Aula de Exercícios, Provas de Probabilidade

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Aula de Exerc´ıcios - Testes de Hip´oteses

Organiza¸c˜ao: Airton Kist Digita¸c˜ao: Guilherme Ludwig

Testes de Hip´oteses

Exemplo Para decidirmos se os habitantes de uma ilha s˜ao descendentes da civiliza¸c˜ao A ou B, iremos proceder do seguinte modo: (i) selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha, e determinamos a altura m´edia deles; (ii) se essa altura m´edia for superior a 176, diremos que s˜ao descendentes de B; caso contr´ario, s˜ao descendentes de A. Os parˆametros das alturas das duas civiliza¸c˜oes s˜ao: A: μ = 175 e σ = 10; B: μ = 177 e σ = 10. Defina: Erro do tipo I – dizer que os habitantes da ilha s˜ao descendentes de B quando, na realidade, s˜ao de A. Erro do tipo II – dizer que s˜ao de A quando s˜ao de B.

Testes de Hip´oteses

(a) Note que H 0 : moradores s˜ao de A. Nossa regi˜ao cr´ıtica ´e dada por RC = { X¯ > 176 }, a regi˜ao em que rejeitamos H 0. Note tamb´em que Var( ¯X ) ´e σ^2 /n. Ent˜ao

P(erro tipo I) = P( X¯ > 176 |μ = 175) =

P

Z >

|μ = 175

De modo an´alogo, a probabilidade do erro de tipo II ´e dada por P(erro tipo II) = P( ¯X ≤ 176 |μ = 175) =

P

Z ≤

|μ = 175

Testes de Hip´oteses

(b) Queremos fixar c para que P( ¯X > c|μ = 175) = 0.05. Para isto, basta que

P( ¯X > c|μ = 175) = P

Z >

c − 175 10

= 1−Φ(c−175) = 0. 05

Note que Φ(z) = 0. 95 ⇔ z = 1.64, ent˜ao temos que (c − 175) = 1.64 ou c = 176.64. Nossa regra de decis˜ao agora ´e classificar o indiv´ıduo como descendente de B se sua altura for superior a 176.64. Note que, agora, temos um erro do tipo II de

P( ¯X ≤ 176. 64 |μ = 177) = Φ

Testes de Hip´oteses

(d) Se μB = 178, ent˜ao

P( ¯X ≤ 175. 82 |μ = 178) = Φ

(√ 100

175. 82 − 178 10

) = 0. 014

Se μB = 180, ent˜ao

P( ¯X ≤ 175. 82 |μ = 180) = Φ

(√ 100

175. 82 − 180 10

) = 1. 45 × 10 −^5

Se μB = 181, ent˜ao

P( ¯X ≤ 175. 82 |μ = 181) = Φ

(√ 100 175.^82 −^181 10

) = 1. 11 × 10 −^7

Note que β(μ) = 1 − P(erro tipo II|μ) ´e chamado de fun¸c˜ao poder.

Testes de Hip´oteses

(d) O gr´afico dos pares (μB , P(Erro II|μb)) ´e

177 178 179 180 181

Testes para m´edia, σ conhecido

Queremos testar a hip´otese que μ, o n´umero m´edio de horas perdidas com acidentes de trabalho, tenha permanecido o mesmo. Ou seja, H 0 : μ = 60 vs. H 1 : μ < 60. Note que sob H 0 , X¯ ∼ N(60, 400 /9)

Com um n´ıvel α = 0.05, temos que a hip´otese ser´a rejeitada se 3( ¯X − 60)/ 20 < c. Para a normal padr˜ao, P(Z < c) = 0. 05 ⇔ c = − 1 .64. Ent˜ao a regi˜ao cr´ıtica ´e 3( X¯ − 60)/ 20 < − 1 .64 ou simplesmente X¯ < 49 .06.

Como a m´edia observada ¯x = 50 ´e superior a 49.06, n˜ao rejeitamos a hip´otese nula a 5% de significˆancia.

Testes para m´edia, σ conhecido

Exemplo Uma companhia de cigarros anuncia que o ´ındice m´edio de nicotina dos cigarros que fabrica apresenta-se abaixo de 23 mg por cigarro. Um laborat´orio realiza seis an´alises desse ´ındice, obtendo: 27, 24, 21, 25, 26, 22. Sabe-se que o ´ındice de nicotina se distribui normalmente, com variˆancia igual a 4.86 mg^2. Pode-se aceitar, no n´ıvel de 10%, a afirma¸c˜ao do fabricante? Fonte: Morettin & Bussab, Estat´ıstica B´asica 5a^ edi¸c˜ao, p´ag 334.

Testes para Propor¸c˜oes

Exemplo O consumidor de um certo produto acusou o fabricante, dizendo que mais de 20% das unidades fabricadas apresentam defeito. Para confirmar sua acusa¸c˜ao, ele usou uma amostra de tamanho 50, onde 27% das pe¸cas eram defeituosas. Moste como o fabricante poderia refutar a acusa¸c˜ao. Utilize um n´ıvel de significˆancia de 10%. Fonte: Morettin & Bussab, Estat´ıstica B´asica 5a^ edi¸c˜ao, p´ag 337.

Testes para Propor¸c˜oes

O fabricante n˜ao quer rejeitar a hip´otese p = 0.2 em favor da hip´otese p > 0 .2. A regi˜ao cr´ıtica ´e, portanto, da forma ˆp > c. Utilizando a aproxima¸c˜ao normal, temos que c, sob H 0 , ´e dado por

c − 0. 2 √

1. 2 · 0. 8

= 0. 1 ⇔ c = 1. 28

Como podemos ver, a propor¸c˜ao de itens defeituosos obtida pelo consumidor n˜ao ´e significativamente diferente da probabilidade de 20% anunciada pelo vendedor, a 10% de significˆancia, pois n˜ao ´e superior a 0.2724 (contra 0.27 observado).

Testes para Propor¸c˜oes

A propor¸c˜ao observada de equipamentos sem defeito ´e de 0.875. A hip´otese a ser testada ´e H 0 : p = 0.9 contra H 1 : p < 0 .9. A regi˜ao cr´ıtica ´e, portanto, da forma ˆp < c. A 5% de significˆancia, temos que c ´e dado por

c − 0. 9 √

1. 1 · 0. 9

= 0. 05 ⇔ c = − 1. 64

Conclui-se que, a 5% de significˆancia, a hip´otese nula n˜ao ´e rejeitada.

Testes para Propor¸c˜oes

A 1% de significˆancia, temos que c ´e dado por

c − 0. 9 √

1. 1 · 0. 9

= 0. 01 ⇔ c = − 2. 32

Conclui-se que, a 1% de significˆancia, a hip´otese nula n˜ao ´e rejeitada.

P-Valor

A probabilidade de significˆancia ˆα ´e mais comumente conhecida como p-valor. Observe que sob H 0 , ¯X ∼ N(50, 25). Temos que x¯ = 52. A probabilidade de significˆancia (ou p-valor) ´e obtida calculando-se a probabilidade do valor observado na estat´ıstica do teste, ou seja,

P

X > 52

Z >

Devemos interpetar o p-valor como “observados os dados, qu˜ao veross´ımil ´e a hip´otese nula?” e, neste caso, ela ´e bastante veross´ımil (a probabilidade de observarmos ¯X > 52, dado H 0 verdadeira, ´e de 0.34) e portanto n˜ao rejeitamos H 0.

P-Valor

Exemplo Os novos oper´arios de uma empresa s˜ao treinados a operarem uma m´aquina, cujo tempo X (em horas) de aprendizado ´e anotado. Observou-se que X segue de perto a distribui¸c˜ao N(25, 100). Uma nova t´ecnica de ensino, que deve melhorar o tempo de aprendizado, foi testada em 16 novos empregados, os quais apresentaram 20. 5 horas como tempo m´edio de aprendizado. Usando o p-valor, vocˆe diria que a nova t´ecnica ´e melhor que a anterior? Fonte: Morettin & Bussab, Estat´ıstica B´asica 5a^ edi¸c˜ao, p´ag 344.