Aula 5
Equações Diferenciais
Ordinárias Lineares
Homogêneas.
MA311 - Cálculo III
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
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Aula 5 Equações Diferenciais Ordinárias Lineares ..., Provas de Equações Diferenciais
ypn´1q paq “ bn´1. Page 15. Definição 10 (Equação Homogênea). Uma EDO linear de ordem n ě ...
Tipologia: Provas
2022
Compartilhado em 07/11/2022
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Aula 5
Equações Diferenciais
Ordinárias Lineares
Homogêneas.
MA311 - Cálculo III
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Introdução
Na aula de hoje iniciaremos o estudo das EDOs de ordem n ě 2. Começaremos com as EDOs lineares de 2a^ ordem.
Em geral, vamos assumir que uma EDO linear de 2a^ ordem pode ser escrita como
Apxqy^2 Bpxqy^1 Cpxqy “ F pxq, (1)
em que A, B, C e F são funções contínuas em um intervalo aberto I.
Uma EDO linear de 2a^ ordem também pode ser escrita como
y^2 ppxqy^1 qpxqy “ f pxq, (2)
dividindo (1) por Apxq.
Existência e Unicidade da Solução
Teorema 3 (Existência e Unicidade)
Se p, q e f são funções contínuas em um intervalo aberto I que contém o ponto a então, para quaisquer números b 0 e b^11 , o problema de valor inicial (PVI)
y^2 ppxqy^1 qpxqy “ f pxq, ypaq “ b 0 e y^1 paq “ b 1.
admite uma única solução em I.
Observação 1:
A solução de um PVI envolvendo uma EDO linear de 2a^ ordem é determinada considerando duas condições iniciais!
Equações Homogêneas
Definição 4 (EDO Linear de 2a^ Ordem Homogênea)
Uma EDO de 2a^ ordem é homogênea se F pxq “ 0 ou f pxq “ 0, ou seja, pode ser escrita como
Apxqy^2 Bpxqy^1 Cpxqy “ 0 ou y^2 ppxqy^1 qpxqy “ 0.
Observação:
O termo “homogêneo” tem significado diferente para EDOs de 1 a^ ordem.
Exemplo 6
Por inspeção, notamos que
y 1 pxq “ cos x e y 2 pxq “ sen x,
são ambas soluções da EDO homogênea
y^2 ` y “ 0.
Pelo Teorema 5,
ypxq “ c 1 cos x ` c 2 sen x,
é também solução para quaisquer c 1 e c 2.
Exemplo 7
Sabendo que
y 1 pxq “ ex^ e y 2 pxq “ xex^ ,
são ambas soluções de
y^2 ´ 2 y^1 ` y “ 0 ,
determine a solução da EDO que satisfaz as condições iniciais
yp 0 q “ 3 e y^1 p 0 q “ 1.
De um modo geral, suponha que
y “ c 1 y 1 ` c 2 y 2 ,
é uma solução de uma EDO linear de 2a^ ordem homogênea.
Impondo as condições iniciais
ypaq “ b 0 e y^1 paq “ b 1 ,
obtemos o sistema linear
c 1 y 1 paq c 2 y 2 paq “ b 0 , c 1 y 11 paq c 2 y 21 paq “ b 1 ,
nos coeficientes c 1 e c 2.
Equivalentemente, temos o sistema linear „ y 1 paq y 2 paq y 11 paq y 21 paq
c 1 c 2
b 0 b 1
Concluindo, considere o PVI
y^2 ppxqy^1 qpxqy “ 0 , ypaq “ b 0 e y^1 paq “ b 1 ,
em que p e q são funções contínuas em I.
Conhecendo soluções y 1 e y 2 , conseguiremos determinar a única solução do PVI em I usando ypxq “ c 1 y 1 pxq “ c 2 y 2 pxq se, e somente se, o sistema linear „ y 1 paq y 2 paq y 11 paq y 21 paq
c 1 c 2
b 0 b 1
admitir uma única solução.
Solução Geral
Teorema 8 (Solução Geral de uma EDO Homogênea)
Se y 1 e y 2 são duas soluções linearmente independentes da EDO linear homogênea
y^2 ppxqy^1 qpxqy “ 0 ,
em que p e q são ambas funções contínuas em um intervalo I, então qualquer outra solução da EDO pode ser escrita como
Y pxq “ c 1 y 1 pxq ` c 2 y 2 pxq,
para c 1 e c 2 reais.
Equações de Ordem Superior
De um modo geral, uma EDO linear de ordem n ě 2 pode ser escrita como
P 0 pxqypnq^ P 1 pxqypn´^1 q^... Pn´ 1 pxqy^1 Pnpxqy “ F pxq,
ou, equivalentemente,
ypnq^ p 1 pxqypn´^1 q^... pn´ 1 pxqy^1 pnpxqy “ f pxq. (3)
Teorema 9 (Existência e Unicidade)
Se p 1 , p 2 ,... , pn e f são funções contínuas em um intervalo aberto I contendo um ponto a então, dados b 0 , b 1 ,... , bn´ 1 , a EDO (3) admite uma única solução no intervalo I que satisfaz as condições iniciais
ypaq “ b 0 , y^1 paq “ b 1 ,... ypn´^1 qpaq “ bn´ 1.
Definição 12 (Wronskiano)
O wronskiando de funções y 1 , y 2 ,... , yn, todas n ´ 1 vezes diferenciáveis, é o determinante
W “
y 1 y 2... yn y 11 y 21... y n^1 .. .
y 1 pn ´^1 q y 2 pn ´^1 q... y npn´^1 q
Observação:
As funções y 1 , y 2 ,... , yn são linearmente independentes em um intervalo I se o wronskiano não se anula nesse intervalo.
Teorema 13 (Solução Geral)
Se y 1 , y 2 ,... , yn são soluções linearmente independentes da EDO linear homogênea
ypnq^ p 1 pxqypn´^1 q^... pn´ 1 pxqy^1 pnpxqy “ 0 ,
em que p 1 , p 2 ,... , pn são funções contínuas em um intervalo I, então qualquer outra solução da EDO pode ser escrita como
Y pxq “ c 1 y 1 pxq c 2 y 2 pxq... ` cny 2 pxq,
para c 1 , c 2 ,... , cn reais.
Raízes Distintas da Equação Característica
Se r é uma solução da equação característica, então ypxq “ erx^ é uma solução da EDO.
Sobretudo, como anr n^ an´ 1 r n´^1... a 1 r a 0 “ 0 possui n soluções r 1 , r 2 ,... , rn, podemos expressar a solução geral da EDO como
ypxq “ c 1 er^1 x^ c 2 er^2 x^... ` cnernx^ ,
desde que ri ‰ rj para todo i ‰ j, ou seja, se não houverem raízes repetidas.
Exemplo 14
Encontre a solução geral de
y^2 5 y^1 6 y “ 0.