gerador de 𝑆 e é LI.

a. 𝛿 é gerador de 𝑆?

para todo 𝑣 ∈ 𝑆 devem existir 𝑐 1

2

3 talque 𝑣 = 𝑐 1

2

3

b. 𝛿 é LI? se

1

2

3

então, necessariamente 𝑑 1

2

3

Matriz estendida 2 3 3 2 5 1 0 1 − 1

1 2 𝑎−5𝑏 𝑏 0

Existem infinitas soluções. 𝛿 é gerador (existir), mas 𝛿 não é LI, pois a solução devia ser única. 𝛿 não é base de 𝑆.

Exemplo 5: Seja o sistema homogêneo 𝐴𝑋 = 0 𝐴 =

O conjunto solução é um espaço vetorial: 𝑆 =

Formamos o conjunto de três soluções δ =

. 𝛿 é uma base de 𝑆?

Observar: os dois sistemas a serem resolvidos são (gerador)

1 𝑐 2 (LI)

1 𝑑 2

Resolvendo simultaneamente. 1 − 2 1 0 0 1

Também temos 0 = 0 , mas não temos infinitas soluções. A primeira solução dá 𝑐 1 = 𝑎 e 𝑐 2 = 𝑏 (existem) portanto é gerador de 𝑆. A segunda solução dá 𝑑 1 = 0 e 𝑑 2 = 0 (única solução) portanto é um conjunto LI. Concluimos que 𝛿 é base de 𝑆.

5. Dimensão de um espaço vetorial Definição: Seja 𝐸 um espaço vetorial. Se o conjunto de vetores β ⊂ 𝐸 é uma base de 𝐸, o número de elementos da base β é a dimensão do espaço vetorial 𝐸. No último exemplo 5, vimos que δ =

é base do espaço vetorial 𝑆 =

Portanto, a dimensão de 𝑆 é dois: dim 𝑆 = 2.