Aula 20 Circuitos de Primeira ordem RC -1, Notas de estudo de Energia

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Aula 20

Circuitos de primeira ordem 1

RC

Definições

Um circuito de primeira ordem é caracterizado por uma equação diferencial

de primeira ordem

As análises realizadas em circuitos puramente resistivos (R) resultavam

apenas em equações algébricas. A partir desta aula iremos incorporar

indutores (L) e capacitores (C) nas análises, estes componentes associados a

resistores (RC ou RL) resultaram em equações diferenciais

Resposta RC forçada (a degrau)

A tensão do capacitor não muda de forma abrupta 𝟎 − → 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑎𝑣𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝟎

→ 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑜 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑎𝑟𝑒𝑖𝑜𝑟 𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑎𝑣𝑒𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝒗𝒄 𝟎

= 𝒗𝒄 𝟎 − = 𝑽𝟎

Análise dos nós (nó superior capacitor)

Diferenciando em relação ao tempo

Resposta RC forçada (a degrau)

Integrando ambos os lados

𝑉 0 𝑣𝑐(𝑡)

0 𝑡

ln 𝑣𝑐 − 𝑣𝑠

ln 𝑣𝑐(𝑡) − 𝑣𝑠 − ln 𝑉 0 − 𝑣𝑠 = −

ln

− 𝑡 𝑅𝐶

− 𝑡 𝑅𝐶

Resposta RC forçada (a degrau)

Para calcularmos a corrente no capacitor, basta derivarmos a tensão.

Sabemos que:

0 =^0

Resposta RC forçada (a degrau)

Resposta RC forçada (a degrau)

Neste exemplo a constante de tempo (tau) é igual a:

𝝉 = 𝑹𝑪 = 𝟏𝒎 ⋅ 𝟏𝑲 = 𝟏𝒔 ** A unidade de tal é

o segundo Tempo (^) 𝒆− 𝒕 𝝉 Tensão^ Corrente^ % 𝑡 = 1𝜏 0,36788 6,3212V 0,36788mA 63,212% 𝑡 = 2𝜏 0,13534 8,6466V 0,13534mA 86,466% 𝑡 = 3𝜏 0,04979 9,5021V 0,04979mA 95,021% 𝑡 = 4𝜏 0,01832 9,8168V 0,01832mA 98,168% 𝑡 = 5𝜏 0,00674 9,9326V 0,00674mA 99,326%

− 𝑡 𝜏)

− 𝑡 𝜏

− 5𝜏 𝜏 (^) )

Resposta RC forçada (a degrau)

Resposta transiente: resposta temporária do circuito que se extinguirá com o tempo Resposta em regime estacionário: comportamento um longo tempo após excitação

− 𝒕−𝒕𝟎 𝝉

Resposta RC natural (descarga do capacitor) Resposta forçada:

− 𝒕

Resposta natural: 𝑉 0 ≠ 0 𝑒 𝑉𝑠 = 0

− 𝒕

Resposta RC natural (descarga do capacitor)

− 𝒕

Por que a corrente é negativa?

Porque deduzimos a relação de corrente baseado nos parâmetros do circuito anterior (resposta forçada) Quando carregamos o capacitor, a corrente está na direção da queda de tensão, entretanto, quando o capacitor descarrega, a corrente muda de direção e passa a fluir na elevação de tensão (similar a uma fonte geradora). Diferente da tensão (integral) que não pode variar de forma brusca, a corrente (derivada) pode variar de forma brusca.

Resposta RC natural (descarga do capacitor)

Resposta RC natural (descarga do capacitor) Carga 𝜏 = 𝑅𝐶 𝜏 = 100 ⋅ 1𝑚 = 0 ,1𝑠 5𝜏 = 0 ,5𝑠 Descarga 𝜏 = 𝑅𝐶 𝜏 = 200 ⋅ 1𝑚 = 0 ,2𝑠 5𝜏 = 1𝑠 A chave muda para posição descarga após 1s, portanto o capacitor descarrega aproximadamente 99% em 1s+1s=2s *Chave muda para descarga *Inversão da direção da corrente

Resposta RC natural (descarga do capacitor)

Exemplo: A chave do circuito permaneceu na posição 1 por um longo período, em t=0 a chave

muda instantaneamente para a posição 2, encontre as equações que expressam o

comportamento de v e i. Analise os instantes 0

−

− = 𝑣 0

= 𝑉 0 𝑉 0 = 10𝑉 Comportamento em regime estacionário Circuito aberto 𝑖 0 − = 0 𝑖 0

= −

𝟏 𝝉

Exercícios

Exercício: A chave da figura abaixo se encontra na posição A há um longo tempo. Em t=0, a

chave muda instantaneamente para a posição B. Determine v(t) pata t>0.