Aula 19
Séries Alternadas e Séries de
Potência.
MA311 - Cálculo III
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Guias e Dicas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Encontrar documentos
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Pesquisar documentos Store
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Videoaulas
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Quiz
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Pergunte à comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Ranking universidades
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Os eBooks que salvam estudantes!
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
Aula 19 Séries Alternadas e Séries de Potência. .5cm MA311, Resumos de Cálculo
em que bn são todos não-negativos. Teorema 1 (Teste da Série Alternada). Se uma série alternada satisfizer. 1. bn`1 ...
Tipologia: Resumos
2022
1 / 23
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Documentos relacionados
Pré-visualização parcial do texto
Baixe Aula 19 Séries Alternadas e Séries de Potência. .5cm MA311 e outras Resumos em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Aula 19
Séries Alternadas e Séries de
Potência.
MA311 - Cálculo III
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Revisão
A soma dos n primeiros termos de uma sequência tanu
8 n“ 1 ,
sn “ a 1 a 2... ` an “
ÿ^ n
i“ 1
ai ,
é chamada soma parcial.
Uma série infinita , ou simplesmente série ,
ÿ^8
n“ 1
an “ a 1 a 2 a 3 ... an `...
é obtida somando todos os termos de uma sequência tanu
8 n“ 1.
Dizemos que a série
ř an converge se a sequência tsnu
8 n“ 1
das somas parciais for convergente. Caso contrário, dizemos
que a série diverge.
Exemplo 2
Avalie a convergência da série harmônica alternada
ÿ^8
n“ 1
p´ 1 q
n` 1
n
`
`...
Exemplo 2
Avalie a convergência da série harmônica alternada
ÿ^8
n“ 1
p´ 1 q
n` 1
n
`
`...
Resposta: Como
bn` 1 “
n ` 1
ă
n
“ bn e lim nÑ
bn “ 0 ,
pelo teste da série alternada temos que a série converge.
Exemplo 3
Teste a convergência da série
ÿ^8
n“ 1
p´ 1 q
n 3 n
4 n ´ 1
Resposta: Como
lim nÑ
p´ 1 q
n 3 n
4 n ´ 1
não existe, pelo teste da divergência concluímos que a série
diverge.
Exemplo 4
Teste a convergência da série
ÿ^8
n“ 1
p´ 1 q
n` 1 n
2
n
3 ` 1
Séries de Potências
Uma série de potências centrada em a ou em torno de a é
uma série da forma
ÿ^8
n“ 0
cnpx ´ aq
n “ c 0 c 1 px ´ aq c 2 px ´ aq
2 ` c 3 px ´ aq
3 `... ,
em que x é uma variável, a é fixo e os coeficientes cn’s são
constantes.
Uma série de potências define uma função
f pxq “
ÿ^8
n“ 0
cnpx ´ aq
n ,
cujo domínio é o conjunto de todos os pontos para os quais a
série converge, que inclui o ponto x “ a.
Exemplo 5
Para quais valores de x a série
ÿ^8
n“ 0
px ´ 3 qn
n
converge?
Exemplo 6
Para quais valores de x a série
ÿ^8
n“ 0
n!x
n é convergente?
Exemplo 6
Para quais valores de x a série
ÿ^8
n“ 0
n!x
n é convergente?
Resposta: Pelo teste da razão, temos
lim nÑ
pn ` 1 q!x
n` 1
n!x
n
“ lim nÑ
pn ` 1 q|x| “ 8, @x ‰ 0.
Logo, a série converge apenas para x “ 0.
Exemplo 7
Encontre o domínio da função de Bessel de ordem 0 definida
por
J 0 pxq “
ÿ^8
n“ 0
p´ 1 q
n x
2 n
22 npn!q^2
Resposta: Primeiro, observe que
lim nÑ
p´ 1 qn^1 x^2 n^1 22 n^1 pn 1 !q^2
p´ 1 qnx^2 n 22 npn!q^2
“ 0 , @x P R.
Logo, pelo teste da razão, a série converge todo x, ou seja, o
domínio da função de Bessel J 0 é R.
Função de Bessel de Ordem 0
-0.
0
1
-15 -10 -5 0 5 10 15
J
0
x
Série
Raio de
Convergência
Intervalo de
Convergência ÿ^8
n“ 0
x
n R “ 1 p´ 1 , 1 q
ÿ^8
n“ 0
n!x
n R “ 0 t 0 u
ÿ^8
n“ 0
px ´ 3 q
n
n
R “ 1 r 2 , 4 q
ÿ^8
n“ 0
p´ 1 q
n x
2 n
22 npn!q^2
R “ 8 p´8, `8q
Exemplo 9
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência
da série
ÿ^8
n“ 0
p´ 3 q
n x
n
? n ` 1