Probabilidade e
Estatística
Trabalhando com Pequenas
Amostras: Distribuição tde Student
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Probabilidade e Estatística: Distribuição t de Student para Pequenas Amostras, Exercícios de Estatística
Este documento aborda a distribuição t de student, uma distribuição essencial para estatísticas de amostras pequenas. Apresenta as propriedades e aplicabilidade desta distribuição, além de explicar como calcular a estimativa de média e o intervalo de confiança usando-a. O documento também inclui informações sobre a história e o teorema central do limite.
Tipologia: Exercícios
2020
1 / 12
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Probabilidade eEstatística
Trabalhando com Pequenas
Amostras: Distribuição
t
de Student
Pequenas amostras x Grandesamostras •
Nos exemplos tratados até agora:
- amostras grandes (n>30) – qualquer tipo de distribuição original da variável aleatória
possui distribuição das médias “adequadamenteaproximadas” a uma distribuição normal.
- Teorema Central do Limite
Tempo e custo impõem limites ao tamanho daamostra
Utilização da distribuição normal inadequada paraamostras pequenas
Distribuição ‘t’ de Student • Criada por William Gosset (1876-1937)
- Análises com pequenas amostras
- Empregado da Cervejaria Guinness • Cervejaria não permitia publicação de
pesquisas
- Pseudônimo de
Student
Distribuição ‘t’ de Student •
A
Distribuição ‘t’ de Student
é essencialmente uma
distribuição normal (com forma aproximada de um sino) paratodas as amostras de tamanho ‘n’.
Através dela, determinamos os valores críticos t
α
/
do
intervalo de confiança onde
n
s
x
t
μ
Propriedades da Distribuição t deStudent •
É diferente conforme o tamanho da amostra (n)
Tem forma geral simétrica, mas reflete a maior variabilidadeesperada em pequenas amostras
Tem média t=
O desvio padrão varia com o tamanho da amostra, mas ésuperior a 1
Quanto maior ‘n’, maior a aproximação em relação àdistribuição normal. Para n>30 podemos utilizar distribuiçãonormal com valores críticos ‘z’.
Condições de utilização
- Tamanho da amostra pequeno (n
≤
σ
desconhecido
- População original tem distribuição essencialmente normal
Assim, para... •
Amostras com as condições anteriores:
Onde t
α
/
tem n-1 graus de liberdade
Intervalo de confiança
E
x
E
x
n
s
t
E
2 /
α
E
x
μ
E
x
E
x
ou
Exemplo •
Considere um teste de colisão de carros. A análisede 12 carros danificados resulta num custo deconserto que parece ter distribuição em forma desino, com média e desvio-padrão a seguir (R$).
Determine:
a melhor estimativa pontual de
μ
(custo do conserto)
- O intervalo de confiança para NC=95%
873 .
15
227 .
26
=
=
x s
Exemplo
b) Amostra pequena (n
≤
30); desvio padrão desconhecido;
distribuição é similar à distribuição normal Na tabela:
para a coluna 0,05 bilateral e grau de liberdade
n-1=
Æ
t
α
/
=2,
E
x
E
x
Existe uma probabilidade de 95% dointervalo de confiança conterefetivamente a média da população:custos de reparo
x
29 ,
085 .
10
12
15873 .
201 ,
2
. 2 /
=
=
=
n s
t
E
α
a)
Obs.: valores em R$