Teorema do Divergente: Integral de Derivada de Campo Vetorial e Fronteira da Região, Resumos de Cálculo

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Aula 25

Teorema do Divergente

MA211 - Cálculo II

Marcos Eduardo Valle

Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas

Introdução

O teorema do divergente , também chamado teorema de Gauss , estabelece uma relação entre a integral (derivada) do divergente de um campo vetorial F sobre uma região com a integral de F sobre a fronteira da região.

Uma região E ⊆ R^3 é chamada região sólida simples se E pode ser escrita simultaneamente como:

E = {(x, y, z) : (x, y) ∈ Dxy , u 1 (x, y) ≤ z ≤ u 2 (x, y)}, (tipo 1) , E = {(x, y, z) : (y, z) ∈ Dyz , v 1 (y, z) ≤ x ≤ v 2 (y, z)}, (tipo 2) , E = {(x, y, z) : (x, z) ∈ Dxz , w 1 (x, z) ≤ y ≤ w 2 (x, z)}, (tipo 3).

A fronteira de E é uma superfície fechada e usaremos a convenção de que a orientação positiva é para fora.

Ideia da Demonstração do Teorema do Divergente

Seja F = P i + Q j + R k. Vamos mostrar que ∫ ∫

S

F · d S =

E

div F dV.

Por um lado, ∫ ∫

E

div F dV =

E

∂P

∂x

dV +

E

∂Q

∂y

dV +

E

∂R

∂z

dV.

Por outro lado, se n é o vetor normal unitário para fora de S, ∫ ∫

S

F · d S =

S

(P i + Q j + R k ) · n dS

S

P i · n dS +

S

Q j · n dS +

S

R k · n dS.

Mostraremos apenas que

E

∂R

∂z

dV =

S

R k · n dS.

Primeiramente, como E é uma região sólida simples, temos

E = {(x, y, z) : (x, y) ∈ Dxy , u 1 (x, y) ≤ z ≤ u 2 (x, y)}.

Observe que superfície fronteira S é formada por três partes: o fundo S 1 , o topo S 2 e possivelmente a lateral S 3.

(Figura extraída do livro de James Stewart, Calculus, 5 edição.)

Calcularemos a integral

Si

R k · n dS, para i = 1 , 2 e 3.

Logo, por um lado temos ∫ ∫

S

R k · n dS =

S 1

R k · n dS +

S 2

R k · n dS +

S 3

R k · n dS

D

R

x, y, u 1 (x, y)

dA +

D

R

x, y, u 2 (x, y)

dA.

Por outro lado, pelo teorema fundamental do cálculo temos

∫ ∫ ∫

E

∂R

∂z dV =

D

u 2 (x,y)

u 1 (x,y)

∂R

∂z dz

dA

D

R

x, y, u 2 (x, y)

dA −

D

R

x, y, u 1 (x, y)

dA.

Comparando os resultados, concluímos que ∫ ∫ ∫

E

∂R

∂z dV =

S

R k · n dS.

De um modo similar, pode-se mostrar que ∫ ∫ ∫

E

∂P

∂x dV =

S

P i · n dS,

e (^) ∫ ∫ ∫

E

∂Q

∂y dV =

S

Q j · n dS.

Essas últimas equações concluem a demostração do teorema do divergente!

Exemplo 2

Determine o fluxo do campo vetorial F (x, y, z) = z i + y j + x k sobre a esfera unitária x^2 + y^2 + z^2 = 1.

Resposta: Pelo teorema do divergente, temos ∫ ∫

S

F · d S =

E

div F dV =

E

1 dV =

π.

Exemplo 3

Calcule

S F^ ·^ d S^ em que

F (x, y, z) = xy i + (y^2 + exz

2 ) j + sen(xy) k ,

e S é a superfície da região E limitada pelo cilindro parabólico z = 1 − x^2 e pelos planos z = 0, y = 0 e y + z = 2.

O teorema do divergente vale quando E é a união de regiões sólidas simples!

Por exemplo, suponha que E é uma região solida entre duas superfícies S 1 e S 2 , onde S 1 está dentro de S 2. Sejam n 1 e n 2 os vetores normais (unitários) apontando para foram de S 1 e S 2 , respectivamente. A superfície fronteira de S é S = S 1 ∪ S 2 e sua normal n é dada por n = − n 1 sobre S 1 e n = n 2 sobre S 2. Pelo teorema do divergente, temos ∫ ∫ ∫

E

div F dV =

S

F · d S =

S

F · n dS

S 1

F · (− n 1 )dS +

S 2

F · n 2 dS

S 2

F · n 2 dS −

S 1

F · ( n 1 )dS.

Exemplo 4

Determine o fluxo elétrico E , dado por E ( x ) =

Q

‖ x ‖^3 x , sobre

uma superfície fechada S que contém a origem. Dica: Pode-se verificar que div E ( x ) = 0 para qualquer x.

Interpretação do Divergente

Seja v um campo de velocidades de um fluido com densidade constante ρ. A vazão do fluido por unidade de área é F = ρ v. Se (x 0 , y 0 , z 0 ) é um ponto no fluido e Ba é uma bola de raio a (pequeno) e centro em P 0 , então div F (x, y, z) ≈ div F (x 0 , y 0 , z 0 ) para todo (x, y, z) ∈ Ba. Assim, o fluxo na fronteira Sa da bola Ba é ∫ ∫

Sa

F · d S =

Ba

div F dV ≈

Ba

div F (x 0 , y 0 , z 0 )dV

= div F (x 0 , y 0 , z 0 )V (Ba),

em que V (Ba) denota o volume de Ba.

Tomando a → 0, temos

div F (x 0 , y 0 , z 0 ) = lim a→ 0

V (Ba)

Sa

F · d S.

Portanto, div F (x 0 , y 0 , z 0 ) é a vazão total por unidade de volume que sai de (x 0 , y 0 , z 0 ).

I (^) Se div F (x, y, z) > 0, o escoamento total perto de (x, y, z) é para fora de (x, y, z). Nesse caso, (x, y, z) é chamado fonte. I (^) Se div F (x, y, z) < 0, o escoamento total perto de (x, y, z) é para dentro e (x, y, z) é chamado sorvedouro.