Baixe Seções planas de um parabolóide elíptico e interseção com outros planos e outras Resumos em PDF para Geometria, somente na Docsity!
Superf´ıcies qu´adricas - parabol´oides (^) M ODULO 2´ - AULA 17
Aula 17 – Superf´ıcies qu´adricas -
parabol´oides
Objetivos
- Apresentar os parabol´oides el´ıpticos e hiperb´olicos identificando suas se¸c˜oes planas.
- Estudar os parabol´oides regrados e de revolu¸c˜ao.
Nas superf´ıcies qu´adricas estudadas nas Aulas de 29 a 32, vimos que elipses, c´ırculos e hip´erboles s˜ao encontradas como se¸c˜oes planas. Al´em dessas cˆonicas, encontramos tamb´em retas e pontos, ou seja, cˆonicas degeneradas. Nos parabol´oides, conforme o nome sugere, as par´abolas aparecem de forma natural. De fato, elas ocorrem em duas das trˆes formas de obtermos se¸c˜oes. Isto ´e, as par´abolas s˜ao as cˆonicas que “mais aparecem”como se¸c˜oes planas (paralelas aos planos coordenados) num parabol´oide.
Um parabol´oide ´e denominado el´ıptico quando suas se¸c˜oes s˜ao par´abolas ou elipses e ´e denominado hiperb´olico quando suas se¸c˜oes s˜ao par´abolas e hip´erboles. Come¸camos estudando os parabol´oides el´ıpticos.
Parabol´oide el´ıptico Outros parabol´oides Dados a, b, c ∈ R positivos, o parabol´oide S, na defini¸c˜ao ao lado, ´e o conjunto {(x, y, x a^22 + y b^22 )|x, z ∈ R}. Outros parabol´oides s˜ao os conjuntos: {( y b 22 + z c^22 , y, z)|y, z ∈ R} e {(x, x a^22 + z c^22 , z)|x, z ∈ R}.
Defini¸c˜ao 17. Sejam a e b n´umeros reais positivos. Denominamos parabol´oide el´ıptico `a superf´ıcie qu´adrica S formada pelos pontos P = (x, y, z) cujas coordenadas satisfazem uma equa¸c˜ao do tipo
S : z = x
2 a^2 +^
y^2 b^2 Para entender a forma de S, vamos analisar suas se¸c˜oes planas.
Figura 17.1: Elipse E, se¸c˜ao de S no plano z = k, k ≥ 0.
(i) Interse¸c˜ao de S com planos pa- ralelos ao plano XY
A interse¸c˜ao de S com um plano de equa¸c˜ao z = k, paralelo ao plano XY , consiste dos pon- tos cujas coordenadas satisfazem o sistema
z = x
2 a^2 +^
y^2 b^2 z = k.
Substituindo z = k na primeira equa¸c˜ao, obtemos x
2 a^2 +^
y^2 b^2 =^ k^.
Superf´ıcies qu´adricas - parabol´oides
Como o primeiro membro dessa equa¸c˜ao ´e n˜ao-negativo, ela tem solu¸c˜ao se, e somente se, k ≥ 0.
- Se k = 0, ent˜ao x = 0, y = 0, e a se¸c˜ao plana consiste apenas do ponto (0, 0 , 0) , denominado v´ertice do parabol´oide.
- Se k > 0, dividimos a equa¸c˜ao por k e vemos que a solu¸c˜ao do sistema ´e a elipse E : x
2 ka^2 +^
y^2 kb^2 = 1, contida no plano^ z^ =^ k^ e com centro (0,^0 , k). Se a > b, a elipse E tem por focos os pontos F 1 = (−
k(a^2 − b^2 ), 0 , k) e F 2 = (
k(a^2 − b^2 ), 0 , k), como mostramos na Figura 17.1; se b > a, os focos de E s˜ao F 1 = (0, −
k(b^2 − a^2 ), k) e F 2 = (0,
k(b^2 − a^2 ), k).
Lembre que... Para identificar a par´abola P, considere o plano munido de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas (y, z). A equa¸c˜ao z − z 0 = y b^22 ´e a equa¸c˜ao de uma par´abola. Fazendo a mudan¸ca de coordenadas z′^ = z − z 0 , y′^ = y, obtemos a equa¸c˜ao na forma canˆonica z′^ = (y b′ 2 ) 2. No entanto, a equa¸c˜ao z′^ = (y 4 ′p)^2 , p > 0 , ´e a equa¸c˜ao da par´abola de diretriz z′^ = −p; foco F = (0, p)Y ′Z′ e v´ertice V = (0, 0)Y ′Z′ (o termo diretriz refere-se `a diretriz de uma par´abola, como no M´odulo I). Comparando as duas equa¸c˜oes, obtemos 4p = b^2 , temos p = b 42. Logo, a par´abola z′^ = (y b′ 2 )^2 tem diretriz z′^ = − b 42 , foco F =^ “ 0 , b 42 ” Y ′Z′ e v´ertice V = (0, 0)Y ′ (^) Z′. Portanto, em coordenadas (y, z), tomando z 0 = k a^22 e considerando z′^ = z − z 0 , obtemos que z − k a^22 = y b 22 ´e a par´abola de diretriz z − k a^22 + b 42 = 0; foco F = (0, k a^22 + b 42 ) e v´ertice V = (0, k a^22 ).
(ii) Interse¸c˜ao de S com planos paralelos ao plano Y Z Essa interse¸c˜ao consiste dos pontos cujas coordenadas satisfazem o sis- tema (^)
z = x
2 a^2 +^
y^2 b^2 x = k ,
ou seja,
z − k
2 a^2 =^
y^2 b^2 x = k. Isto ´e, a se¸c˜ao ´e o conjunto de pontos P =
P = (k, y, z)
z − k
2 a^2 =^
y^2 b^2
Como k
2 a^2 ´e constante, a equa¸c˜ao acima representa uma par´abola contida no plano x = k. Veja, na nota ao lado, como fazer a identifica¸c˜ao da par´abola. Se vocˆe ainda n˜ao est´a convencido, mostremos ent˜ao que P ´e a par´abola no plano x = k, de foco F =
k, 0 , k
2 a^2 +^
b^2 4
, v´ertice V =
k, 0 , k
2 a^2
e
diretriz ` =
(k, y, z)
z − k
2 a^2 +^
b^2 4 = 0
, como mostramos na Figura 17.2.
Figura 17.2: Par´abola P, se¸c˜ao de S no plano x = k. Para isso, lembre que um ponto P = (k, y, z) ´e ponto da par´abola P se, e somente se, d(P, `) = d(P, F ). Confirmamos o desejado desenvolvendo essa identidade:
Superf´ıcies qu´adricas - parabol´oides
Figura 17.4: Parabol´oide S e seu eixo sendo o eixo OZ.
Como uma par´abola tem a concavidade voltada para seu foco, comparando as co- ordenadas do v´ertice com as coordenadas do foco em cada uma dessas situa¸c˜oes, con- clu´ımos que as par´abolas das se¸c˜oes obtidas tˆem concavidade voltada para o semi-eixo positivo OZ. O eixo OZ ´e denominado eixo do parabol´oide el´ıptico S.
- Como mencionamos anteriormente, h´a ou- tras equa¸c˜oes que representam parabol´oides el´ıpticos. Veja quais s˜ao os eixos e como est˜ao voltadas as concavidades em cada caso:
Figura 17.5: y = x a^22 + z b 22 , eixo OY e con- cavidade voltada para o semi-eixo OY po- sitivo.
Figura 17.6: x = y a^22 + y b 22 , eixo OX e concavidade voltada para o semi-eixo OX positivo. Nas seguintes figuras, observe com aten¸c˜ao a mudan¸ca de concavidade em virtude da mudan¸ca de sinal nas parcelas da equa¸c˜ao correspondente:
Figura 17.7: z = − x a^22 − y b^22 , eixo OZ e concavidade voltada para o semi-eixo OZ negativo.
Figura 17.8: y = − x a^22 − z b^22 , eixo OY e concavidade voltada para o semi-eixo OY negativo.
Superf´ıcies qu´adricas - parabol´oides (^) M ODULO 2´ - AULA 17
Figura 17.9: x = − (^) ay^22 − z b^22 eixo OX e concavidade voltada para o semi-eixo OX negativo.
Exemplo 17. Seja S o parabol´oide el´ıptico de equa¸c˜ao S : y = x
2 9 +^
z^2
- Determine, caso exista, a se¸c˜ao plana correspondente a cada um dos planos: XY , XZ , Y Z , x = 2 , y = − 1 , z = − 2.
Solu¸c˜ao:
a. Interse¸c˜ao de S com o plano XY
A se¸c˜ao S 1 obtida ´e dada pela equa¸c˜ao y = x
2 9 , com a condi¸c˜ao^ z^ = 0.
Conforme temos feito ao longo do estudo, consideramos a equa¸c˜ao y = x
2 9 num plano de coordenadas (x, y) e depois acrescentamos a coordenada z = 0.
Essa ´e a equa¸c˜ao de uma par´abola do tipo y = x
2 4 p.^ Logo,^ p^ =^
9
(^4 ; o foco ´e 0 , (^94)
; o v´ertice ´e (0, 0) e a diretriz ´e y = − 94.
Assim, a se¸c˜ao S 1 ´e a par´abola contida no plano z = 0, de foco (0, 94 , 0),
v´ertice (0, 0 , 0) e diretriz ` :
y = − (^94) z = 0.
b. Interse¸c˜ao de S com o plano XZ
A se¸c˜ao S 2 = S ∩ {plano XZ} ´e dada pela equa¸c˜ao x
2 9 +^
z^2 16 = 0, com a condi¸c˜ao y = 0.
Isto ´e, a se¸c˜ao S 2 consiste apenas do ponto (0, 0 , 0).
c. Interse¸c˜ao de S com o plano Y Z
A se¸c˜ao S 3 = S ∩ {plano Y Z} ´e dada pela equa¸c˜ao y = z
2 16 com a condi¸c˜ao x = 0.
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e. Interse¸c˜ao de S com o plano z = −2.
A se¸c˜ao S 6 obtida dessa interse¸c˜ao ´e dada pela equa¸c˜ao y = x
2 9 +^
z^2 16 com a condi¸c˜ao z = − 2.
Consideremos a equa¸c˜ao y − 14 = x
2 9 num plano de coordenadas (x, y). No- vamente, da Geometria Plana, vemos que essa equa¸c˜ao difere da equa¸c˜ao
y = x
2 9 por uma transla¸c˜ao, e que a mudan¸ca de coordenadas^ y
′ (^) = y − 1 4 , x′^ = x, transforma a equa¸c˜ao na forma canˆonica y′^ = (x
′) 2 9 ,^ que ´e do tipo y′^ = (x
′) 2 4 p , p >^ 0. Logo,^ p^ =^
9 4 e a equa¸c˜ao corresponde `a par´abola de diretriz y′^ = − (^94) , foco F =
X′Y ′^ e v´ertice^ V^ = (0,^ 0)X′Y^ ′^.
Em coordenadas (x, y), a diretriz ´e y − 14 = −4, ou seja, y = − 154 ; o foco ´e
F =
e o v´ertice ´e V =
Portanto, a se¸c˜ao S 6 ´e a par´abola contida no plano z = −2, de equa¸c˜ao y − 14 = x 92 com z = −2 ; foco no ponto F =
; seu v´ertice ´e
V =
e a diretriz ´e dada por ` :
y + 154 = 0 z = − 2.
Na Figura 17. Destacamos uma diretriz D e uma geratriz P do parabol´oide de revolu¸c˜ao S.
Figura 17.10: Parabol´oide de revolu¸c˜ao S.
Parabol´oides de revolu¸c˜ao
Os parabol´oides de revolu¸c˜ao s˜ao casos particulares de para- bol´oides el´ıpticos em que as vari´aveis de segundo grau, que figuram na equa¸c˜ao, tˆem coeficientes iguais. Portanto, as equa¸c˜oes desses pa- rabol´oides s˜ao do tipo
S : z = x
2 a^2 +^
y^2 a^2. As se¸c˜oes planas obtidas intersectando S com planos paralelos ao plano XY , isto ´e, planos de equa¸c˜ao z = k, somente ocorrem quando k ≥ 0.
- Se k = 0, a se¸c˜ao consiste apenas de um ponto, a origem.
- Se k > 0, a se¸c˜ao ´e o c´ırculo de raio a
k. A revolu¸c˜ao ´e em torno do
eixo OZ e uma geratriz ´e a par´abola y = z
2 a^2 contida no plano^ x^ = 0 , como mostramos na Figura 17.10.
Superf´ıcies qu´adricas - parabol´oides
Figura 17.11: Parabol´oide hi- perb´olico S.
Parabol´oide hiperb´olico Defini¸c˜ao 17. Sejam a e b n´umeros reais positivos. Deno- minamos parabol´oide hiperb´olico `a superf´ıcie qu´adrica S, formada pelos pontos P = (x, y, z) do espa¸co, cujas coordenadas satisfazem uma equa¸c˜ao do tipo (veja a Figura 17.11)
Na Figura 17.11, mostramos um parabol´oide hiperb´olico com suas se¸c˜oes planas paralelas aos planos coordenados. Note que em duas dire¸c˜oes paralelas aos planos coordenados, obtemos par´abolas e, na outra, hip´erboles. Essa superf´ıcie ´e chamada sela, devido a sua semelhan¸ca com a sela de montar. S : z = − x
2 a^2 +^
y^2 b^2
Vejamos as se¸c˜oes planas do parabol´oide hiperb´olico. (i) Interse¸c˜ao de S com planos paralelos ao plano XY A interse¸c˜ao de S com um plano de equa¸c˜ao z = k consiste dos pontos P = (x, y, z) cujas coordenadas satisfazem o sistema
z = − x
2 a^2 +^
y^2 b^2 z = k ,
ou seja,
−x
2 a^2 +^
y^2 b^2 =^ k z = k.
Figura 17.12: Se¸c˜ao z = 0 do pa- rabol´oide hiperb´olico S.
- Consideremos, primeiramente, k = 0.
A primeira equa¸c˜ao reduz-se a x^2 a^2 −^
y^2 b^2 = 0 , ou seja, (^) ( x a +^
y b
) (x a −^
y b
Portanto, as solu¸c˜oes s˜ao as retas
` 1 :
y = − b a x z = 0
e ` 2 :
y = (^) ab x z = 0. Essas retas passam pela origem, pois O = (0, 0 , 0) satisfaz os dois sis- temas (Figura 17.12).
- Consideremos o caso em que k 6 = 0. Se k > 0, dividimos a equa¸c˜ao por k e obtemos − x
2 ka^2 +^
y^2 kb^2 = 1. Multiplicando todos os termos por (−1), obtemos a equa¸c˜ao x^2 ka^2 −^
y^2 kb^2 =^ −1 ,^ no plano^ z^ =^ k. Portanto, a se¸c˜ao ´e a hip´erbole H+ k , contida no plano z = k, de focos F 1 = (0, −d, k) e F 2 = (0, d, k), com d > 0 , d^2 = ka^2 + kb^2 , e m´odulo da diferen¸ca dos raios focais igual a 2b
k.
Superf´ıcies qu´adricas - parabol´oides
Comparando as terceiras coordenadas do v´ertice e do foco, vemos que
−k
2 a^2 <^ −^
k^2 a^2 +^
b^2
- Logo, a par´abola est´a com a concavidade voltada para o sentido paralelo ao semi-eixo OZ positivo (Figura 17.15).
(iii) Interse¸c˜ao de S com planos paralelos ao plano XZ
Figura 17.16: Se¸c˜ao y = k do parabol´oide S.
Essa interse¸c˜ao consiste dos pontos cu- jas coordenadas s˜ao solu¸c˜oes do sistema
z = − x
2 a^2 +^
y^2 b^2 y = k ,
ou
z − k
2 b^2 =^ −^
x^2 a^2 y = k. A situa¸c˜ao ´e an´aloga ao estudo do caso (iii) do parabol´oide el´ıptico, com diferen¸ca no sinal do coeficiente da vari´avel x^2. Naquele caso, o coeficiente ´e +1, e agora, o coefici- ente ´e −1. Logo, a concavidade da par´abola ´e voltada para o semi-eixo OZ negativo.
Portanto, a se¸c˜ao P = S ∩ {plano y = k} ´e a par´abola contida no
plano y = k, de foco F =
0 , k, − a
2 4 +^
k^2 b^2
, v´ertice V =
0 , k, k
2 b^2
e
diretriz ` : z − k
2 b^2 −^
a^2 4 = 0^ ,^ com^ y^ =^ k^ (Figura 17.16).
Varia¸c˜oes de equa¸c˜oes dos parabol´oides hiperb´olicos
Ao inv´es de colocarmos aqui as poss´ıveis equa¸c˜oes de um parabol´oide hi- perb´olico, vejamos os crit´erios que devemos observar para identificar quando uma qu´adrica ´e um parabol´oide hiperb´olico.
Caracter´ısticas da equa¸c˜ao: uma equa¸c˜ao do segundo grau a trˆes vari´aveis que n˜ao possui termos em xy, xz ou yz ´e a equa¸c˜ao de um parabol´oide hi- perb´olico quando ela possui exatamente trˆes termos, uma das vari´aveis apa- rece apenas no primeiro grau e as outras duas no segundo grau nos outros dois termos (n˜ao havendo, portanto, termo independente); a equa¸c˜ao pode ser escrita de forma que, no primeiro membro, figure o termo de primeiro grau com coeficiente (+1) e, no segundo membro, apare¸cam os outros dois termos com coeficientes de sinais contr´arios.
Exemplo 17. Dado o parabol´oide hiperb´olico S : y = x
2 4 −^
z^2 8 , determine a se¸c˜ao plana obtida intersectando S com: a. o plano XY , b. o plano XZ , c. o plano Y Z , d. o plano x = 4 , e. o plano y = − 2. Solu¸c˜ao: As intersec¸c˜oes de S com os planos XY , XZ e Y Z s˜ao dadas,
Superf´ıcies qu´adricas - parabol´oides (^) M ODULO 2´ - AULA 17
respectivamente, pelas solu¸c˜oes dos sistemas
S ∩ ΠXY :
y = x
2 4 z = 0 ,
; S ∩ ΠXZ :
x^2 4 −^
z^2 8 = 0 y = 0 ,
e S ∩ ΠY Z :
y = − z
2 8 x = 0. a. O primeiro sistema representa uma par´abola (Figura 17.17) do tipo
y = x
2 4 p , contida no plano^ z^ = 0 , onde^ p^ = 1 , seu foco ´e o ponto^ F^ = (0,^
9 4 ,^ 0), seu v´ertice ´e a origem e a diretriz ´e a reta ` dada por y = − 1 , z = 0.
b. Se no segundo sistema reescrevemos a primeira equa¸c˜ao na forma (ver Figura 17.18)
Figura 17.17: Se¸ (c˜ ao S ∩ ΠXY. Figura 17.18: Se¸c˜ao^ S^ ∩^ ΠXZ. x 2 +^
z 2
√ 2
x 2 +^
z 2
√ 2
vemos que a se¸c˜ao ´e a uni˜ao de duas retas que se interceptam na origem:
` 1 :
z = −
2 x y = 0
e ` 2 :
z =
2 x y = 0.
c. O terceiro sistema representa uma par´abola P do tipo y = − z
2 4 p , contida no plano x = 0. Portanto, 4p = 8 , o que implica p = 2. O foco dessa par´abola ´e o ponto F = (0, 0 , −2), o v´ertice ´e (0, 0 , 0) e a diretriz ´e a reta ` dada pelas equa¸c˜oes y = 2 , z = 0 (veja a Figura 17.19).
d. A interse¸c˜ao de S com o plano x = 4 consiste dos pontos cujas coordenadas satisfazem o sistema
y = x
2 4 −^
z^2 8 x = 4 ,
ou seja,
y − 4 = − z
2 8 x = 4.
Esse sistema tem por solu¸c˜oes os pontos da par´abola P (Figura 17.20), contida no plano x = 4, tendo a sua equa¸c˜ao do tipo
y − y 0 = z
2 4 p ,^ com^ y^0 = 4^ e^ p^ = 2.
Superf´ıcies qu´adricas - parabol´oides (^) M ODULO 2´ - AULA 17
Parabol´oides hiperb´olicos vistos como superf´ıcies regradas
Na aula anterior, vimos que o hiperbol´oide de uma folha ´e uma su- perf´ıcie regrada. Na seguinte proposi¸c˜ao, mostramos que o parabol´oide hi- perb´olico ´e, tamb´em, uma superf´ıcie regrada (Figura 17.22).
Proposi¸c˜ao 17. O parabol´oide hiperb´olico S : z = x
2 a^2 −^
y^2 b^2 ´e uma superf´ıcie regrada.
Demonstra¸c˜ao: Devemos provar que por cada ponto P 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ S passa pelo menos uma reta LP 0 contida em S. Isto ´e, dado o ponto P 0 ∈ S, devemos determinar um vetor −→v = (λ 1 , λ 2 , λ 3 ) 6 = −→ 0 , tal que a reta LP 0 que passa por P 0 com dire¸c˜ao −→v , esteja contida em S. Essa reta ´e dada pelas equa¸c˜oes param´etricas:
LP 0 :
x = x 0 + λ 1 t y = y 0 + λ 2 t z = z 0 + λ 3 t ,
; t ∈ R.
Temos que P = (x, y, z) ∈ S ∩ LP 0 se, e somente se, as coordenadas de P s˜ao dadas pelas equa¸c˜oes param´etricas de LP 0 e satisfazem a equa¸c˜ao de S. Isto ´e, se, e somente se, P = (x 0 + λ 1 t, y 0 + λ 2 t, z 0 + λ 3 t) e
z 0 + λ 3 t = (x^0 +^ λ^1 t)
2 a^2 −^
(y 0 + λ 2 t)^2 b^2 = x
(^20) a^2 +^
2 x 0 λ 1 t a^2 +^
λ^21 t^2 a^2 −^
y 02 b^2 −^
2 y 0 λ 2 t b^2 −^
λ^22 t^2 b^2 = x
(^20) a^2 −^
y 02 b^2 +
2 x 0 λ 1 a^2 −^
2 y 0 λ 2 b^2
t +
λ^21 a^2 −^
λ^22 b^2
t^2.
Levando em conta que z 0 = x
(^20) a^2 −^
y^20 (^ b^2 , pois^ P^ ∈^ S, obtemos: 2 x 0 λ 1 a^2 −^
2 y 0 λ 2 b^2 −^ λ^3
t +
λ^21 a^2 −^
λ^22 b^2
t^2 = 0. Como todo ponto P de LP 0 deve pertencer a S, essa identidade deve ser v´alida qualquer que seja o parˆametro t (parˆametro do ponto P na reta LP 0 ). Portanto, devemos ter 2 x 0 λ 1 a^2 −^
2 y 0 λ 2 b^2 −^ λ^3 = 0^ e^
λ^21 a^2 −^
λ^22 b^2 = 0^. Da segunda equa¸c˜ao, obtemos λ 2 = b a λ 1 ou λ 2 = − b a λ 1.
Substituindo λ 2 = b a λ 1 na primeira equa¸c˜ao, temos
λ 3 = 2 x a^02 λ 1 − 2 y b^02 bλa 1 = 2 λ a^1
( (^) x 0 a −^
y 0 b
Superf´ıcies qu´adricas - parabol´oides
Fixando λ 1 = a, obtemos o vetor dire¸c˜ao −→v 1 de LP 0 :
−v→ 1 =^ ( a, b, 2 (x^0 a −^
y 0 b
Alternativamente, substituindo λ 2 = − (^) ab λ 1 na primeira equa¸c˜ao: λ 3 = 2 λ a^1
(x 0 a +^
y 0 b
Fixando, de novo, λ 1 = a, obtemos outro vetor dire¸c˜ao, para outra reta L′ P 0 contida em S e passando por P 0 : −v→ 2 =^ ( a, −b, 2 (x 0 a +^
y 0 b
Portanto, as retas
LP 0 :
x = x 0 + at y = y 0 + bt z = z 0 + 2t
(x 0 a −^
y 0 b
) e^ L
′ P 0 :
x = x 0 + at y = y 0 − bt z = z 0 + 2t
(x 0 a +^
y 0 b
passam pelo ponto P 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ S e est˜ao inteiramente contidas em S.
Vamos mostrar que todas as retas LP 0 , P 0 ∈ S, descritas anteriormente, intersectam a par´abola P obtida intersectando S pelo plano y = 0, isto ´e, a par´abola P dada por
P :
z = x
2 a^2 y = 0.
Seja P 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ S, isto ´e, z 0 = x
(^20) a^2 −^
y^20 b^2.^ Substituindo as coordenadas de um ponto de LP 0 na segunda das equa¸c˜oes de P, obtemos t = − y b^0 , e desenvolvendo o lado direito da primeira equa¸c˜ao, obtemos: x^2 a^2 =^
(x 0 + at)^2 a^2 =^
x^20 a^2 +^
2 x 0 at a^2 +^
a^2 t^2 a^2 =
[
x^20 a^2 −^
y 02 b^2
]
- 2 x a^0 t+ t^2 + y 02 b^2 = z 0 − 2 x a^0 y b^0 + 2 y
(^20) b^2 =^ z^0 + 2
−y b^0
) (x 0 a −^
y 0 b
= z 0 + 2t
(x 0 a −^
y 0 b
= z. Assim, se P 0 = (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ S, a reta LP 0 intersecta a par´abola P no ponto que corresponde ao valor do parˆametro t = − y b^0.
Portanto, o parabol´oide hiperb´olico S (Figura 17.22) ´e uma superf´ıcie regrada para a qual a par´abola P ´e uma diretriz e as retas LP 0 , P 0 ∈ S , s˜ao geratrizes.
Superf´ıcies qu´adricas - parabol´oides
Exemplo 17. Descrever o parabol´oide hiperb´olico S : y = x
2 4 −^
z^2 8 como superf´ıcie regrada. Solu¸c˜ao: As par´abolas de S contidas em planos coordenados s˜ao
P :
y = x
2 4 z = 0 ,
e P′^ :
y = − z
2 8 x = 0.
Seja P 0 = (x 0 , y 0 , 0) ∈ P , isto ´e, y 0 = x
(^20)
- Determinemos^
−→v = (λ 1 , λ 2 , λ 3 ),
tal que a reta
LP 0 :
x = x 0 + λ 1 t y = y 0 + λ 2 t z = λ 3 t
; t ∈ R ,
que passa por P 0 , com dire¸c˜ao −→v , esteja contida em S.
Temos que LP 0 ⊂ S ⇐⇒ y 0 + λ 2 t = (x^0 +^ λ^1 t)
2 4 −^
λ^23 t^2 8 ,^ para todo^ t^ ∈^ R^.
Isto ´e, y 0 = x
(^20) 4 +
2 x 0 λ 1 4 −^ λ^2
t +
λ^21 4 −^
λ^23 8
t^2 , para todo t ∈ R.
Como P 0 ∈ P, temos y 0 = x
(^20)
- Portanto, LP 0 ⊂ S ⇐⇒
x 0 λ 1 2 −^ λ^2
t +
λ^21 4 −^
λ^23 8
t^2 = 0 , para todo t ∈ R ,
ou seja, x^02 λ 1 − λ 2 = 0 e λ
(^21) 4 −^
λ^23 8 = 0^.^ Assim,^ λ^2 =^
x 0 λ 1 2 e,^ λ^3 =^ ±
2 λ 1.
O valor de λ 1 pode ser fixado de maneira arbitr´aria, desde que, diferente de zero. Tomando λ 1 = 2, obtemos duas solu¸c˜oes para −→v :
−v→ 1 = (2, x 0 , 2 √2) e −v→ 2 = (2, x 0 , − 2 √2).
Figura 17.25: S e a fam´ılia de retas LP , com P ∈ P.
Figura 17.26: S e a fam´ılia de retas L′ P , com P ∈ P.
Superf´ıcies qu´adricas - parabol´oides (^) M ODULO 2´ - AULA 17
Portanto, as retas
LP 0 :
x = x 0 + 2t y = y 0 + x 0 t z = 2
2 t
; t ∈ R, e L′ P 0 :
x = x 0 + 2t y = y 0 + x 0 t z = − 2
2 t
; t ∈ R
est˜ao contidas em S e passam por P 0 = (x 0 , y 0 , 0) ∈ P.
Consideremos agora P 0 = (0, y 0 , z 0 ) ∈ P′^ , com y 0 = − z 02
Determinemos as poss´ıveis dire¸c˜oes −w→ = (σ 1 , σ 2 , σ 3 ), tais que a reta
JP 0 :
x = σ 1 t y = y 0 + σ 2 t z = z 0 + σ 3 t
; t ∈ R ,
que passa por P 0 , com dire¸c˜ao −→w , esteja contida em S.
Usando a rela¸c˜ao y 0 = − z 02 8 , temos JP 0 ⊂ S ⇐⇒ y 0 + σ 2 t = σ 12 t^2 4 −^
(z 0 + σ 3 t)^2 8 ,^ para todo^ t^ ∈^ R ⇐⇒ y 0 = − z 02 8 −
( (^2) zσ 3 8 +^ σ^2
) t +
( (^) σ 2 1 4 −^
σ 32 8
) t^2 , para todo t ∈ R
⇐⇒ −
( (^2) z 0 σ 3 8 +^ σ^2
) t +
( (^) σ 2 1 4 −^
σ^23 8
) t^2 = 0 , para todo t ∈ R
⇐⇒ z^04 σ 3 + σ 2 = 0 e σ
(^21) 4 −^
σ^23 8 = 0 ⇐⇒ σ 2 = − z 40 σ 3 e σ 1 = ±
√ 2 2 σ^3. Tomando σ 3 = 4, obtemos as duas poss´ıveis dire¸c˜oes (Figura 17.28)
Figura 17.27: Fam´ılias de retas LP e L′ P , com P ∈ P.
Figura 17.28: Fam´ılias de retas LP e L′ P , com P ∈ P′. −w→ 1 = (√ 2 , −z 0 , 4) e −w→ 2 = (−√ 2 , −z 0 , 4).
Superf´ıcies qu´adricas - parabol´oides (^) M ODULO 2´ - AULA 17
- Determine as quatro possibilidades de descrever S : y = x
2 2 −^
z^2 18 como superf´ıcie regrada.
- Dˆe o valor de k e a equa¸c˜ao do parabol´oide hiperb´olico que cont´em as se¸c˜oes { x^2 − y^2 = 1 z = k
e
z = − 4 x^2 y = 0.
- Mostre que as retas
y = − b a x z = k
e
y = (^) ab x z = k com k 6 = 0, s˜ao ass´ıntotas das hip´erboles obtida da interse¸c˜ao do para- bol´oide hiperb´olico de equa¸c˜ao z = − x
2 a^2 +^
y^2 b^2 com o plano^ z^ =^ k.
Auto-avalia¸c˜ao
Se vocˆe resolveu os Exerc´ıcios de 1 a 6, vocˆe fixou os tipos de se¸c˜oes planas dos parabol´oides. Fazendo o Exerc´ıcio 7, vocˆe fixa o m´etodo de como obter as retas contidas num parabol´oide hiperb´olico. Se vocˆe fez o Exerc´ıcio 8, vocˆe sabe manipular os coeficientes da equa¸c˜ao de um parabol´oide hi- perb´olico.
