atividades algébricas no 6 ano do ensino fundamental ..., Exercícios de Álgebra

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LUCIANA PINTO FREITAS

ATIVIDADES ALGÉBRICAS NO 6𝑜^ ANO

DO ENSINO FUNDAMENTAL COM

MATERIAIS MANIPULÁVEIS

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE

DARCY RIBEIRO - UENF

CAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ

JULHO DE 2014

LUCIANA PINTO FREITAS

ATIVIDADES ALGÉBRICAS NO 6𝑜^ ANO DO

ENSINO FUNDAMENTAL COM MATERIAIS

MANIPULÁVEIS

“Dissertação apresentada ao Centro de Ciên- cias e Tecnologia da Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro, como parte das exigências para obtenção do título de Mestre em Matemática.”

Orientador: Prof𝑎. Liliana Angelina León Mescua

UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE

DARCY RIBEIRO - UENF

CAMPOS DOS GOYTACAZES - RJ

JULHO DE 2014

Agradecimentos

Agradeço a Deus, pela grandiosa força concedida, me permitindo concluir este curso. À minha orientadora, por ter me conduzido a importantes reflexões e pela dedicação prestada em todas as etapas do trabalho. A toda equipe de professores do PROFMAT-UENF, pela excelência na qua- lidade das aulas, pelo cuidado, incentivos e amizade que sempre tiveram com os alunos. A todos os companheiros de turma, pela solidariedade nos momentos de estudo. Aos Professores doutores membros dessa banca, pela disponibilidade e pe- las ponderações e críticas que certamente contribuíram para o enriquecimento deste trabalho. À CAPES, pelo suporte financeiro que recebi ao longo de todo o curso de mestrado.

A álgebra é generosa; frequentemente ela dá mais do que se lhe pediu. Jean Le Rond d’Alembert

Abstract

This study seeks to contribute to the inclusion of practices that encourage algebraic thinking from the early years of schooling and serve as a basis for the introduction of algebraic lan- guage in the final years of primary school. Activities are proposed with the goal to develop skills such as perceive regularities, making generalize, establish relations of equality and interpret problem situations. For teachers who are interested in adopting such practices are presented as suggestions, issues that require the skills mentioned above and whose resolu- tions are supported in the use of manipulative materials. To test the feasibility of inclusion of this theme in daily life classroom, a teaching sequence was created and implemented in the period from April to May of 2014, in a class of 6th grade of elementary school. The results, analyzed from a mixed research (quantitative and quantitative), showed that work with ac- tivities that encourage algebraic thinking was positive for the class in which the experiment was performed.

Key-words: algebraic thinking, manipulatives materials, teaching sequence.

Lista de ilustrações

Lista de tabelas

Tabela 1 – Cronograma das atividades........................ 47 Tabela 2 – Resultados da atividade final........................ 60

Lista de abreviaturas e siglas

PCNs Parâmetros Curriculares Nacionais

EVA Espuma vinílica acetinada

EF Ensino Fundamental km Quilômetros

WI-FI Wireless Fidelity

• Figura 1 – Solução do problema da partilha
• Figura 2 – Resoluções da situação-problema
• Figura 3 – Vertentes fundamentais do pensamento algébrico
• Figura 4 – Material dourado
• Figura 5 – blocos lógicos
• Figura 6 – Escala de Cuisenaire
• Figura 7 – Sequência crescente - material dourado
• Figura 8 – Sequência repetitiva - blocos lógicos
• Figura 9 – Sequência mista - material dourado e blocos lógicos
• Figura 10 – Relação de igualdade (a) - barras de Cuisenaire
• Figura 11 – Relação de igualdade (b) - barras de Cuisenaire
• Figura 12 – Relação de igualdade (c) - barras de Cuisenaire
• Figura 13 – Resolução da atividade proposta 5(a) - material dourado
• Figura 14 – Resolução da atividade proposta 5(b) - material dourado
• Figura 15 – Resolução da atividade proposta 6(a) - barras de Cuisenaire
• Figura 16 – Resolução da atividade proposta 6(b) - barras de Cuisenaire
• Figura 17 – Resolução da at. proposta 7(a) - barras de Cuisenaire e blocos lógicos
• Figura 18 – Resolução da at. proposta 7(b) - barras de Cuisenaire e blocos lógicos
• Figura 19 – Resolução da at. proposta 7(c) - barras de Cuisenaire e blocos lógicos
• Figura 20 – Material concreto - palitos
• Figura 21 – Material concreto - formas geométricas em EVA
• Figura 22 – Tapete da igualdade
• Figura 23 – Material concreto - unidade, dezena e incógnita
• Figura 24 – Quadrado - Tópico (1a) da atividade I
• Figura 25 – Sequência de quadrados - Tópico (1b) da atividade I
• Figura 26 – Tabela Grupo C - Tópico (1b) da atividade I
• Figura 27 – Solução Grupo A - Tópico (1d) da atividade I
• Figura 28 – Tabela Grupo A - Tópico (1f) da atividade I
• Figura 29 – Tópico (2a) da atividade I
• Figura 30 – Tópico (2b) da atividade I
• Figura 31 – Tópico (2c) da atividade I
• Figura 32 – Tabela Grupo A - Tópico (2c) da atividade I
• Figura 33 – Solução Grupo C - Tópico (2f) da atividade I
• Figura 34 – Sequência repetitiva - Atividade II
• Figura 35 – Sequência mista - Atividade II
• Figura 36 – Solução grupo B - Tópico (1b) da atividade II
• Figura 37 – Solução grupo B - Tópico (1c) da atividade II
• Figura 38 – Solução grupo C - Tópico (2c) da atividade II
• Figura 39 – Sequência repetitiva Grupo C - Atividade II
• Figura 40 – Sequência mista Grupo C - Atividade II
• Figura 41 – Solução da questão 1 - Grupo C - Atividade III
• Figura 42 – Modelagem da questão 2 - Atividade III
• Figura 43 – Modelagem da questão 3 - Atividade III
• Figura 44 – Solução da questão 4 - Grupo C - Atividade III
• Figura 45 – Questão 1 - Atividade IV
• Figura 46 – Solução da questão 1 - Grupo E - Atividade IV
• Figura 47 – Questão 2 - Atividade IV
• Figura 48 – Modelagem da questão 2e - Atividade IV
• Figura 49 – Solução da questão 2 - Grupo E - Atividade IV
• Figura 50 – Solução da questão 1 - Aluno A - Atividade Final
• Figura 51 – Solução da questão 1 - Aluno B - Atividade Final
• Figura 52 – Solução da questão 2 - Aluno B - Atividade Final
• Figura 53 – Solução da questão 2 - Aluno C - Atividade Final
• Figura 54 – Solução da questão 3 - Aluno D - Atividade Final
• Figura 55 – Solução da questão 3 - Aluno A - Atividade Final
• Figura 56 – Solução da questão 4 - Alunos D e E - Atividade Final
• Introdução
• 1 Álgebra e Pensamento Algébrico
• 1.1 As Concepções de Álgebra
• 1.1.1 Álgebra como Aritmética Generalizada
• 1.1.2 Álgebra como Estudo de Meios Para Resolver Problemas
• 1.1.3 Álgebra como Estudo das Relações entre Grandezas
• 1.1.4 Álgebra como Estudo das Estruturas
• 1.2 Demonstrações do Pensamento Algébrico
• 1.3 Dificuldades na Iniciação à Álgebra
• 1.3.1 Interpretação dos Símbolos da Soma e Multiplicação
• 1.3.2 A Relação de Igualdade e o Símbolo “=”
• 1.3.3 A Interpretação das Letras
• 1.3.4 Interação entre Linguagem e Interpretação
• 2 Atividades Propostas
• 2.1 Materiais Manipuláveis nas Atividades Matemáticas
• 2.2 Materiais de Apoio na Composição das Atividades
• 2.3 Atividades
• 2.3.1 Atividade 1 - Sequência Crescente com Material Dourado
• 2.3.2 Atividade 2 - Sequência Repetitiva com Blocos Lógicos
• 2.3.3 Atividade 3 - Sequência Mista
• 2.3.4 Atividade 4 - Relações de Igualdade usando Barras de Cuisenaire
• 2.3.5 Atividade 5 - O Problema da Partilha de Figurinhas
• 2.3.6 Atividade 6 - Problema de Comparação Aditiva
• 2.3.7 Atividade 7 - O Problema do Total de Alunos
• 3 Sequência Didática Aplicada em Sala de Aula
• 3.1 Proposta da Sequência Didática
• 3.1.1 Justificativa e Objetivos
• 3.1.2 Materiais e Tecnologias
• 3.1.3 Recomendações Metodológicas
• 3.1.4 Dificuldades Previstas
• 3.1.5 Metodologia da Aplicação
• 3.1.6 Análise dos Resultados
• 3.1.7 Avaliação Geral e Conclusões
• 4 Considerações Finais
• Referências
• APÊNDICE A Sequência Didática

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Introdução

O trabalho com a álgebra se estabelece a partir do sétimo ano do ensino funda- mental (EF). De acordo com os PCNs, “embora nas séries iniciais já se possa desenvolver alguns aspectos da álgebra, é especialmente nas séries finais do ensino fundamental que as atividades algébricas serão ampliadas”. (BRASIL, 1998, p. 50)

A iniciação dos alunos na álgebra é marcada pela introdução de conceitos como variável, incógnita, expressão algébrica e equação. São mudanças consideráveis com re- lação aos anos anteriores e costuma ser traumático quando o aluno não possui nenhuma experiência com atividades de natureza algébrica. Conforme cita Sessa,

Para os professores, de um lado, a álgebra representa a ferramenta mate- mática por excelência; poder-se-ia dizer que eles se formam numa ma- temática algebrizada. Os alunos, de outro lado, veem a álgebra como fonte infinita de incompreensão e de dificuldades operacionais insuperá- veis.(SESSA, 2009, p. 6)

Trabalhar aspectos da álgebra desde os primeiros anos de escolaridade integrada à aritmética cria uma base para a compreensão dos conceitos que serão introduzidos nos anos finais do EF e estimula o desenvolvimento do pensamento algébrico, sobre o qual Van de Walle faz as seguintes considerações:

O pensamento algébrico ou raciocínio algébrico envolve formar generaliza- ções a partir de experiências com números e operações, formalizar essas ideias com o uso de um sistema de símbolos significativos e explorar os conceitos de padrão e de função. Longe de ser um tópico de pouco uso no mundo real, o pensamento algébrico penetra toda matemática e é essen- cial para torná-la útil na a vida cotidiana. (VAN DE WALLE, 2009, p. 287)

Os PCNs BRASIL (1998, p. 84) orientam que seja realizada desde os primeiros anos de escolaridade a “pré-álgebra”, por meio da qual “as noções algébricas são explo- radas por meio de jogos, generalizações e representações matemáticas (como gráficos, modelos), e não por procedimentos puramente mecânicos, para lidar com as expressões e equações.” Como incentivador desta abordagem educacional, destaca-se um projeto ame- ricano denominado “early algebra” 1 , que defende a interligação entre álgebra e aritmética e realiza pesquisas neste sentido. Conforme explica Neagoy, (^1) http://ase.tufts.edu/education/earlyalgebra/default.asp

Introdução 15

O capítulo 3 descreve a implementação da proposta didática, realizada com alunos de sexto ano do EF da Escola Municipal Maria Antônia Pessanha Trindade, que investigou as características do pensamento algébrico utilizadas e desenvolvidas pelos alunos

O capitulo 4 apresenta as considerações finais acerca do trabalho e avalia a viabi- lidade da proposta.

Finalmente, é apresentada a lista de referências bibliográficas e o apêndice.

16

Capítulo 1

Álgebra e Pensamento Algébrico

Quando se fala em educação algébrica na atualidade não é pertinente pensarmos em regras mecanicistas e sem objetivos, a álgebra é vista como uma ferramenta que abre horizontes aos alunos para todas as áreas do conhecimento.

Neste capítulo são enumeradas algumas concepções de álgebra baseadas na com- preensão de USISKIN (1995) e dos PCNs BRASIL (1998), com destaque especial para a caracterização do pensamento algébrico.

Ao final, são apresentadas algumas dificuldades que os alunos enfrentam quando se iniciam na aprendizagem de álgebra. Conhecer tais dificuldades previamente permite ao professor fazer um planejamento para enfrentá-las e saná-las da melhor forma possível.

1.1 As Concepções de Álgebra

USISKIN (1995) defende quatro concepções de álgebra, que determinam as finali- dades da mesma. Estas concepções são mais direcionadas para o EF e se baseiam nos diferentes empregos das variáveis. São elas:

1.1.1 Álgebra como Aritmética Generalizada

Nesta visão, é comum usar variáveis como generalizadoras de modelos:

3 + 5.7 = 5.7 + 3, como, 𝑎 + 𝑏𝑐 = 𝑏𝑐 + 𝑎 (1.1)

Traduzir e generalizar são as instruções chaves desta concepção. (USISKIN, 1995, p. 13)

1.1.2 Álgebra como Estudo de Meios Para Resolver Problemas

Dentro desta concepção a álgebra nos serve na resolução de problemas, tais como:

Capítulo 1. Álgebra e Pensamento Algébrico 18

Os PCNs orientam que o privilégio atribuído pelos professores ao estudo do cálculo algébrico e das equações não é suficiente para a aprendizagem dos conteúdos algébricos. É preciso percorrer todas as concepções de álgebra, de forma articulada.

Existe um razoável consenso de que para garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico o aluno deve estar necessariamente engajado em atividades que inter-relacionem as diferentes concepções da Álgebra, PCNs (BRASIL, 1998, p. 116)

1.2 Demonstrações do Pensamento Algébrico

Muito tem se falado sobre desenvolver o pensamento algébrico, mas o que de- monstra este pensamento?

PONTE, BRANCO e MATOS (2009) defendem que o grande objetivo do estudo da álgebra no EF é o desenvolvimento do pensamento algébrico dos alunos, que vai muito além de manipular símbolos. Para os autores,

O pensamento algébrico inclui a capacidade de lidar com expressões al- gébricas, equações, inequações, sistemas de equações e de inequações e funções. Inclui, igualmente, a capacidade de lidar com outras relações e estruturas matemáticas e usá-las na interpretação e resolução de pro- blemas matemáticos ou de outros domínios. (PONTE; BRANCO; MATOS, 2009, p. 10)

Pensar algebricamente é independente de usar o simbolismo algébrico. Um aluno pode ter um pensamento algébrico sem ter domínio da linguagem algébrica.

Em (SANTOS, 2010, p. 3) foi encontrado um problema que foi aplicado a alguns alunos do 8𝑜^ ano do EF:

“Alan, Bruno e Carlos têm, juntos, 120 figurinhas. Bruno tem o dobro de figurinhas de Alan e Carlos tem o triplo de figurinhas de Alan. Quantas figurinhas têm cada um?”

Foi constatado que a maioria dos alunos recorreram a processos aritméticos para resolver este problema. Segundo SANTOS (2010) cerca de 30% dos alunos recorreram à divisão por três para obter os valores desconhecidos. Em contrapartida, aproximada- mente 10% dos alunos do 6𝑜^ ano utilizaram um raciocínio algébrico na solução do mesmo problema, de forma análoga à ilustrada na Figura 1:

Capítulo 1. Álgebra e Pensamento Algébrico 19

Figura 1 – Solução do problema da partilha Fonte: (SANTOS, 2010, p. 4)

Santos conclui que,

Por esse protocolo podemos observar que, mesmo se esse aluno não re- presenta formalmente a equação, ele mostra ser capaz de reconhecer as relações envolvidas no problema e elaborar uma representação mental da equação. Nesse caso, dizemos que esse aluno está “pensando algebrica- mente”, ao contrário do aluno que simplesmente divide o total de figurinhas por três, que estaria trabalhando em um pensamento aritmético, (SANTOS, 2010, p. 4).

Outro exemplo, expõe uma situação-problema que normalmente só seria apresen- tada aos alunos no 7𝑜^ ou 8𝑜^ ano do EF, como parte do conteúdo de sistemas de equações de primeiro grau.

Em um sítio existem vacas e galinhas, num total de 10 cabeças e 26 patas. Quantos animais de cada tipo existem nesse sítio? (SANTOS, 2010, p. 6).

A estratégia utilizada pelos alunos de quarto ano de escolaridade para resolver este problema, definida por SANTOS (2010) como “forma impura”, demonstra que o raciocínio algébrico prescinde a linguagem simbólica e pode ser estimulado em classes dos anos ini- ciais. As figuras seguintes mostram duas formas distintas de resolver a situação-problema: