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Nesta aula, aprenda a classificar equações diferenciais ordinárias, especificamente as lineares de primeira ordem. Saiba como diferenciar entre equações ordinárias e parciais, e compreenda os conceitos básicos de ordem de uma equação diferencial e soluções de equações diferenciais lineares. Além disso, aprenderá a utilizar o método do fator integrante para resolver essas equações.
O que você vai aprender
Tipologia: Exercícios
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Não perca as partes importantes!
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Muitos problemas importantes da engenharia, da física, da biologia e das ciências sociais são formulados por equações que envolvem a derivada de uma função desconhecida.
Uma equação que envolve derivadas de uma função desconhecida é chamada equação diferencial.
Em termos gerais, na disciplina MA311 – Cálculo III estudamos as principais técnicas para resolver e avaliar muitas classes de equações diferenciais.
Vamos iniciar o curso estudando como classificar as equações diferenciais.
A Lei de Newton afirma que F “ ma. Se xptq representa a posição de uma partícula no instante t, então podemos escrever
m
d^2 x dt^2
t, x,
dx dt
em que a força resultante pode depender do tempo t, da posição x e da velocidade da partícula dxdt.
No Exemplo (2) temos uma equação que envolve a segunda derivada de uma função x em t. Dessa forma, ela é chamada equação diferencial ordinária de segunda ordem.
Se a função desconhecida depende de uma única variável independente, temos uma equação diferencial ordinária (EDO).
As equações dos exemplos anteriores são ambas ordinárias!
Se derivadas parciais de uma função de duas ou mais variáveis aparecem na equação, tem-se uma equação diferencial parcial (EDP).
A equação da difusão ou da condução de calor
α^2
B^2 upx, tq Bx^2
Bupx, tq Bt
é um exemplo de equação diferencial parcial.
Uma EDO é dita linear se a função F em (3) é linear com respeito as variáveis y, y^1 ,.. ., ypn´^1 q^ e ypnq.
Consequentemente, uma EDO pode ser escrita como:
a 0 ptqypnq^ a 1 ptqypn´^1 q^... ` anptqy “ gptq, (5)
em que a 0 , a 1 ,... , an e g são funções somente de t.
Uma EDO que não é linear é dita não-linear. Em outras palavras, uma EDO não-linear não pode ser escrita como (5).
A EDO (1) é linear.
A EDO de segunda ordem
t^2 y^2 ´ 3 ty^1 ` 4 y “ 0 ,
é linear ou não-linear?
A EDO de terceira ordem
y^3 2 et^ y^2 yy^1 “ 0 ,
é linear ou não-linear?
A EDO de terceira ordem
y^3 2 et^ y^2 yy^1 “ 0 ,
é linear ou não-linear?
Resposta: A equação não é linear porque envolve o produto de y por y^1.
Iniciaremos nossos estudos sobre a resolução de equações diferenciais considerando EDOs lineares de primeira ordem.
De um modo geral, vamos admitir que uma EDO linear de primeira ordem pode ser escrita como
y^1 ` pptqy “ qptq, (7)
em que p e q são funções conhecidas e contínuas para todo α ă t ă β.
Nosso objetivo é encontrar funções diferenciáveis que satisfazem (7) para todos os valores de t num certo intervalo.
Primeiramente, vamos resolver (7) quando ou pptq “ 0 ou qptq “ 0.
Se pptq “ 0, então temos
y^1 “ qptq.
Pelo teorema fundamental do cálculo (que estabelece a relação entre derivada e integral), concluímos que a solução da EDO é
yptq “
ż qptqdt ` c, (8)
em que c é a constante de integração.
Se qptq “ 0, então temos a EDO
y^1 ` pptqy “ 0.
Note que yptq “ 0 é uma solução. Vamos procurar uma solução yptq ‰ 0.
O método do fator integrante é usado para resolver (7) quando pptq ‰ 0 e qptq ‰ 0.
O conceito chave por trás da técnica do fator integrante é a regra do produto: dpfgq dt
“ f 1 g ` fg^1.
Com efeito, multiplicando ambos os lados de (7) por uma função μ, ainda indeterminada e chamada fator integrante , obtemos μptqy^1 ` μptqpptqy “ μptqqptq. (10)
Vamos agora escrever o termo do lado direito como sendo a derivada de um produto.
Considere f “ μ e g “ y. Pela regra do produto, temos
dpfgq dt
dpμyq dt
“ μ^1 y ` μy^1.
Identificando μ^1 y ` μy^1 com o termo do lado esquerdo de (10), obtemos
μ^1 ptqy μptqy^1 “ μptqy^1 μptqpptqy ðñ μ^1 ptq “ μptqpptq.
Admitindo que uptq é positiva para todo t, obtemos da da última equação
μ^1 ptq μptq
“ pptq ùñ lnpμptqq “
ż pptqdt ` k,
em que k é uma constante.
Sem perda de generalizada, consideraremos k “ 0.
É importante observar que toda solução de (7) satisfaz
y “
μptq
ˆż μptqqptqdt ` c
, com μptq “ exp
"ż pptqdt
Dizemos que a expressão em (12) é a solução geral da EDO.
Geometricamente, (12) define uma família de curvas, uma para cada valor da constante c.
Muitas vezes, escolhemos a curva que passa por um ponto pt 0 , y 0 q. Equivalentemente, escrevemos
ypt 0 q “ y 0 ,
que é chamada condição inicial.
Um problema de valor inicial (PVI) é uma EDO com uma condição inicial.
Determine a solução do problema de valor inicial
y^1 ´ 12 y “ e´t^ , yp 0 q “ ´ 1.
