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Neste documento, aprenda a resolver equações diferenciais ordinárias (edos) não-homogêneas com coeficientes constantes. Saiba como determinar as soluções gerais e particulares, e use o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular. Encontre exemplos resolvidos para equações com polinômios, funções exponenciais e combinações de seno e cosseno.
O que você vai aprender
Tipologia: Esquemas
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Não perca as partes importantes!
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Nas aulas anteriores, vimos como resolver EDOs homogêneas com coeficientes constantes.
Na aula de hoje, voltaremos nossa atenção para EDOs não-homogêneas da forma
anypnq^ an´ 1 ypn´^1 q^... a 1 y^1 a 0 y “ f pxq,
em que f é uma função contínua em um intervalo aberto I.
Dessa forma, podemos escrever a solução geral da EDO não-homogênea na forma
ypxq “ yhpxq ` yppxq,
em que yh é a solução geral da equação homogênea e yp é uma solução particular da equação não-homogênea.
Concluindo, para resolver uma EDO não-homogênea devemos:
ypxq “ yhpxq ` yppxq.
O método dos coeficientes a determinar , também chamado método dos coeficientes indeterminados , é usado para encontrar uma solução particular da equação não-homogênea.
O método consiste em assumir, com base na função f e na solução yh, uma forma para a solução particular yp que dependente de coeficientes ainda não especificados.
Se f é um polinômio de grau m, admitimos
yppxq “ Amxm^ Am´ 1 xm´^1... A 1 x A 0 ,
que também é um polinômio de grau m. Teremos uma solução particular da equação não-homogênea se determinarmos os coeficientes A 0 , A 1 ,... , Am.
Encontre uma solução particular da equação não-homogênea
y^2 3 y^1 4 y “ 3 x ` 2.
Resposta: Uma solução particular da EDO é
yppxq “ 3 4
x ´ 1 16
Se f é uma função exponencial da forma
f pxq “ aeβx^ ,
admitimos uma solução particular da forma
yppxq “ Aeβx^.
Encontre uma solução particular da equação não-homogênea
y^2 ´ 4 y “ 2 e^3 x^.
Se f é uma combinação linear das funções seno e cosseno, ou seja, f pxq “ a cospωxq ` b senpωxq,
admitimos uma solução particular da forma
yppxq “ A cospωxq ` B senpωxq.
Encontre uma solução particular da equação não-homogênea
3 y^2 ` y^1 ´ 2 y “ 2 cos x.
Se f é uma combinação linear das funções seno e cosseno, ou seja, f pxq “ a cospωxq ` b senpωxq,
admitimos uma solução particular da forma
yppxq “ A cospωxq ` B senpωxq.
Encontre uma solução particular da equação não-homogênea
3 y^2 ` y^1 ´ 2 y “ 2 cos x.
Resposta: Uma solução particular da EDO é
yppxq “ ´
13 cos^ x^ `^
13 sen^ x.
Resolva o problema de valor inicial (PVI)
y^2 ´ 3 y^1 ` 2 y “ 3 e´x^ ´ 10 cosp 3 xq, yp 0 q “ 1 e y^1 p 0 q “ 2.
Resposta: A solução do PVI é
ypxq “ ´ 1 2
ex^ ` 6 13
e^2 x^ ` 1 2
e´x^ ` 7 13
cosp 3 xq ` 9 13
sinp 3 xq.
O seguinte exemplo revela uma possível dificuldade do método dos coeficientes a determinar.
Encontre uma solução particular da equação não-homogênea
y^2 ´ 4 y “ 2 e^2 x^.
Em geral, no método dos coeficientes a determinar podemos admitir que a solução particular são combinações de funções da forma
xs
Pmpxqeβx^ cospωxq ` Qmpxqeβx^ senpωxq
em que Pmpxq “ A 0 A 1 x... ` Amxm,
e Qmpxq “ B 0 B 1 x... ` Bmxm,
são polinômios de grau m.
Encontre uma solução particular da equação não-homogênea
yp^3 q^ y^2 “ 3 ex^ 4 x^2.
