Aula 5 – Funções Diferenciáveis e o Vetor Gradiente., Provas de Cálculo

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Cálculo II (Cursão)

Aula 5 – Funções Diferenciáveis e o Vetor Gradiente.

Marcos Eduardo Valle Depart. Matemática Aplicada IMECC – Unicamp

Introdução

No curso de Cálculo I, vimos que se uma função f : S ⊆ R → R é diferenciável em a ∈ S, então f é contínua em a. Lembre-se que uma função f é diferenciável em a se derivada f ′(a) existe.

A existência das derivadas direcionais f ′( a ; y ), incluindo as derivadas parciais, contudo, não implicam a continuidade de um campo escalar f : S ⊆ Rn^ → R em a ⊆ S.

Exemplo 1

Considere o campo escalar

f (x, y) =

xy^2 x^2 + y^4

, x 6 = 0 ,

0 , caso contrário.

Mostre que f ′( a ; y ) existe em a = ( 0 , 0 ) para qualquer y = (a, b) mas f não é contínua em ( 0 , 0 ).

Resposta: Tomando a = ( 0 , 0 ) e y = (a, b), encontramos

f ′( a ; y ) =

b^2 a , b 6 = 0 , 0 , caso contrário.

Mostramos que o limite lim(x,y)→( 0 , 0 ) f (x, y) não existe considerando

C 1 = {(x, y) ∈ R^2 : x = 0 } e C 2 = {(x, y) ∈ R^2 : x = y^2 }.

Exemplo 2

A figura abaixo ilustra o campo escalar

f (x, y) =

{ (^) xy 2 x^2 +y^4 ,^ x^6 =^0 , 0 , caso contrário.

y

-0.

-0.

-0.

z = f(x,y) -0.

0

-0.

0

1

-1 (^) -1^ -0.^

(^0) x

1

Fórmula de Taylor de Primeira Ordem

A equação

f ( a + v ) = f ( a ) + T a ( v ) + R a ( v ) com lim v → 0

R a ( v ) ‖ v ‖

é a fórmula de Taylor de primeira ordem de f em a. O termo

R a ( v ) = f ( a + v ) −

f ( a ) + T a ( v )

denota o resto da aproximação de f por f ( a ) + T a.

O limite

lim v → 0

R a ( v ) ‖ v ‖

significa que R a → 0 mais rápido que ‖ v ‖ → 0 quando v → 0.

Logo, se f é diferenciável em a , então f ( a + v ) pode ser aproximado por f ( a ) + T a ( v ) para v suficientemente próximo de 0.

Exemplo 4

A figura abaixo ilustra o campo escalar diferenciável f (x, y) = − 2 x^2 − y^2 e a transformação afim f ( a ) + T a no ponto a = ( 1 , 1 , − 3 ):

-4 (^) - (^0 ) 4 -

0

2

4

0

20

40

z

x

y

z

Gradiente

Definição 6 (Gradiente)

O gradiente de um campo escalar f : S ⊆ Rn^ → R, denotado por ∇f ou grad f , é o campo vetorial cujas componentes são as derivadas parciais de f , ou seja,

∇f =

∂f ∂x 1

∂f ∂x 2

∂f ∂xn

O gradiente está definido em um ponto a ∈ int(S) se e somente se todas as derivadas parciais de f existem em a!

Escrevemos a fórmula de Taylor como segue usando o gradiente:

f ( a + v ) = f ( a ) + ∇f ( a ) · v + R a ( v ) com lim v → 0

R a ( v ) ‖ v ‖

Interpretação Geométrica do Gradiente

Seja u ∈ Rn^ um vetor unitário, isto é, ‖ u ‖ = 1. A derivada direcional de f em a na direção de u satisfaz

D u f ( a ) = ∇f ( a ) · u = ‖∇f ( a )‖ cos θ,

em que θ é o ângulo entre u e ∇f ( a ).

Note que D u f ( a ) é máximo se cos θ = 1, ou seja, quando u tem a mesma direção de ∇f ( a ). Em outras palavras, o campo escalar tem a maior taxa de variação na direção do vetor gradiente ∇f ( a ).

Além disso, a taxa de variação máxima é igual à magnitude do gradiente.

Por outro lado, tem-se D u f ( a ) = 0 se u é ortogonal à ∇f ( a ).

Condição Suficiente para Diferenciabilidade

O seguinte conceito, que está fundamentado na existência e continuidade das derivadas parciais, fornece condições suficientes para a diferenciabilidade:

Definição 8 (Continuamente Diferenciável)

Um campo escalar f : S ⊆ Rn^ → R é dito continuamente diferenciável em a se suas derivadas parciais existem em uma bola B( a , r ), r > 0, e são contínuas em a.

Dizemos que f é continuamente diferenciável, e escrevemos f ∈ C^1 , se f é continuamente diferenciável em todo a ∈ S.

Teorema 9 ( Condição Suficiente para Diferenciabilidade)

Se f : S ⊆ Rn^ → R é continuamente diferenciável em a ∈ int(S), então f é diferenciável em a.

Demonstração do Teorema 9

Vamos considerar apenas o caso n = 2. O caso mais geral segue de um modo similar mas com uma notação mais elaborada.

Tome a = (a 1 , a 2 ) e v = (h, k) tal que a + v ∈ B( a ; r ). Definia

R a ( v ) = f ( a + v ) − f ( a ) − ∇f ( a ) · v = f (a 1 + h, a 2 + k) − f (a 1 , a 2 + k) + f (a 1 , a 2 + k) − f (a 1 , a 2 )

− ∂f ∂x

( a )h − ∂f ∂y

( a )k.

Pelo teorema do valor médio, existem θ 1 , θ 2 ∈ ( 0 , 1 ) tais que

R a ( v ) = ∂f ∂x

(a 1 +θ 1 h, a 2 +k)h+ ∂f ∂y

(a 1 , a 2 +θ 2 k)k − ∂f ∂x

( a )h− ∂f ∂y

( a )k.

Considerações Finais

Na aula de hoje, apresentamos os conceitos de gradiente, função diferenciável e derivada total.

Destacamos que se f é diferenciável, então suas derivadas direcionais podem ser escritas usando o gradiente.

Mostramos que diferenciabilidade implica continuidade. Além disso, uma função é diferenciável em a se suas derivadas parciais existem numa bola que contém a e são contínuas nesse ponto.

Muito grato pela atenção!