Aula 6
Eliminação de Gauss e
Fatoração LU.
MS211 - Cálculo Numérico
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
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Método da Eliminação de Gauss e Fatoração LU, Notas de aula de Cálculo
Neste documento, aprenda a resolver sistemas lineares ax = b usando o método da eliminação de gauss e a fatoração lu. Saiba quais são as operações elementares, como transformar um sistema linear em um sistema diagonal e triangular superior, e como determinar a solução usando substituição regressiva ou progressiva. Aprenda também a importância da inversa de uma matriz não-singular e como ela é utilizada na solução de sistemas lineares.
Tipologia: Notas de aula
2022
Compartilhado em 07/11/2022
usuário desconhecido 🇧🇷
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Aula 6
Eliminação de Gauss e
Fatoração LU.
MS211 - Cálculo Numérico
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Introdução
Nas próximas aulas, trataremos do seguinte problema:
Problema:
Dada uma matriz A ∈ R
n×n não-singular e um vetor b ∈ R
n ,
A =
a 11 a 12 a 13... a 1 n
a 21 a 22 a 23... a 2 n
. . .
an 1 an 2 an 3... ann
e
b 1
b 2
b 3
. . .
bn
determine o vetor x =
x 1
x 2
. . .
xn
∈ R
n tal que
Ax = b.
Uma matriz A ∈ R
n×n é não-singular se, e somente se, existe
A
− 1 , chamada inversa de A , tal que
AA
− 1 = A
− 1 A = I ,
em que I ∈ R
n×n denota a matriz identidade.
Sobretudo, a solução de Ax = b é
x
∗ = A
− 1 b.
Logo, a solução de Ax = b existe e é única!
Apesar dessa considerações teóricas, não determinaremos a
solução de Ax = b usando A
− 1 pois o cálculo da inversa de A
exige um número desnecessário de operações aritméticas!
Para resolver os sistema linear Ax = b , usaremos as
chamadas operações elementares!
Operações Elementares:
Dado um sistema linear Ax = b , as seguintes operações são
chamadas operações elementares:
I (^) Permutar duas equações.
I (^) Multiplicar uma equação por uma constante não-nula.
I (^) Adicionar (ou subtrair) um múltiplo de uma equação à
outra.
As operações elementares não afetam a solução dos sistema!
Dizemos que dois sistemas lineares são equivalentes se
admitem a mesma solução.
Ideia do Método da Eliminação de Gauss
As operações elementares são usadas para transformar um
sistema linear Ax = b num sistema linear equivalente Ux = c
supostamente mais fácil de ser resolvido.
Sistema Triangular Superior
Se U ∈ R
n×n é uma matriz triangular superior não-singular, i.e,
U =
u 11 u 12 u 13... u 1 n
0 u 22 u 23... u 2 n
0 0 u 33... u 3 n
. . .
0 0 0... unn
com uii 6 = 0 para todo i = 1 ,... , n, então a solução de Ux = c é
determinada usando a chamada substituição regressiva (do
inglês back substitution). Formalmente, tem-se
xi =
uii
c i −
n ∑
j=i+ 1
uij xj
(^) , para i = n, n − 1 ,... , 1.
A substituição regressiva efetua O(n
2 ) operações aritméticas.
Exemplo 1
Resolva o sistema triangular superior Ux = c , em que
U =
e c =
Sistema Triangular Inferior
Se L ∈ R
n×n é uma matriz triangular inferior não-singular, i.e,
L =
l 11 0 0... 0
l 21 l 22 0... 0
l 31 l 32 l 33... 0
. . .
ln 1 ln 2 ln 3... lnn
com lii 6 = 0 para todo i = 1 ,... , n, então a solução de Ly = b é
determinada usando a chamada substituição progressiva:
yi =
lii
b i −
i− 1 ∑
j= 1
lij xj
(^) , para i = 1 , 2 ,... , n.
A substituição progressiva também requer O(n^2 ) operações.
Método da Eliminação de Gauss
No método da Eliminação de Gauss, aplicamos operações
elementares em Ax = b de modo a obter um sistema
equivalente Ux = c , em que U é uma matriz triangular superior.
A i-ésima linha da matriz A será denotada por a i , ou seja,
a i =
[
ai 1 ai 2... ain
]
, i = 1 ,... , n.
Denotaremos por [ A | b ] a matriz A concatenada com o vetor b.
Inicialmente, escrevemos A
( 0 ) = A e b
( 0 ) = b.
A cada estágio j = 0 , 1 ,... , n − 1, operações elementares são
aplicadas no par [ A
(j) | b
(j) ] para obter um novo par
[ A (j+^1 )| b (j+^1 )] com zeros abaixo do elemento a
(j) jj
Exemplo 2
Use o método da eliminação de Gauss para determinar a
solução do sistema linear Ax = b , em que
A =
e b =
Exemplo 2
Use o método da eliminação de Gauss para determinar a
solução do sistema linear Ax = b , em que
A =
e b =
Resposta: O método da eliminação de Gauss fornece o
sistema linear equivalente Ux = c do exemplo anterior cuja
solução é
x
∗
Número de Operações da Eliminação de Gauss
O método da eliminação de Gauss contém dois loops.
No loop para j, efetuamos
(#operaçoes) =
n− 1 ∑
j= 1
(#operações efetuadas no estágio j).
O loop para i, resulta em outro somatório
(#operaçoes) =
n− 1 ∑
j= 1
n ∑
i=j+ 1
(operações efetuadas na linha i).
Na linha i, efetuamos 1 + 2 n + 2 = 2 n + 3 operações. Assim,
(#operaçoes) =
n− 1 ∑
j= 1
n ∑
i=j+ 1
( 2 n + 3 ) = ( 2 n + 3 )
n(n − 1 )
2
= O(n
3 ).
Fatoração LU
Os multiplicadores mij determinados no método da eliminação
de Gauss podem ser organizados numa matriz L triangular
inferior com diagonal unitária, ou seja,
L =
m 21 1 0... 0
m 31 m 32 1... 0
. . .
mn 1 mn 2 mn 3... 1
Sobretudo, a matriz original A , a matriz triangular superior U
obtida no final do processo de eliminação e a matriz L
triangular inferior com os multiplicadores satisfazem:
A = LU ,
chamada fatoração LU de A.
Exemplo 3
Determine a fatoração LU da matriz
A =
Resposta: Tem-se que
A
L
U
Considerações Finais
O sistema Ax = b é resolvido da seguinte forma usando a
fatoração LU:
I (^) Primeiro, resolve-se Ly = b.
I (^) Depois, resolve-se Ux = y.
Teoricamente, a fatoração LU é equivalente ao método da
eliminação de Gauss!
Na prática, na fatoração LU guardamos os multiplicadores
usados para transformar A numa matriz triangular superior U.
Tanto a eliminação de Gauss como a fatoração requerem
O(n^3 ) operações aritméticas!