Modelos Lineares: Porque Estudar e Solução de Problemas Illustrados, Notas de aula de Pesquisas Operacionais

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Introdução à

Pesquisa Operacional

Prof. Edson Luiz França Senne

Aula 3

Modelagem de Otimização Linear

Instituto de Ciência e Tecnologia

UNIFESP

• Modelos de otimização linear:
  • A função-objetivo e as restrições são funções

lineares.

• As variáveis de decisão são contínuas.
• Por que estudar modelos lineares?
• Representam bem várias situações práticas.
• Sabemos resolver eficientemente.
• Marcos históricos:
• 1947: Método simplex.
• 1984: Método de pontos interiores.
• Vamos apresentar vários problemas que podem

ser formulados de maneira linear.

• Formulação: Min c ij x ij j= 1 n ∑ i= 1 m ∑ x ij j= 1 n ∑ ≤^ ai ∀^ i^ =^1 ,...,m x ij i= 1 m ∑ =^ bj ∀^ j^ =^1 ,...,n x ij ≥ 0 ∀ i = 1 ,...,m; ∀ j = 1 ,...,n cij = custo de transporte de i para j ai = oferta do produto na origem i bj = demanda do produto no destino j xij = quantidade transportada da origem i para o destino j

Problema de transporte com transbordo

• Ocorre quando, entre as m origens e os n

destinos, existem p localidades intermediárias

(depósitos, centros de distribuição).

• Nova restrição:
• O que representa essa nova restrição? € x ik i= 1 m ∑ =^ xkj j= 1 n ∑ ∀k^ =^1 ,...,p A quantidade transportada das origens para uma localidade intermediária deve ser igual à quantidade transportada desta localidade intermediária para os destinos.

• Resolvendo o modelo com AMPL:

• Propriedade da integralidade Cada pessoa se dedica integralmente a uma tarefa. Cada tarefa é executada pela pessoa que tem o maior interesse em executá-la.

Formulação:

€ Min c ij x ij j∈Ji

i= 1 n

x

ij j∈Ji

∑ =^ di ∀^ i^ =^1 ,...,N

a

ijk

x

ij j∈Ji

∑ ≤^ bk

i= 1 n

∑ ∀k^ =^1 ,...,K

x

ij

≥ 0 ∀ i = 1 ,...,N; j ∈ J

i Dados do problema: Ji = conjunto de processos alternativos que fabricam o produto i cij = custo unitário para fabricar o produto i com o processo j di = demanda do produto i aijk = quantidade do recurso k necessária para fabricar uma unidade do produto i com o processo j bk = quantidade disponível do recurso k Variável de decisão: xij = quantidade de produtos i fabricados com o processo j

• Problema de programação de projetos
• Objetivo : Minimizar o tempo de conclusão do projeto. Neste caso, minimizar (t H + 3), onde t i é o instante mais cedo em que a atividade i pode ser iniciada. Atividade Predecessor Duração A 6 B 5 C A 4 D B, C 2 E 2 F D, E 3 G F 7 H G 3

• Resolução com CPLEX:

• Problema de dimensionamento de lotes

multiestágios

• Empresa fabrica n produtos e deseja planejar a produção para T períodos de tempo.
• A demanda de cada produto é conhecida em cada período.
• A produção de um produto requer a produção prévia (ou concomitante) de seus componentes.
• Sejam:
• d it = demanda do item i no período t
• b ji = qtd do item j para produzir 1 item i
• R kt = disponibilidade do recurso k no período t
• r ki = qtd do recurso k para produzir 1 item i
• c it = custo de produção de 1 item i no período t
• h it = custo de estocar 1 item i no final do período t

Problemas de corte e empacotamento

• Problemas similares:
  • Corte : peças grandes, cortadas em itens de tamanhos variados de modo a minimizar a perda.
  • Empacotamento : itens pequenos, acomodados em peças grandes (contêineres) de modo a minimizar o espaço vazio.
• Padrão de corte : a j

= (a

1j

, a

2j

, ..., a

mj

), onde a

ij

quantidade de itens do tipo i no padrão de corte j.

t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 2 t 2 t 2 t 1 t 2 t 4 t 4 a 1 = (5, 0, 0, 0) a 2 = (0, 1, 0, 2) a 3 = (1, 3, 0, 0)

• Um vetor a = (a 1

, a

2

, ..., a

m

) é um padrão de corte

se e somente se:

• Determinar todos os possíveis padrões de corte é

um problema difícil (envolve variáveis inteiras).

• Imagine que n padrões de corte são conhecidos.
• b i

= demanda do item i (i = 1, ..., m)

• x j

= n

o

de peças grandes cortadas com o padrão a

j

t 1 a 1

• t 2 a 2
• … + t m a m

≤ L

a i ≥ 0 , a i inteiro ∀ i Min x j j= 1 n ∑ a ij x j j= 1 n ∑ =^ bi ∀^ i^ =^1 ,…,m x j ≥ 0 ∀ j = 1 ,…,n Normalmente, o valor da variável xj é um inteiro. Em algumas situações essa condição pode ser relaxada (por exemplo, demanda em toneladas).

• Formulação:
• A função a ser minimizada é linear por partes (e

não diferenciável em 0).

• Todo número real x pode ser expresso como a

diferença de dois números não-negativos x

e x

ou seja:

x = x

• x

com x

≥ 0 e x

x

é denominada parte positiva de x e x

, parte

negativa de x.

Min ε

∑ i

y

i

= ax

i

+ b + ε

i

∀ i

i

i

se ε

i

i

se ε

i

• Dado x, existem várias escolhas para x

e x

, por

exemplo:

• Vamos escolher as partes positiva e negativa de x

como:

• Assim escolhidos, tem-se que x

x

= 0, ou seja,

pelo menos uma das partes será nula e, portanto:

| x | = x

+ x

• Então, podemos rescrever: x = 5 x

= 7 x

= 2 x

= 6 x

= 1 x

= 5 x

= 0 x = -5 x

= 2 x

= 7 x

= 1 x

= 6 x

= 0 x

= 5

x

x se x > 0

0 se x ≤ 0

x

−

0 se x ≥ 0

−x se x < 0

Min (^) ∑εi yi = axi + b + εi ∀ i