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Programa Olímpico de Treinamento
Curso de Geometria - Nível 3
Prof. Rodrigo Pinheiro
Aula 4
Propriedades do ortocentro
O ortocentro ´e o ponto de encontro das trˆes alturas de um triˆangulo arbitr´ario. Se o triˆangulo for retˆangulo, ´e imediato que o ortocentro coincide com o v´ertice de ˆangulo reto. O ortocentro ´e exterior ao triˆangulo sempre que o triˆangulo for obtusˆangulo e ´e interior quando for acutˆangulo.
Teorema 1. Sejam H, O, o ortocentro e o circuncentro de um △ABC, respectivamente. Ent˜ao ∠HAB = ∠OAC.
b^ O
b^ A
B b b C
b^ H
Demonstra¸c˜ao. Considere o caso em que o triˆangulo ´e acutˆangulo. O caso em que o triˆangulo ´e obtusˆangulo ´e an´alogo e ´e um bom exerc´ıcio. Tente! Seja ∠HAB = α. Tem-se, ∠ABC = 90◦^ − α. Sabemos que ∠AOC = 2.∠ABC = 180◦^ − 2 .α. Mas, ∠OAC = ∠OCA, portanto ∠OAC = α. Por isso, dizemos que AH e AO s˜ao isogonais (formam ˆangulos iguais com os lados adjacentes).
Problema 1. No triˆangulo acutˆangulo ABC, a distˆancia do v´ertice A ao ortocentro ´e igual ao raio da circunferˆencia circunscrita. Determine os poss´ıveis valores do ˆangulo ∠BAC.
b O
b^ A
b^ B^ bC
b^ M b b H D
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Solu¸c˜ao. Sejam H e O o ortocentro e o circuncentro do triˆangulo ABC; D ´e o p´e da altura relativa ao lado AB e M o ponto m´edio do lado AC. Ent˜ao, como AH = AO, ∠HAD = ∠OAM , ∠HDA = ∠OM A, segue que os triˆangulos ADH e AM O s˜ao congruentes. Logo, AD = AM = AC 2. Logo, no triˆangulo ADC, temos cos A = AD AC = 12 , e como o triˆangulo ´e acutˆangulo temos ∠BAC = 60◦.
Teorema 2. O sim´etrico do ortocentro em rela¸c˜ao a cada um dos lados do triˆangulo est´a sobre o c´ırculo circunscrito. Demonstra¸c˜ao. Considere o caso em que o triˆangulo ´e acutˆangulo. O caso em que o triˆangulo ´e obtusˆangulo ser´a deixado como exerc´ıcio. Seja D o p´e da altura relativa ao lado BC e H 1 o ponto onde essa altura reencontra o circunc´ırculo (c´ırculo circunscrito ao
triˆangulo ABC). Logo ∠HBC = ∠DAC = 90◦^ − ∠C. Mas ∠H 1 BD =
⌢ H 1 C 2 =^ ∠H^1 AC. Ent˜ao △HBD ≡ △H 1 BD ⇒ HD = DH 1.
b O
b^ A
B (^) b bC
b
H
b^ D
b^ H^1
Problema 2. Usando r´egua e compasso, construa um triˆangulo ABC conhecendo apenas o v´ertice A, o ortocentro H e a circunferˆencia circunscrita. Solu¸c˜ao. Fa¸camos o esbo¸co do triˆangulo:
b O
b^ A
B b bC
b^ H^1
b^ H
O prolongamento de AH encontra a circunferˆencia circunscrita em um ponto H 1 tal que H 1 ´e o sim´etrico de H em rela¸c˜ao a BC. Assim, BC ´e mediatriz do segmento HH 1. Portanto, fazemos a seguinte constru¸c˜ao: ligamos AH at´e encontrar a circunferˆencia circunscrita no ponto H 1. Ent˜ao, constru´ımos a mediatriz de HH 1 , que encontra a circun- ferˆencia circunscrita nos pontos B e C, e o triˆangulo ABC ´e constru´ıdo.
Pinheiro
Triˆangulo ´Ortico Considere um triˆangulo n˜ao retˆangulo ABC, e sejam D, E, F os p´es das alturas de ABC. O triˆangulo DEF ´e chamado triˆangulo ´ortico do triˆangulo ABC.
Lema 1. O ortocentro H do triˆangulo ABC ´e o incentro de seu triˆangulo Ortico´ DEF. Demonstra¸c˜ao. Seja ∠ABE = α. Ent˜ao ∠F CA = 90◦^ − ∠A = α. Observe que o quadril´atero BDF H ´e inscrit´ıvel (pois ∠BDH + ∠BF H = 180◦). Logo, ∠F DH = ∠F BH = α. Analogamente, ∠EDH = α. Portanto, H est´a na bissetriz do ˆangulo D. Do mesmo modo, ´e f´acil verificar que H pertence a bissetriz de F ; ou seja H ´e o incentro do triˆangulo DEF.
b^ A
B (^) b bC
b
b H F
b^ D
b^ E
Problema 4. Usando apenas r´egua e compasso, construa um triˆangulo ABC conhecendo os pontos que s˜ao os sim´etricos do ortocentro em rela¸c˜ao aos lados AB, BC e CA. Solu¸c˜ao. Sejam X, Y e Z os sim´etricos do ortocentro em rela¸c˜ao a BC, CA e AB, respectivamente. Observe que XY ´e paralelo `a reta que liga os p´es das alturas relativas a BC e CA. Dessa forma, os lados do triˆangulo XY Z s˜ao paralelos, respectivamente, aos lados do triˆangulo ´ortico de ABC. Ent˜ao, H ´e o incentro do triˆangulo XY Z. Segue a seguinte constru¸c˜ao: Primeiro, encontramos o circuncentro O do triˆangulo XY Z (encontro das mediatrizes dos lados) e constru´ımos a circunferˆencia circunscrita (com centro O e raio OX. Em seguida, constru´ımos as bissetrizes dos ˆangulos de XY Z, que intersectam a circunferˆencia circunscrita nos pontos A, B e C, determinando o triˆangulo ABC.
b^ A
b^ B^ bC
b^ X
Z b
b
Y
b
H
Pinheiro
Problema 5. Sejam D, E e F os pontos m´edios dos lados AB, BC e AC do triˆangulo ABC, respectivamente. BL ´e a altura relativa ao lado AC. Mostre que ∠DF E = ∠DLE.
Problema 6. No triˆangulo ABC, as alturas AD e BE se cortam em H; M , N e P s˜ao os pontos m´edios de BC, AB e AH, respectivamente. Mostre que ∠M N P = 90◦.
Problema 7. Prove que, em todo triˆangulo, a circunferˆencia cujo diˆametro ´e um lado do triˆangulo passa pelos p´es das alturas relativas aos outros dois lados.
Problema 8. As bissetrizes internas de um triˆangulo ABC encontram o c´ırculo circunscrito novamente nos pontos M , N e P. Mostre que o incentro I do triˆangulo ABC ´e o ortocentro do triˆangulo M N P.
Problema 9. Sejam AD e BE as alturas relativas aos lados BC e AC, respectivamente, do triˆangulo ABC, H o ortocentro, M o ponto m´edio de AB e N o ponto m´edio de CH. Mostre que M N ´e perpendicular e passa pelo ponto m´edio de DE.
Problema 10. A bissetriz interna do ˆangulo A do triˆangulo ABC encontra o c´ırculo circuns- crito no ponto M. Verifique que M ´e o ponto m´edio do arco BC e que M ´e o circuncentro do triˆangulo BIC, em que I ´e o incentro do triˆangulo ABC.
Problema 11. Sejam O o circuncentro e H o ortocentro do triˆangulo ABC. Seja Oa o sim´etrico de O em rela¸c˜ao ao lado BC. Mostre que Oa ´e o circuncentro do triˆangulo BCH.
Problema 12. Seja H o ortocentro do triˆangulo ABC. Mostre que os c´ırculos circunscritos aos triˆangulos ABH, BCH e CAH tˆem todos o mesmo raio, o qual ´e igual ao circunraio do triˆangulo ABC.
Problema 13. As alturas relativas aos lados AB e AC do triˆangulo ABC encontram o circunc´ırculo de ABC nos pontos D e E, respectivamente. Mostre que AD = AE.
Problema 14. O triˆangulo ABC est´a inscrito em um c´ırculo de centro O. Seja τ a circun- ferˆencia que passa pelos pontos A, O e B. As retas CA e CB interceptam τ em D e E, respectivamente. Prove que CO ´e perpendicular a DE.
Problema 15. Construa um triˆangulo conhecendo apenas o circuncentro O, o ponto H, p´e da altura relativa ao lado BC e o ponto D, p´e da bissetriz interna do ˆangulo ∠A.
Problema 16. Prove que as trˆes retas atrav´es dos pontos m´edios dos lados de um triˆangulo e paralelas `as bissetrizes dos ˆangulos opostos s˜ao concorrentes em um ponto.
Problema 17. Seja ABC um triˆangulo acutˆangulo de ortocentro H e circuncentro O. A mediatriz do segmento AH corta AB no ponto P e AC no ponto Q. Demonstre que ∠AOP = ∠AOQ.
Problema 18. Sejam H, O o ortocentro e o circuncentro do triˆangulo ABC. AD, BE e CF s˜ao as alturas relativas aos v´ertices A, B e C. Suponha que OH seja paralelo a AC. Mostre que os lados do triˆangulo DEF est˜ao em progress˜ao aritm´etica.
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Problema 29. Seja H o ortocentro do ABC. Prove que as retas de Euler dos triˆangulos ABC, BCH, CAH, ABH s˜ao todas concorrentes. Em que not´avel ponto ABC estas retas concorrem?
Problema 30. Seja H o ortocentro de um triˆangulo ABC, tal que AC 6 = BC. O segmento que une os pontos m´edios de HC e AB intercepta a bissetriz do ˆangulo ∠ACB no ponto N. Sabendo que o circuncentro do triˆangulo ABC pertence `a reta que liga os pontos H e N , determine a medida do ∠ACB.
Problema 31. (OCSF) ABCD ´e um paralelogramo, H ´e o ortocentro de ABC e O ´e o circuncentro de ACD. Prove que H, O e D s˜ao colineares.
