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UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS . MESTRADO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS O PrincíPIO MULTIPLICATIVO COMO RECURSO DIDÁTICO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE CONTAGEM AUGUSTO CÉSAR BARBOSA DoRNELAS Dissertação de Mestrado Recife, 23 de agosto de 2094. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS MESTRADO EM ENSINO DAS CIÊNCIAS O PrincíPIO MULTIPLICATIVO COMO RECURSO DIDÁTICO PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE CONTAGEM AUGUSTO CÉSAR BARBOSA DORNELAS Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Ensino das Ciências - Nível de Mestrado da Universidade Federal Rural de Pernambuco, como parte dos requisitos para a obtenção do título de Mestre em Ensino das Ciências. ORIENTADORA Prof. Dr. Heloisa Flora Brasil Nóbrega Bastos Recife, 23 de agosto de 2004. O Princípio Multiplicativo como recurso didático para a resolução de problemas de contagem. Augusto César Barbosa Dornelas Recife, 23 de agosto de 2004. Dissertação defendida e aprovada pela banca examinadora Le. tm te lc a Prof. Dr. Heloisa Flora Brasil Nóbrega Bastos - Orientadora Universidade Federal Rural de Pernambuco Unca Melua Derott Prof. Dr. Cláudia Helena Dezotti 2 1º Examinadora Universidade Federal Rural de Pernambuco ( to LM, Wise Prof Dr. Josinalva Estácio Menezes — 2º Examinadora Universidade Feder: al de Pernambuco Pd . pd DAE, DIS Tof. Dr. Ernande Barbosa da Costa — 3º Examinador Universidade Federal Rural de Pernambuco AGRADECIMENTOS Muitos foram aqueles que me ajudaram nesta tarefa de estudar para ajudar outros a aprenderem; abaixo elenco uma pequena relação de colaboradores que, sem eles, este trabalho &= pesquisa não teria obtido os bons resultados (acredito) que foram alcançados: a minha orientadora, Prof. Dra. Heloisa Bastos; meus familiares, pais, esposa, filhos, irmãos e cônjuges e sogra; alunos dos Colégios Aplicação e Visão, que participaram da 1º. pesquisa de campo; alunos do Colégio Walt Disney que participaram ativamente da 2º pesquisa de campo; Elisângela, pela digitação do trabalho; o doutorando Roberto H. Seidel, pelo trabalho de revisão; professora Jaqueline pela ajuda no abstract; professores, alunos e funcionários do Mestrado em Ensino das Ciências da UERPE, incansáveis companheiros em prol de uma Educação mais promissora e inclusiva. & todos, obrigado! Princípio Multiplicativo: “Se uma decisão d; pode ser tomada de x maneiras e se, uma vez tomada a decisão di, a decisão d; puder ser tomada de y maneiras, então o número de maneiras de se tomar as decisões dy e d; é x.y.” (MORGADO etal., 2000, p. 18) Extensão do Princípio Multiplicativo: “Se um evento M; pode ocorrer de m; maneiras diferentes, para i =1,2,...,n, então esses n eventos podem ocorrer, em sucessão, de mm. ... . m, maneiras diferentes. Em linguagem de conjuntos, se um conjunto M; tem cardinalidade m;, parai=1, 2, ...,n, então o produto cartesiano Mi x Mp x... x M, = (my, Mp, ..., Mn) | me M; parai=1,2,..,nr tem cardinalidade mm... my”. (SANTOS, 1995, p. 29) RESUMO O ensino da Análise Combinatória quase sempre esteve voltado para uma utilização indiscriminada de fórmulas na resolução de problemas, levando, em muitas situações, a equívocos ou erros de interpretação e aplicação que por sua vez vêm a reforçar os obstáculos epistemológicos que o aprendiz traz em seu arcabouço cognitivo prévio. Foi centrado neste tipo de preocupação que nos dedicamos ao estudo e à pesquisa que envolve a resolução de problemas de contagem, com o objetivo de analisar os diferentes processos (conceitos, princípios e fórmulas) utilizados pelos alunos na resolução de problemas ligados à Análise Combinatória. Nossa pesquisa de campo se desenvolveu em duas etapas: numa primeira aplicamos dois questionários com perguntas e problemas a um total de 87 alunos do ensino médio de duas escolas, sendo uma pública e outra da rede particular de ensino; numa segunda, a partir dos resultados obtidos na primeira, selecionou-se um grupo de 12 alunos de outra escola da rede particular, com o qual procuramos desenvolver a apreensão, a habilidade e a aplicação do Princípio Multiplicativo como recurso didático na resolução de problemas e como gerador de vários outros conceitos que são abordados pela Análise Combinatória. Vimos, a partir da utilização do Princípio Multiplicativo como recurso didático na resolução de problemas de contagem, o desenvolvimento de competências e um ganho substancial nas habilidades cognitivas dos alunos, em cuja mensuração utilizamos nosso Índice Percentual de Produtividade por Categoria de Utilização (IPP) que deu ao Princípio Multiplicativo (41,85%) uma vantagem de produtividade de 6,29% sobre outros processos de resolução (35,56%); reforçando nossa sugestão como recurso didático para a resolução de problemas de contagem. SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 1.1 Objetivos 1.1.1 Objetivo Geral 1.1.2 Objetivos Específicos 1.2 Justificativa 2 CONTRIBUIÇÕES DE TEORIAS DE APRENDIZAGEM PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 2.1 Heurística 2.2 Resolução de problemas — George Polya 2.3 Aprendizagem significativa — A teoria de Ausubel 2.4 A lei das diretrizes e bases da educação e os parâmetros curriculares nacionais 2.5 As possibilidades de um ensino de análise combinatória sob uma abordagem alternativa (aspectos relevantes da dissertação de mestrado de Wilton Sturm . 3 08 PRINCÍPIOS ADITIVO E MULTIPLICATIVO 3.1 Os Princípios Aditivo e Multiplicativo 4 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 4.1 Aprendizagem e resolução de problemas 4.2 Problemas da Matemática 4.2.1 O que vem a ser um problema e outras considerações 4.2.2 Objetivos da resolução de problemas 4.3 Outras considerações acerca da resolução de problemas 4.3.1 Sobre a defesa da resolução de problemas como método de aprendizagem da matemática 4.3.2 Alguns métodos da aprendizagem baseada na resolução de problemas 4.3.3 A aprendizagem baseada na resolução de problemas segundo James Rhem 5 METODOLOGIA 5.1 Primeira fase da pesquisa de campo 5.2 Segunda fase da pesquisa de campo 6 ANÁLISE DOS RESULTADOS 6.1 Análise dos resultados da primeira fase da pesquisa de campo 6.2 Análise dos resultados da segunda fase da pesquisa de campo 7 CONCLUSÕES 8 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 9 ANEXOS DD ms 50 50 52 56 57 62 64 66 69 7 74 76 76 101 118 124 127 poa 1 INTRODUÇÃO asso livros didáticos como professores e alunos afirmam que Análise Combinatória é o estu- do das combinações, arranjos e permutações. Esses conteúdos, porém, fazem parte do estudo ses pertence ao campo da Análise Combinatória e são conceitos voltados para resolver certos =pos de problemas, como os de contagem do número de subconjuntos de um conjunto finito, mm haver a necessidade de descrevê-los um-a um. Juntamente com esses três conceitos acima mencionados, dispomos do Princípio Multiplicativo, do Princípio da Inclusão-Exclusão e do Princípio das Gavetas de Dirichlet, como métodos de contagem para resolver problemas em Análise Combinatória. radicionalmente, o ensino da Análise Combinatória esteve restrito à utilização de algumas nições e fórmulas que habituavam o aprendiz a um trabalho mecânico e repetitivo que mentas vezes o colocava de fora dos verdadeiros objetivos de compreensão, reflexão, análise e. &=senvolvimento de estratégias para a resolução de problemas, além de afastá-lo da tarefa de pensar produtivamente (BACHX, POPPE e TAVARES, 1975). Foie. contando com o esforço de muitos educadores, conceitua-se à Análise Combinatória =emo q ramo da Matemática que se preocupa em analisar estruturas e relações discretas, que. F=quentemente abordam dois tipos de problemas (MORGADO, et al, 2000, p.2): “=) demonstrar a existência de subconjuntos de elementos de um conjunto finito dado e que =eisfazem certas condições; 5) contar ou classificar os subconjuntos de um conjunto finito e que satisfazem certas condi- gões dadas.” 11 OBJETIVOS * resolução de problemas é um dos temas mais estudados e debatidos por educadores em todo =undo, dada a sua importância no ensino da Matemática (POLYA, 1995). A aprendizagem de ceitos, a interpretação e o tratamento de informações, a capacidade de raciocínio, os pro- ntos metodológicos, o estabelecimento de conexões são competências necessárias para 2 desenvolvimento de habilidades que-propiciem ao aluno e a quem estuda expressar-se criti- rente sobre problemas de Matemática (BRASIL, 1999). 1.2 JUSTIFICATIVA POR QUE ESTUDAR ANÁLISE COMBINATÓRIA? Dentre tantos outros conteúdos matemáticos, o estudo de Análise Combinatória provoca em quem o estuda e ensina um sem-número de situações-problema que instigam o sentimento investigativo na resolução de problemas, devendo-se evitar a aplicação mecânica de conceitos e fórmulas a situações padronizadas, bem como-se dar destaque a certos aspectos necessários ao desenvolvimento de aprendizagens significativas em Matemática, tais como (MORGADO et al, 2000): a) aprimoramento do raciocínio lógico-dedutivo; b) desenvolvimento da criatividade na construção de estratégias para a resolução de proble- mas; c) aplicabilidade a problemas de probabilidades finitas; d) propiciar o desenvolvimento cognitivo de quem a estuda, aumentando competências e habi- lidades em situações-problema diversas; e) contribuir de maneira didática e metodológica para o ensino de matemática de uma maneira geral Embora esta investigação tenha como público alvo alunos do ensino médio, acreditamos que servirá de embasamento didático-pedagógico para professores e alunos das séries iniciais € do ensino fundamental que, principalmente a partir da Lei de Diretrizes e Bases da Educação (nº 9394/96) e da elaboração e edição dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN$), tiveram a inclusão em seus currículos dos conteúdos de Análise Combinatória e Probabilidades (respei- tando-se as capacidades cognitivas dos alunos de cada nível e série). A apreensão de conhe- cimento via adoção de currículos-em espiral certamente virá a contribuir no desenvolvimento de uma formação cognitiva continuada, gerando não só habilidades e competências na resolu- ção de problemas, como também na construção de conhecimentos prévios ao longo das dife- rentes etapas de escolaridade, contribuindo as: 2 para + segundo David Ausubel (MOREIRA e MASINI, 1982, p. 7) zagem significativa, que [...] é um processo pelo qual uma nova informação se relaciona com um as- pecto relevante da estrutura de conhecimento do indivíduo, [...], onde a nova informação interage com uma estrutura de conhecimento específica, a qual define como conceitos subsunçores (subsumers), existentes na estrutura cog- nitiva do indivíduo. A aprendizagem significativa ocorre quando a nova in- formação ancora-se em conceitos relevantes preexistentes na estrutura cogni- tiva de quem aprende. Ausubel vê o armazenamento de informações no cérebro humano como sendo altamente organizado. formando uma hierar- quia conceitual na qual elementos mais específicos de conhecimento são li- gados (e assimilados) a conceitos mais gerais, mais inelusivos. Em Matemática, se o aluno já tiver noção do que vem a ser uma sentença matemática, isso auxiliará a compreensão dos conceitos de equações, inequações e funções; no mesmo sentido, se traz intuitivamente consigo as bases do Princípio Multiplicativo, estará melhor capacitado a compreender sua definição científica e suas derivações particulares na obtenção dos conceitos de Arranjos, Permutações e Combinações. Até a edição dos PCNs, os referidos conteúdos tinham abordagem restrita ao ensino médio, oque muitas vezes “servia de obstáculo à perfeita compreensão das diferentes metodologias na resolução de problemas, além de não configurar uma aprendizagem significativa e continuada ao longo das séries escolares” (MOREIRA e MASINI, p.8) Somado a tudo isso, “não há uma orientação não-mecânica na resolução de problemas por parte dos livros didáticos, uma vez que não primam por formar no aluno à capacidade de re- solvê-los, gerando hábitos de investigação, proporcionando confiança para analisar e enfrentar situações novas , enfocando a utilização mecânica de fórmulas em problemas previamente adequados às permutações, aos-arranjos e às combinações,” como sugerem Santos, Mello e Murari (1995, Prefácio). Ressaltamos, ainda, que com a Matemática e a Análise Combinatória, mais especificamente, é importante “...o relato de aspectos históricos que venham a contribuir para uma aprendizagem significativa, uma vez que revela ao aluno o desenvolvimento histórico do conhecimento so- bre o tema.” (MORGADO et al, 2000, p.2) À história da Matemática é rica em fatos e fenômenos espaço-temporais que certamente for- necem subsídios “que possibilitem ampliar o estudo sobre problemáticas contemporâneas, pio Multiplicativo e sua correlação com outros conceitos-tema inseridos nc âmbito da Análise Combinatória. Nossa pesquisa visa estabelecer uma categorização dos principais tipos de erros cometidos por alunos quando se deparam com problemas de contagem e sugerir uma metodologia ade- quada em termos didáticos e pedagógicos, como a utilização do Princípio Multiplicativo, ca- pacitando nossos alunos a desenvolverem habilidades e competências necessárias no trato de resolução de problemas envolvendo Contagem, no âmbito da Análise Combinatória No capítulo 1 de nossa dissertação, relacionamos objetivos e justificativas que nos levaram a socolher o tema Princípio Multiplicativo como recurso didático na resolução de problemas de contagem, abordado pela Análise Combinatória. Nos capítulos 2 e 4 procuramos relatar e analisar as principais teorias que embasaram nossa fundamentação, tais como: a de George Polya (Resolução de Problemas), David Ausubel (A- prendizagem Significativa), Os Parâmetros curriculares, V. N. Puchkin (Heurística); além de considerações, objetivos, métodos e aprendizagem baseada na resolução de problemas. No capítulo 3 tratamos especificamente dos Princípios Aditivo é Muttiplicativo como recursos didáticos para a resolução de problemas de contagem, sendo complementado por uma série de situações-problemas onde podem ser aplicáveis. Nos capítulos 5 e 6 descrevemos a metodologia utilizada nas duas fases de pesquisa de campo e, posteriormente, a análise dos resultados obtidos nas mesmas. O capítulo 7 foi reservado para as conclusões extraídas das análises desenvolvidas no capítulo 6, onde sugerimos de maneira enfática a adoção do Princípio Multiplicativo como abordagem alternativa eficiente na resolução de problemas de contagem. No capítulo 8 constam as referências bibliográficas, contando com obras que certamente po- derão auxiliar o leitor na busca de conhecimentos e informações importantes sobre a Análise Combinatória. Finalmente, no capítulo 9, dispomos dos anexos com algumas aulas do TELECURSO 2000 que utilizamos em nossas intervenções pedagógicas na segunda fase da pesquisa de campo. — 2 CONTRIBUIÇÕES DE TEORIAS DE APRENDIZAGEM PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Muitos foram os que já estudaram resolução de problemas em diferentes partes do mundo. Pappus, Descartes, Leibnitz, Bozano foram os mais antigos a se preocuparem com o tema da arte de resolver problemas (Heurística ou “ars inveniend?”), passando por tantos outros que no século passado se empenharam nesta admirável tarefa, tais como Dewey, Ausubel e Bruner. Esses autores deram impulsos consideráveis no sentido de buscar o desenvolvimento de po- tencialidades na aprendizagem de Matemática via solução de problemas. Pela coerência metodológica e pela responsabilidade no trato de abordagens na resolução de problemas como o principal objetivo de se estudar e ensinar Matemática, adotamos Polya como teórico por excelência na condução e fundamentação teórica deste projeto (sem descar- tar a contribuição de outros autores citados); pois sua didática em estabelecer definições, eta- pas, métodos e teorias, objetivos, tipos, sugestões e comentários acerca da resolução de pro- blemas são argumentos importantes no desenvolvimento de habilidades e competências para a obtenção de resultados promissores e na construção de diferentes estratégias utilizadas nesta interessante e desafiadora atividade. 2.1 HEURÍSTICA Segundo Puchkin (1976), em seu livro Heurística, quando buscamos construir uma maneira de resolver determinada situação problemática, vemo-nos impulgidos a criar estratégias de ação através de processos psíquicos que denomina de pensamento criador ow arividade fieu- rística, À este tipo de atividade são credenciados bons resultados, como por exemplo, em descobertas científicas, planos de batalha, investigações criminais, além da própria resolução de proble- mas nas mais variadas áreas do conhecimento humano. que, através da capacidade de articular uma verdadeira atividade criadora concentrada pode-se construir estratégias que objetivam a solução de uma situação problemática Heurística é definida como: caracteriza-se o raciocínio analítico pelo fato de serem suas etapas isoladas nitidamente concebidas e objetivadas pelo homem. podendo ser expressas por meio de palavras. Em geral, o homem tem plena consciência não só do conteúdo, mas também. do desenrolar do pensamento. Neste caso, O racioci- nio pode resumir a forma de reflexões harmônicas, a partir do geral para o particular, ou então a forma de análises sucessivas, vindo do particular para o geral. Já no raciocínio intuitivo, inexistem etapas nitidamente determinadas. A principal tendência do raciocínio intuitivo é a concisa percepção do pro- blema global. O homem chega à resposta que procura sem ter consciência do processo pelo qual ela foi atingida. Além disso, nesse caso, à própria matéria do problema vai sendo refletida inconscientemente. O raciocínio é feito atra- vés de saltos, rápidas mutações, omitindo-se os elos isolados. Bruner (PUCHKIN, 1976, p.13), destaca ainda que os processos heurísticos como: meios pouco exatos de solução de problemas, com cujo auxílio poder-se-á ou não lograr o resultado almejado. Trata-se do emprego da analogia, do exame de um limitado circulo de condições, da expressão demonstrativa, etc. Aos processos heurísticos de solução de problemas, contrapõe Bruner os algorit- mos, pois estes asseguram a resolução, desde que obedecidas todas as suas regras e etapas. Quando o algoritmo é desconhecido, são usados fregiiente- mente os processos héurísticos, o que constitui uma de suas vantagens. Além disso, salienta Bruner que, mesmo no caso em que o algoritmo é conhecido, o emprego dos processos heurísticos pode levar a uma solução mais rápida do problema. (PUCHKIN, 1976) A Heurística objetiva pesquisar as regras e métodos que levam às descobertas € invenções. Pappus, matemático grego, em seu livro O Tesouro da Análise já caracterizava em termos gerais este tipo de compreensão três séculos antes de Cristo. Embora o núcleo heurístico tenha base psicológica no raciocínio criador, hoje pesquisadores não-psicólogos, como especialistas em cibernética, já desenvolvem importantes estudos no terreno heurístico, pressupondo a formulação e a estruturação de um novo sistema de ação € não simplesmente a seleção de esquemas previamente preparados. Na livro Plemos e Estruturas do Comportamento de John Muller, Y. Galanter e C. Pribran, se analisa a heurística na solução de problemas em duas vertentes: a sistemática e a heurística, discorrendo que: os planos sistemáticos são identificados pelos algoritmos. À resolução do seguinte problema pode servir como cxcmplo de um desses planos: encon- trar uma bola perdida num recanto qualquer de uma clareira. O mais seguro mcio de solução desse problema seria uma operação de sistemático vascu- lhamento da clareira, canto por canto. Mas, como acertadamente demons- tram os autores, nem sempre é possível usar planos sistemáticos de busca. mesmo que se trate de planos bem concebidos. pois são enfadonhos e pouco positivos. (PUCHKIN, 1976, p.17) Como alternativa a esse modo de resolver o problema, aparece o das buscas assistemáticas, mais efetivas, Classificam os autores esse plano de solução do problema como heurístico, desde que o plano sistemático se reduza a uma adivinhação, uma tentativa de recordar em que lugar, pela primeira vez, fora encontrado o objeto procura- do, etc. Qual é a diferença entre os planos sistemáticos e os heurísticos? Se for viável, de modo geral, em qualquer caso, o primeiro é seguro, podendo, contudo, exigir muito tempo e ser muito dispendioso, ao passo que o scgun- do, pode ser barato e requerer pouco tempo, sem, no entanto, garantir que os resultados em mira sejam alcançados. (PUCHKIN, 1976, p. 18) Valem, como testemunho da positiva deficiência dos atuais métodos matemáticos para a des- crição da atividade mental, as palavras do acadêmico A. N. Kolmogorov: Ainda hoje, muito longe estamos da efetiva análise e descrição das elevadas formas da atividade humana, pois nem sequer aprendemos a dar, em termos objetivos, a definição de várias categorias e noções! 2.2 RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS — GEORGE POLYA George Polya (1995), matemático húngaro-americano, em seu livro 4 Arte de Resolver Pro- blemas diz que: uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pi- tada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades in- ventivas, quem o resolver por seus próprios meios, experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. Experiências tais, numa idade susceptível, poderão gerar o gosto pelo trabalho mental e deixar, por toda a vida, a sua marca na mente e no caráter. (POLYA, 1995, prefácio) Hoje, certamente as idéias de Polya são citadas em diversos estudos que tratam de heurística e recolução de problemas, como Puchkin (1976), Dante (1986), Krulik (1996) (citados nas refe- rências bibliográficas), devido a sua importante contribuição no sentido de procurar desvendar os complexos métodos e ações utilizados pelos indivíduos que se prestam a resolver proble- mas; sugerindo que: KOLMOGOROV, À. N. O Possível e o Impossível na Cibesmética (ia, PUCHKIN, 1976, p. é 
