Sum´ario
Desigualdades e Limites
Teorema do Limite Central
Estimadores
MAB-515 Avalia¸c˜ao e Desempenho (DCC/UFRJ)
Aula 6: Desigualdades, Limites e Estimadores
Prof. Paulo Aguiar
Prof. Paulo Aguiar Introdu¸c˜ao `a Simulac˜ao
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Guias e Dicas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Encontrar documentos
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Pesquisar documentos Store
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Videoaulas
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Quiz
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Pergunte à comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Ranking universidades
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Os eBooks que salvam estudantes!
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
Aula 6: Desigualdades, Limites e Estimadores, Notas de aula de Probabilidade
Teorema do Limite Central. Estimadores. 1 Desigualdades e Limites. Normalizaç˜ao. Desigualdade de Chebyshev. Lei dos Grandes Números.
Tipologia: Notas de aula
2022
1 / 18
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Documentos relacionados
Pré-visualização parcial do texto
Baixe Aula 6: Desigualdades, Limites e Estimadores e outras Notas de aula em PDF para Probabilidade, somente na Docsity!
Teorema do Limite CentralDesigualdades e Limites Estimadores
MAB-515 Avalia¸c˜ao e Desempenho (DCC/UFRJ)
Aula 6: Desigualdades, Limites e Estimadores
Prof. Paulo Aguiar
Teorema do Limite Central^ Desigualdades e Limites Estimadores
1 Desigualdades e Limites Normaliza¸c˜ao Desigualdade de Chebyshev Lei dos Grandes N´umeros
(^2) Teorema do Limite Central
3 Estimadores
Teorema do Limite Central^ Desigualdades e Limites Estimadores
Normaliza¸c˜ao Desigualdade de Chebyshev Lei dos Grandes N´umeros
Desigualdade de Chebyshev
P(|X − E [X ]| ≥ x) ≤ σ
(^2) X x^2
Aplicando Chebyshev a Sn
P(|Sn − E [X ]| ≥ x) ≤
σ^2 Sn x^2
σ X^2 nx^2 Significado: a m´edia aritm´etica de um conjunto de amostras tende para a m´edia da distribui¸c˜ao `a medida que o n´umero de observa¸c˜oes cresce.
Teorema do Limite Central^ Desigualdades e Limites Estimadores
Normaliza¸c˜ao Desigualdade de Chebyshev Lei dos Grandes N´umeros
Aplica¸c˜ao da Desigualdade de Chebyshev
Problema: Um jogador pode ganhar 6 ou perder 1, ou 2, ou 3, com probabilidade 1/ para cada evento, por jogada. Quantas vezes o jogador deve jogar para manter a sua perda ou ganho m´edio por jogada menor do que 2 com probabilidade de pelo menos 0,95?
Solu¸c˜ao aproximada por Chebyshev Seja Xi o ganho ou perda de uma jogada. Ent˜ao, E [Xi ] = 0 e V (Xi ) = E [X 2 ] = 50/4.
P
( | (^) n^1
∑ Xi | ≥ ǫ
) ≤ σ
2 nǫ^2 1 − P
( | (^) n^1
∑ Xi | < ǫ
) ≤ σ
2 nǫ^2 P
( | (^1) n ∑ Xi | < ǫ
) ≥ 1 − σ
2 nǫ^2 = 0,^95 Fazendo ǫ = 2, obtemos n ≥ 63.
Teorema do Limite Central^ Desigualdades e Limites Estimadores
Normaliza¸c˜ao Desigualdade de Chebyshev Lei dos Grandes N´umeros
Fun¸c˜ao de Gauss ou Distribui¸c˜ao Normal
Uma vari´avel aleat´oria X com PDF ΦX (x) =
∫ (^) x −∞ √^1 2 π e
− y (^22) dy , possui E [X ] = 0 e V (X ) = 1, e ´e chamada distribui¸c˜ao normal unit´aria ou N(0, 1).
Em geral, uma v.a. X com distribui¸c˜ao normal com m´edia E [X ] = μ e variˆancia V (X ) = σ^2 (σ > 0), designada N(μ, σ^2 ), tem
pdf fX (x) =
2 πσ
e−^
(x−μ)^2 2 σ^2 , −∞ ≤ x ≤ ∞
PDF FX (x) =
2 πσ
∫ (^) x
−∞
e−^
(y−μ)^2 2 σ^2 dy , −∞ ≤ x ≤ ∞.
Teorema do Limite Central^ Desigualdades e Limites Estimadores
Normaliza¸c˜ao Desigualdade de Chebyshev Lei dos Grandes N´umeros
Fun¸c˜ao de Gauss ou Distribui¸c˜ao Normal
Transformada de Laplace da N(μ, σ^2 )
E [e−sX^ ] = √^1 2 πσ
∫ (^) ∞ −∞ e−sx^ e−^
(x−μ)^2 2 σ^2 dx
= √^1 2 πσ
∫ (^) ∞ −∞ e−^
(x−(μ−σ^2 s))^2 +μ^2 −(μ−σ^2 s)^2 2 σ^2 dx
= e−sμ+s^2 σ
2 (^2) √^1 2 πσ
∫ (^) ∞ −∞
e−^
(x−(μ−σ^2 s))^2 2 σ^2 dx
= e−sμ+s^2 σ 2
Por esta express˜ao ´e f´acil verificar que a soma de vari´aveis com distribui¸c˜ao Normal ´e tamb´em uma vari´avel Normal com m´edia igual a soma das m´edias e variˆancia iguala soma das variˆancias.
Teorema do Limite CentralDesigualdades e Limites Estimadores
Teorema do Limite Central
O Teorema do Limite Central afirma que:
n^ lim→∞ P(Zn^ ≤^ x) = Φ(x)
A soma normalizada de vari´aveis aleat´orias independentes se aproxima da distribui¸c˜ao normal unit´aria. N˜ao ´e necess´ario que todas as vari´aveis aleat´orias tenham a mesma pdf; na pr´atica, sempre que uma vari´avel aleat´oria ´e a soma de um n´umero grande de vari´aveis aleat´orias bem comportadas, ent˜ao a soma normalizada tem distribui¸c˜ao normal unit´aria. Exemplo: ru´ıdo sideral.
Teorema do Limite CentralDesigualdades e Limites Estimadores
Aplica¸c˜ao do Teorema do Limite Central
Problema: Em um milh˜ao de lan¸camentos de uma moeda, qual a probabilidade de se obter mais de 510.000 caras?
Solu¸c˜ao Exata A probabilidade de se obter exatamente 510.000 caras em 10^6 lan¸camentos ´e: ( 106
- 000
) (0, 5)^510.^000 (0, 5)^490.^000 = 1. 08978 × 10 −^90
P(# de caras > 510 .000) =
∑^106 k=510. 001
( 106 k
) (0, 5)^106 = 26, 642 × 10 −^90
Solu¸c˜ao pode ser obtida atrav´es de um programa.
Teorema do Limite CentralDesigualdades e Limites Estimadores
Aplica¸c˜ao do Teorema do Limite Central
Solu¸c˜ao usando a Desigualdade de Chebyshev
P(|Sn − E [X ]| ≥ x) ≤ σ^2 X nx^2 P(|nSn − nE [X ]| ≥ nx) = P(|Y − 500. 000 | ≥ 106 x)
Fazendo 10^6 x = 10.000, obtemos x = 0.01. Ent˜ao:
P(|Y − 500. 000 | ≥ 10 .000) ≤ σ X^2 10610 −^4 = 0, 25 × 10 −^2 , e ent˜ao P(Y − 500. 000 ≥ 10 .000) ≤ 12 , 5 × 10 −^4
Se aproximarmos o valor da probabilidade pelo limite superior dado por Chebyshev verificamos que teremos uma resposta extremamente incorreta, pois o limite de Chebyshev para este caso ´e muito frouxo.
Teorema do Limite CentralDesigualdades e Limites Estimadores
Aplica¸c˜ao do Teorema do Limite Central
Aproximando Distribuicc˜oes Uma v.a. Poisson Y pode ser vista como a soma de n v.as. Poisson Xi : Y = ∑ni =1 Xi , com E [X ] = λi = λ/n = V (X ).
Pelo Teorema do Limite Central
Z = Y^ − σ^ E^ [Y^ ] Y = Y √^ −^ λ λ = N(0, 1) P(Z ≤ z) = Φ(z) P(Y ≤ k) = P
( Z ≤ k^ √−^ λ λ
) = Φ
( (^) k − λ √ λ
)
Para efeito de aproxima¸c˜ao, como Poisson ´e uma vari´avel discreta e Φ ´e cont´ınua, usa-se uma corre¸c˜ao de continuidade e adota-se : P(Y ≤ k) = Φ
( (^) k+1/ 2 −λ √λ
) Esta aproxima¸c˜ao melhora com aumento de λ.
Teorema do Limite CentralDesigualdades e Limites Estimadores
Prova do Teorema do Limite Central
Demonstra¸c˜ao: O resultado do Teorema do Limite Central pode ser demonstrado de maneira simples usando o conceito de transformada. Zn = (^) σX^1 √n^ ∑ni =1 (Xi − E [X ]) = (^) σX^1 √n^ ∑ni =1 Wi , onde as vari´aveis Wi , 1 ≥ i ≥ n, s˜ao i.i.d, com E [Wi ] = 0 e V (Wi ) = E [W (^) i^2 ] = V (X ) = σ X^2. E [e−sZn^ ]^ = E
[ e−^ σs X^ √n
∑ni =1 Wi^ ]
( E
[ e−^ σs X^ √n^ Wi
])n
( W (^) i∗
( (^) s σX^ √n
))n . W (^) i∗ (s) = 1 − sEWi ] + s 22 E [W (^) i^2 ] − s 3!^3 E [W (^) i^3 ] + · · · = 1 + s 22 E [W (^) i^2 ] + o(s^2 ) Aproximando W (^) i∗ (s) = 1 + s 22 E [W (^) i^2 ] = 1 + s 22 σ^2 X , obtemos E [e−sZn^ ] =
( 1 + 2 s^2 n
)n . Para n → ∞, E [e−sZn^ ]^ = e s 2 2 (T.L. da N(0,1)), ou seja, Zn → N(0, 1) com n → ∞. CQD.
Teorema do Limite CentralDesigualdades e Limites Estimadores
Estimadores
{X 1 , X 2 , · · · , Xn} ´e o conjunto de n observa¸c˜oes (ou amostras) independentes da v.a. X , que tem m´edia u, variˆancia σ^2 e pdf f (x). Estimador da M´edia μ ˆ = (^1) n
∑n i =1 Xi^ ´e a vari´avel aleat´oria denominada m´edia das amostras (ou sample mean) e ´e um estimador de μ.
Estimador da Variˆancia σ ˆ^2 = (^) n−^11
∑n i =1(Xi^ −^ ˆμ) 2