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UNILA - Universidade Federal da Integração Latino-Americana
Atividade: Análise de Sistema Massa-Mola-Amortecedor
Kaique de Sotti Silva
Objetivo
Analisar um sistema massa-mola com diferentes coeficientes de amortecimento para entender o com- portamento do regime estacionário e do transiente em cada caso.
Descrição do problema e Parâmetros
Descrição
Considerando um sistema massa-mola-amortecedor descrito pela figura 1, o qual é descrito por uma equação diferencial de segunda ordem que será deduzida a seguir:
Figura 1: Sistema massa mola amortecido.
Para o sistema descrito temos três forças presentes, a força que a elastica exercida pela a mola (Fe), a força que devemos fazer para que o sistema se mova (Fx) e a força de dissipação (Fc) exercida pelo o sistema de amortecimento que é equivalente a velocidade do sistema. As forças são definidas por: Fx = m.⃗a = m. d^2 x dt^2
Fe = −kx (2)
Fc = −c dx dt
Sabendo que o
P
F = 0, temos que Fx = Fe + Fc , assim:
m. d^2 x dt^2 = −c dx dt − kx (4)
m. d^2 x dt^2
Dividindo a equação por m, iremos obter uma EDO homogênea de segunda ordem
d^2 x dt^2
c m
dx dt
k m x = 0 (6)
Parâmetros
Para resolver os sistemas específicos a seguir devemos considerar que:
- Massa: m = 3Kg
- Contante da mola: k = 4N/m
Sistemas
- Sem amortecimento (c = 0) Substituindo na equação (6), os parâmetros disponibilizados a cima temos a seguinte equação carac- terística:
d^2 x dt^2
x = 0 (7)
d^2 x dt^2
Usando a Equação de Baskara λ =
−b ±
b^2 − 4 ac 2 a
λ =
p 02 − 4. 1. 1 , 33 2
λ = 0 ± 1 , 153 i
Como temos duas soluções reais e distintas temos uma solução do tipo:
x(t) = eαt(C 1 cos(βt) + C 2 sin(βt)) (11)
A solução do meu sistema será:
x(t) = (^) >
e^0 .t(C 1 cos(1, 153 t) + C 2 sin(1, 153 t)) (12)
x(t) = C 1 cos(1, 153 t) + C 2 sin(1, 153 t) (13) Para determinar o valor das constantes devemos levar em consideração o PVI disponibilizado no enunciado. Primeiramente devemos calcular a derivada de minha função e em seguida substituir
- Amortecimento Fraco (c = 1N s/m)
Substituindo na equação (6), os parâmetros disponibilizados a cima temos a seguinte equação carac- terística:
d^2 x dt^2
dx dt
x = 0 (20)
d^2 x dt^2
dx dt
Usando a Equação de Baskara λ =
−b ±
b^2 − 4 ac 2 a
λ =
p 0 , 332 − 4. 1. 1 , 33 2
λ = − 0 , 165 ± 1 , 14 i
Como temos duas soluções reais e distintas temos uma solução do tipo:
x(t) = eαt(C 1 cos(βt) + C 2 sin(βt)) (24)
A solução do meu sistema será:
x(t) = e−^0 ,^165 t(C 1 cos(1, 14 t) + C 2 sin(1, 14 t)) (25)
Para determinar o valor das constantes devemos levar em consideração o PVI disponibilizado no enunciado. Primeiramente devemos calcular a derivada de minha função e em seguida substituir pelos valores conhecidos. A derivada de x(t) será:
x′(t) = − 0 , 165 C 1 e−^0 ,^165 t^ cos(1, 14 t) − 1 , 14 C 1 e−^0 ,^165 t^ sin(1, 14 t) − 0 , 165 C 2 e−^0 ,^165 t^ sin(1, 14 t) + 1 , 14 C 2 e−^0 ,^165 t^ cos(1, 14 t)
Assim substituindo na equação da posição e em sua primeira derivada para os valores de contorno temos que: Lembrando que sin(0) = 0 e cos(0) = 1
x(0) =
:^1
e−^0 ,^165.^0 (C (^1)
cos(1, 14 .0) + C (^2)
sin(1, 14 .0)) = 1 (26)
c 1 = 1
x′(0) = − 0 , 165 C 1 e−^0 ,^165.^0 :^
1 cos(1, 14 .0) − 1 , 14 C 1 e−^0 ,^165.^0 :^
0 sin(1, 14 .0) − 0 , 165 C 2 e−^0 ,^165.^0 :^
0 sin(1, 14 .0) + 1 , 14 C 2 e−^0 ,^165.^0 : 1 cos(1, 14 .0) = − 2
x′(0) = −2 = − 0 , 165 C 1
e^0 + 1, 14 C 2
e^0 (27) −2 = − 0 , 165 + 1, 14 C 2 (28) −2 + 0, 165 1 , 14
= C 2 (29)
c 2 = − 1 , 61
Portanto a equação que define a posição de meu sistema em qualquer instante de tempo é
x(t) = e−^0 ,^165 t(cos(1, 14 t) − 1 , 61 sin(1, 14 t)) (30)
Figura 3: Gráfico do sistema com amortecimento fraco.
- Amortecimento Crítico (c = 2
mkN s/m = 6, 93 N s/m) Substituindo na equação (6), os parâmetros disponibilizados a cima temos a seguinte equação carac- terística:
d^2 x dt^2
dx dt
x = 0 (31)
d^2 x dt^2
dx dt
Usando a Equação de Baskara λ = −b ±
b^2 − 4 ac 2 a
Figura 4: Gráfico do sistema com amortecimento crítico.
- Amortecimento Forte (c = 10N s/m)
Substituindo na equação (6), os parâmetros disponibilizados a cima temos a seguinte equação carac- terística:
d^2 x dt^2
dx dt
x = 0 (41)
d^2 x dt^2
dx dt
Usando a Equação de Baskara λ = −b ±
b^2 − 4 ac 2 a
λ =
p 3 , 332 − 4. 1. 1 , 33 2
λ 1 = − 0 , 465 λ 2 = − 2 , 865
Como temos duas soluções reais e distintas temos uma solução do tipo:
x(t) = C 1 eλ^1 t^ + C 2 eλ^2 t^ (45)
A solução do meu sistema será:
x(t) = C 1 e−^0 ,^465 t^ + C 2 e−^2 ,^865 t^ (46)
Para determinar o valor das constantes devemos levar em consideração o PVI disponibilizado no enunciado. Primeiramente devemos calcular a derivada de minha função e em seguida substituir pelos valores conhecidos. A derivada de x(t) será:
x′(t) = C 1 λ 1 eλ^1 t^ + C 2 λ 2 eλ^2 t^ (47)
Assim montamos o sistema para a determinação das constantes:
C 1 eλ^1 t^ + C 2 eλ^2 = x(t) C 1 λ 1 eλ^1 t^ + C 2 λ 2 eλ^2 t^ = x′(t)
C 1 e(−^0 ,465).^0 + C 2 e(−^2 ,865).^0 = + C 1 (− 0 , 465)e(−^0 ,465).^0 + C 2 (− 2 , 865)e(−^2 ,865).^0 = − 2
C 1 e^0 + C 2 e^0 = + (− 0 , 465)C 1 e^0 + (− 2 , 865)C 2 e^0 = − 2
C 1 + C 2 = +
(− 0 , 465)C 1 + (− 2 , 865)C 2 = − 2
c 1 = 0, 36 c 2 = 0, 64
Portanto a equação que define a posição de meu sistema em qualquer instante de tempo é
x(t) = 0, 36 e−^0 ,^465 t^ + 0, 64 e−^2 ,^865 t^ (50)
Figura 5: Gráfico do sistema com amortecimento forte.
O sistema rapidamente atinge o regime estacionário, onde a posição se estabiliza em zero. Este é o caso ideal para aplicações que necessitam de rápida estabilização sem oscilações.
- Amortecimento Forte: Com amortecimento forte, o sistema não oscila. Em vez disso, ele retorna à posição de equilíbrio através de uma decaída exponencial mais complexa, com duas constantes de tempo distintas devido aos dois termos exponenciais. O sistema atinge o regime estacionário de forma relativamente rápida, estabilizando-se em zero sem oscilações. O amortecimento forte assegura que quaisquer perturbações sejam rapidamente dissipadas.
Cada tipo de amortecimento influencia significativamente o comportamento do sistema massa-mola- amortecedor. Sistemas sem amortecimento continuam a oscilar indefinidamente, enquanto sistemas com amortecimento fraco oscilam com uma amplitude decrescente. O amortecimento crítico oferece a es- tabilização mais rápida sem oscilações, e o amortecimento forte elimina completamente as oscilações, resultando em uma estabilização exponencial direta.
