AULA 1 - GEOMETRIA ANALITA E ALGEBRA LINEAR, Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra Linear

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ALGEBRA

LINEAR

Prof. Dr. Patricio R. Impinnisi Aula 1: Escalares e vetores. Operações e combinações

Vetores e escalares

As grandezas físicas. O exemplo da temperatura (escalar) e da força (vetor) Vetores geométricos Os engenheiros e os físicos representam vetores em duas dimensões (no espaço bidimensional) ou em três dimensões (no espaço tridimensional) por flechas. A direção e o sentido da flecha especificam a direção e o sentido do vetor, e o comprimento da flecha descreve seu comprimento, ou magnitude. Os matemáticos dizem que esses vetores são geométricos. A cauda da flecha é o ponto inicial do vetor, e a ponta da flecha é seu ponto final

Adição de Vetores

Regras do paralelogramo e do triângulo para a adição vetorial Se v e w forem vetores no espaço bi ou tridimensional posicionados de tal modo que seus pontos iniciais coincidam, então os dois vetores formam lados adjacentes de um paralelogramo, e a soma v + w é o vetor representado pela flecha desde o ponto inicial comum de v e w até o vértice oposto do paralelogramo Se v e w forem vetores no espaço bi ou tridimensional posicionados de tal modo que o ponto inicial de w é o ponto terminal de v , então a soma v + w é o vetor representado pela flecha desde o ponto inicial de v até o ponto terminal de w

Subtração de Vetores

Subtração de vetores O negativo de um vetor v , denotado por - v , é o vetor que tem o mesmo comprimento e direção de v , mas tem sentido oposto, e o vetor diferença de v com w , denotado por w - v , é definido como sendo a soma w - v = w + (- v )

Propriedades

Lei da associatividade A adição vetorial satisfaz a lei da associatividade da adição vetorial, que significa que quando somamos três vetores, digamos, u , v e w , tanto faz quais dos dois somamos primeiro, ou seja, temos: u + ( v + w ) = ( u + v ) + w

Sistemas coordenados

Cálculos com vetores são efetuados muito mais simplesmente se tivermos um sistema de coordenadas à nossa disposição Se um vetor v qualquer do espaço bi ou tridimensional for posicionado com seu ponto inicial na origem de um sistema de coordenadas retangulares, então o vetor estará completamente determinado pelas coordenadas de seu ponto final Essas coordenadas são os componentes de v em relação ao sistema de coordenadas

Vetores em R

n

Nosso próximo objetivo é definir as operações de adição, subtração e multiplicação por escalar para vetores em R n , e principalmente como essas operações podem ser efetuadas usando as componentes dos vetores. Observando a figura é possível deduzir que se v =(v 1 , v 2 ) e w =(w 1 , w 2 ), então: v + w =(v 1

• w 1 , v 2
• w 2

k v =(kv 1 , kv 2

Em particular, segue que

• v =(-1) v =(-v 1 , - v 2

e, portanto, que: w - v = w +(- v ) =(w 1 - v 1 , w 2 - v 2 )

Rigorosamente falando, temos a definição a seguir:

Vetores em R

n

Combinação Linear - CL

Definição de CL

Notações