Estatística II: Distribuição Binomial, Notas de estudo de Probabilidade

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AULA 3

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Distribuição Binomial

A distribuição binomial é um dos modelos de distribuição discreta de probabilidade e baseia-se no processo de amostragem de Bernoulli. Bernoulli estabeleceu um proces- so de amostragem para a realização de um experimento em que o resultado possa ser um “sucesso” (quando acontece o evento de interesse) ou um “fracasso” (quando o evento não se realiza). No processo de amostragem, Bernoulli definiu que:

 Em cada tentativa existem apenas dois resultados possíveis que são mutuamente exclusivos: o “sucesso” ou o “fracasso”;  As observações são eventos independentes, em que o resultado de qualquer uma das provas não deve afetar os resultados das provas seguintes;  As probabilidades de ocorrer P de “sucesso” ou q de “fracasso” permanecem constantes em cada tentativa.

A relação entre as probabilidades P e q é: P + q = 1  q = 1-P

A distribuição binomial é útil em estudos cujo enfoque é a determinação da probabilidade de se obter X sucessos em n tentativas, pois a distribuição binomial estabelece uma fórmula para o cálculo da probabilidade que permite obter dado número de sucessos no processo de amostragem de Bernoulli. A função abaixo expressa a probabilidade P(X) de que um evento realize-se X vezes em n tentativas:

n X nX X

X nX P( X) n CXP ( 1 P) P ( 1 P)  (^)   

    

PX^ ( 1 P)nX X!(n X)!

P( X) n!   



Sendo: P = a probabilidade de “sucesso” q = a probabilidade de “fracasso”  q = 1 - P n = número total de tentativas independentes X = número de vezes que ocorreu sucesso.

Lista de Exercícios 3

1. Uma moeda é lançada sete vezes, encontre a probabilidade de: a) ocorrer cinco caras; b) ocorrer pelo menos três coroas; c) ocorrer no máximo quatro coroas; d) não ocorrer cara; e) ocorrer sete caras.

2. Numa agência de viagens, de cada 500 passagens vendidas, 60 são para a Bahia. Na venda de cinco passagens: a) Qual a probabilidade que três sejam para a Bahia? b) Qual a probabilidade que duas ou mais sejam para a Bahia? c) Qual a probabilidade que nenhuma seja para a Bahia? d) Qual a probabilidade que no máximo duas sejam para a Bahia? e) Qual a probabilidade que todas sejam para a Bahia?

3. Num acampamento de férias, os adolescentes formaram dois times: A e B. Os times jogaram oito vezes entre si. Encontre a probabilidade: a) de o time A ganhar seis vezes; b) de o time A ganhar pelo menos quatro vezes; c) de o time A ganhar no máximo três vezes; d) de o time A ganhar uma única vez; e) de o time A não ganhar nem uma vez.

4. Admitimos que o nascimento de meninas e meninos sejam iguais; um jovem casal pretende ter quatro filhos, calcule a probabilidade de nascerem: a) duas meninas; b) pelo menos duas meninas; c) no máximo duas meninas; d) quatro meninas.

5. Considerando que 10% da população é canhota, uma escola encomendou carteiras especiais para canhotos. Numa classe de 40 alunos, qual a probabilidade de se ter:

a) cinco alunos canhotos? b) oito alunos canhotos? c) três alunos canhotos? d) nenhum aluno canhoto? e) quatro alunos canhotos?

6. Supondo que uma empresa aérea X detém 30% de voos domésticos, determine a probabilidade de que, em oito acidentes aéreos, ocorram: a) cinco acidentes com aviões da empresa X; b) menos de três acidentes com aviões da empresa X; c) nenhum acidente com aviões na empresa X.

7. Após a realização de uma pesquisa, onde obteve-se que 85% dos que reservaram lugares comparecem para o embarque, uma empresa aérea Y passou a adotar a política de vender 105 passagens para um avião que dispõe de 98 assentos. Determine a probabilidade de que: a) todos os assentos sejam preenchidos; b) sobre um passageiro sem assento; c) sobrem três assentos vazios.

8. Um levantamento mostrou que 1% das lâmpadas incandescentes produzidas numa fábrica são defeituosas. Encontre a probabilidade de mais que uma lâmpa- da numa amostra aleatória de 30 lâmpadas sejam defeituosas, usando: a) A distribuição Binomial e b) A distribuição de Poisson.

9. Responda as seguintes questões, utilizando a distribuição binomial. a) Suponha que a probabilidade dos pais terem um(a) filho(a) com cabelos loiros seja ¼. Se houverem 6 crianças na família, qual é a probabilidade de que metade delas terem cabelos loiros? b) Se a probabilidade de atingir um alvo num único disparo é 0,3, qual é a probabilidade de que em 4 disparos o alvo seja atingido no mínimo 3 vezes? c) Um inspetor de qualidade extrai uma amostra de dez tubos aleatoriamente de uma carga muito grande de tubos que se sabe que contém 20% de tubos defeitu- osos. Qual é a probabilidade de que não mais do que 2 dos tubos extraídos sejam defeituosos? d) Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fabricação sabido produzir 85% de itens aceitáveis. Qual a probabili- dade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis?