Cálculo de Juros Compostos e Valores Presentes com Aplicação no Fluxo de Caixa, Resumos de Cálculo

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE GEOCIENCIAS CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM GEOLOGIA DE MINAS E TÉCNICAS DE LAVRA À CÉU ABERTO Disciplina : Avaliação Econômica de projetos de Mineração Carga horária: 30 horas Código: Professor: Joaquim Carlos Barbosa Queiroz Unidade 2. 2.1. Conceitos básicos da matemática financeira. Inicialmente, será utilizado o programa EXCEL, que possui diversas funções financeiras pré-programadas, que podem ser usadas tanto em questões simples de cálculo financeiro, como também na análise financeira projetos de investimento. 2.1.1. PRINCIPAIS FUNÇÕES FINANCEIRAS NO EXCEL:  VF (Valor Futuro) : valor futuro de um investimento baseado em pagamentos constantese periodicos e taxa de juros fixas  VP (Valor Presente)  PGTO (Pagamento periódico, prestação periódica, termo periódico)  TAXA (Taxa por período)  NPER (Prazo, em número de períodos a que a taxa se refere ou em número de pagamentos periódicos)  DPD (Depreciação Linear)  VPL (Valor Presente Líquido)  TIR (Taxa Interna de Retorno) OBS: Pode-se usar a função fx para acessar as funções acima i. Exemplos de cálculo com as funções financeiras do EXCEL.

Clique em OK para levar o resultado da função VF para a célula A selecionada previamente. Observação: As saídas de capital são indicadas por valores negativos. Assim, para a pessoa (investidor) houve uma saída de $3.000,00 para receber $3.151,88 dois meses depois. As saídas de capital serão representadas por valores negativos e as entradas de capital por valores positivos. b. Cálculo do valor presente (VP), dados o valor futuro (VF), a taxa (taxa) e o prazo (nper): Exemplo 2. Uma dívida de $5.000,00 representada por um título vencível de hoje a 8 meses, deve ser substituída por um único pagamento hoje. Qual o valor desse pagamento, se as partes (devedor e credor) acertaram a taxa de juros (compostos) de 1,8% ao mês para fazer a substituição de um plano de pagamento pelo outro. Resolução: Acesse a função financeira VP (PV se o EXCEL estiver em ingles) e preencha-a como mostrado a seguir:

c. Cálculo do pagamento (pgto) dados o valor presente (vp), a taxa (taxa) e o número de pagamentos (nper) Exemplo 3. Uma dívida de $9.000,00 vencível hoje, será, por acordo entre as partes (devedor e credor), substituída por 5 pagamentos iguais, mensais, calculados à taxa de juros compostos de 1,6% ao mês. Calcular o valor de cada um desses pagamentos, sabendo que o primeiro deles deve vencer hoje. Resolução: Acesse a função financeira PGTO (PMT se o EXCEL estiver em ingles) como mostrado a seguir (o argumento Tipo está preenchido com o número 1 para caracterizar que os pagamentos são feitos no início de cada período, como mostra a linha de tempo desenhada depois da função) :

d. Cálculo da taxa (taxa) dados o valor presente (vp), o valor futuro (vf) e o prazo (nper): Exemplo 5. Uma empresa, 5 meses antes do vencimento de uma dívida de $15.000,00, resolveu liquidá-la pagando $13.900,00. Qual a taxa mensal envolvida na operação financeira. Resolução: Acesse a função financeira TAXA (RATE se o EXCEL estiver em ingles) como mostrado a seguir Portanto, a taxa será de 1,53% ao mês. e. Cálculo do prazo (nper) dados o valor presente (vp), o valor futuro (vf) e a taxa (taxa): Exemplo 6. Um devedor deveria pagar uma dívida de $2.987, futuramente, mas acertou com o seu credor liquidá-la com um pagamento de $2.500,00 antes do vencimento, calculado à taxa de 2% ao mês. Qual o tempo de antecipação da dívida original? Resolução: Acesse a função financeira NPER como mostrado a seguir

Portanto, o tempo foi de 9 meses. OBS. A função NPER calcula o prazo na mesma unidad de tempo da taxa. 2.2 Cálculo da depreciação, da amortização e da exaustão Durante os períodos de implantação e operação de um empreendimento, são feitos investimentos em ativos tangíveis [chamados de corpóreos por possuírem um corpo físico, como máquinas, equipamentos e prédios] e intangíveis [chamados de incorpóreos por não possuírem corpo físico, como aquisição de marcas e parentes, gastos em pesquisas e gastos para a recuperação física do meio ambiente (em virtude da exploração de ativos degradáveis ou exauríveis – minas, florestas e recursos hídricos)]. A recuperação financeira dos investimentos em bens tangíveis é feita pela cota de depreciação (para compensar o desgaste físico sofrido pelos mesmos, em virtude do uso e da ação do tempo), a qual é locada na Demonstração do Resultado Econômico (DRE), a título de despesa.

A depreciação será, portato, $ 840, 2.3 Cálculo do valor presente líquido (vpl) Por intermédio da função financeira VPL se pode calcular o valor presente de uma série de valores, formada de um valor presente (posicionado no momento zero) e vários valores futuros (posicionados nos momentos 1, 2, 3, ... , n), separados um do outro por um mesmo espaço de tempo (chamado período regular), ao se considerar uma taxa de juros por período. A função é chamada VPL (Valor Presente Líquido) porque ao serem inseridos valores positivos e negativos o resultado do valor presente é líquido, mas a mesma pode ser usada em uma série de valores que não apresentem variação de sinal. Se em um momento qualquer da série não houver valor, este deve ser preenchido com zero ( 0 ). Exemplo 9: Uma empresa deve 5 títulos de valores e vencimentos seguintes: $ 5.000,00 vencível hoje (momento zero) $ 4.000,00 vencível em 1 mês $ 6.000,00 vencível em 3 meses $ 2.000,00 vencível em 6 meses $ 3.000,00 vencível em 7 meses A empresa acertou com o seu credor liquidar essa dívida com um único pagamento a ser feito hoje, calculado a 2% ao mês. Calcular o valor desse pagamento.

Resolução: Acesse a função financeira VPL (NPV se o EXCEL estiver em ingles) como mostrado a seguir  Registrar os valores da série nas células de uma coluna (ou linha), na seqüência em que os mesmos aparecerem, como mostra a figura seguinte (neste caso, foi escolhida a coluna F para fazer o registro). Tudo isso é mostrado na planilha seguinte:  Selecionar a célula que irá abrigar o resultado da função VPL (selecionamos E10). Acessar e preencher a função VPL como se mostrar a seguir, na qual o argumento Valor 1 está preenchido com o endereço onde se encontra a série de valores, para registrá-los de uma só vez. Na planilha do Excel o VPL (Verdadeiro) deve ser calculado pela inserção da fórmula = F10* (1 + 2%) em F11]: Momentos Valores 0 5000 1 4000 2 0 3 6000 4 0 5 0 6 2000 7 3000 VPL (Excel) R$ 18,591. VPL (Verdadeiro) 18963.

Exemplo 11: Determinado empréstimo foi recebido em duas parcelas: $ 1.000,00 (na assinatura: momento 0) $ 3.000,00 (1 mês depois: momento 1) Esse empréstimo deverá ser pago em três parcelas: $ 2.000,00 (2 meses depois da assinatura: momento 2) $ 2.500,00 (3 meses depois da assinatura: momento 3) $ 3.000,00 (4 meses depois da assinatura: momento 4) Qual a taxa mensal cobrada do tomador do empréstimo? Resolução: Acesse a função financeira TIR (IRR se o EXCEL estiver em ingles) como mostrado a seguir Elaborar a planilha inicial como foi feito no tópico anterior, apresentando-a da maneira seguinte [na qual, a célula B9 foi escolhida para abrigar a Taxa Interna de Retorno (TIR) e formatada parra porcentagem com duas casas decimais]: 4 Cálculo da(s) taxa(s) interna(s) de uma série de valores com mais de uma variação de sinal na ordem — + ou + — As séries de valores com mais de uma variação de sinal, posicionados nos momentos 0, 1, 2, ... n (separadas por um mesmo espaço de tempo), podem ter mais de uma taxa interna de retorno ou não ter nenhuma. Será mostrado apenas como calculá-las usando o Excel.

Exemplo 12: Calcular as taxas internas de retorno as serie de valores abaixo: 1 Momentos Valores 2 0 - 80 3 1 340 4 2 500 5 3 - 1000 Esta serie apresenta duas mudanças de sinal na ordem — + ou + —. Isso significa que ela possui duas taxas internas.  Selecionar a célula O6 (formada para porcentagem) para receber o resultado da primeira taxa (TIR 1) como mostrado a seguir:  Selecionar a célula O7 (formatada para porcentagem) para receber o resultado da segunda taxa (TIR 2), acessar a função financeira TIR e preenchê-la do mesmo modo que a anterior, mas agora o leitor deve preencher o argumento Estimativa com várias taxas maiores do que 25% (uma de cada vez), para que o programa busque e calcule a TIR 2. Observação: O Excel forne sempre o valor da menor taxa em primeiro lugar. Porisso a primeira tentativa deve ser maior que TIR 1.

Am = Amortização do momento m As relações financeiras seguintes são adotadas em qualquer método de amortização: Jm = Sm- 1 x i Am = Rm – Jm Rm = Jm + Am Jm = Rm – Am Sm = Sm- 1 – Am Cada sistema tem uma característica, a partir da qual os cálculos são iniciados. Em seguida aplicam-se as relações financeiras anteriores e constrói-se a planilha do empréstimo (a planilha do empréstimo é um quadro que contém, período-a-período, desde o momento zero, as variáveis envolvidas: saldo devedor, juro, amortização e prestação). Sistema Francês: Este sistema se caracteriza pelo seguinte: o devedor se obriga a pagar o empréstimo contraído em prestações iguais e periódicas. Então, as prestações formam uma série de pagamentos uniformes e podem ser calculadas pela função financeira PGTO do Excel: Exemplo 13: Um empréstimo foi contraído nas seguintes condições: a) Tabela Price (Método Francês) b) Valor = $ 8.000, c) Número de prestações (postecipadas) = 5 anuais d) Taxa de juros = 12% ao ano. Elaborar a planilha do empréstimo. Resolução: Construir na planilha Excel a tabela seguinte: A B C D E 1 Anos Sm Jm Am Rm 2 0 8000 3 4 5 6 7 8 Soma O preenchimento dessa tabela se dará pelo procedimento seguinte:

𝑛 a) Digitar em A3 a fórmula =A2+ b) Digitar em B3 a fórmula =B2–D c) Digitar em C3 a fórmula =B2*12% d) Digitar em D3 a fórmula =E3–C e) Selecionar E3 para receber o resultado da prestação uniforme, calculada pela função PGTO (PMT se o EXCEL estiver em ingles), preenchida como abaixo se mostra: f) Selecionar o intervalo A3:E7 a fazer o preeenchimento para baixo g) Obter, por soma, C8, D8, E Anos Sm Jm Am Rm 0 8000 1 6740.72 960.00 R$ 1,259.28 R$ 2,219. 2 5330.33 808.89 R$ 1,410.39 R$ 2,219. 3 3750.69 639.64 R$ 1,579.64 R$ 2,219. 4 1981.50 450.08 R$ 1,769.19 R$ 2,219. 5 0.00 237.78 R$ 1,981.50 R$ 2,219. Soma 3096.39 8000.00 11096. Sistema de Amortização Constante (SAC) Este sistema apresenta a seguinte caracteristica: as amortizações (Am) são constantes (iguais) e são esultado da divisão do valor do emprestimo (E) pelo número de (n) de prestações, ou seja, 𝐴𝑚 = 𝐸 Exemplo 14: Resolver o emprestimo do exemplo 13 pelo SAC. Resolução: Construir a tabela seguinte no EXCEL: A B C D E

 Finalmente, o fluxo de caixa apurado será analisado financeiramente pelos já citados indicadores.  Dos resultados dos mesmos é tirada a conclusão sobre a viabilidade ou inviabilidade financeira do empreendimento.  Pode-se ainda fazer a análise de sensibilidade do investimento no caso de uma queda da receita prevista ou de um aumento de custo.  Por último, será mostrado como analisar financeiramente um projeto de investimento que possui um fluxo de caixa com mais de uma mudança de sinal. Todo investimento realizado por um empreendedor gera um Fluxo de Caixa Líquido formado pela diferença entre as Entradas de Caixa e as Saídas de Caixa de cada momento. A seguinte notação será utilizada: Fm = Valor do fluxo de caixa líquido do momento m Em = Entrada de caixa do momento m Sm = Saída de caixa do momento m, Tem-se, simbolicamente: Fm = Em – Sm Em que, pode-se ter: Fm < 0 Fm = 0 Fm > 0 Graficamente, o aspecto geral de um fluxo de caixa de n momentos é : a) Apuração do fluxo de caixa líquido do projeto A seguir estão relacionadas as Entradas de Caixa e as Saídas de Caixa de cada momento, de um projeto de investimento, em que u% é a alíquota do Imposto de Renda incidente sobre o Lucro Tributável:

ENTRADAS DE CAIXA (E)

• Lucro Líquido do Exercício
• Empréstimo
• (1 – u%) da Depreciação
• (1 – u%) da Amortização Representa o retorno líquido de cada despesa não desembolsável, uma vez que as mesmas são consideradas como efetivas na apuração do Lucro Líquido do Exercício na Demonstração do Resultado Econômico (DRE) (1 – u%) da Exaustão SAÍDAS DE CAIXA (S)
• Investimento Total
• Despesas Pré-operacionais
• Amortização do empréstimo FLUXO DE CAIXA (E – S) Exemplo 15: Um depósito mineral deve ser explorado em 5 anos. O custo de elaboração do projeto e da montagem de uma empresa piloto é de $300.000,00 (no início do primeiro ano – momento zero). O investimento no projeto deve ser feito assim:  $1.400.000,00 em pesquisa mineral (no início do primeiro ano – momento zero)  $800.000,00 em construção civil (no fim do primeiro ano–momento 1).  $750.000,00 na recuperação do ambiente degradado pela exploração mineral, depois da exploração (fim do ano 5 – momento 5). O levantamento de receitas, custos e despesas operacionais apontam para os valores constantes da tabela seguinte (sem considerar as despesas de amortização, depreciação, exaustão e juros do empréstimo): Discriminação Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Receitas Operacionais 5000000 6000000 6000000 6000000 6000000 Custos operacionais 2500000 3100000 3100000 3100000 3100000 Despesas Operacionais 200000 400000 400000 400000 400000  O gasto em pesquisa mineral será amortizado (amortização linear) em 5 anos, a partir do fim do ano 1 (momento 1).