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As leis do caos Ilya Prigogine "A obra de Prigogine pode ser encarada como um exemplo de instigante redução fisicalista ... pode, desse modo, abrir caminho para que se entenda por que a criatividade da vida não contradiz as leis da física.” Sir Karl R. Popper DRA ancrd a leitura determinística das leis da natureza, teocrática e indiferente à dimensão temporal, Prigogine atribui nova dignidade ao “caos”, cuja instabilidade é fonte de desordem, mas também de ordem. As conse: cias dessa nova interpretação são marcantes e extensas, notáveis em campos aparentemente tão distintos quanto a mecânica quântica e a filosofia da mente. ne (Moscou, 1917), prêmio Nobel! 77, é diretor dos Institutos Solvay de «, Física e Química, em Bruxelas, e diretor do Centro Ilya Prigogine de Mecânica Estatística, Termodinâmica e Sistemas Complexos, em Austin, Texas. É autor de vários livros, dentre os quais Entre le temps et ! *éternité (em colaboração com Isabelle Stengers, 1988), e O fim das certezas: tempo, caos e as leis da natureza (Editora UNESP, 1996). BN 85 Hi o e NESP soeD OP SL91 SY [al al < o v = o oq o aa = D leis do caos Prigogine FUNDAÇÃO EDITORA DA UNESP Presidente do Conselho Curador José Carlos Souza Trindade Diretor-Presidente José Castilho Marques Neto Editor Executivo Jézio Hernani Bomfim Gutierre Conselho Editorial Acadêmico Alberto Ikeda Antonio Carlos Carrera de Souza Antonio de Pádua Pithon Cyrino Benedito Antunes Isabel Maria F R. Loureiro Lígia M. Veltorato Trevisan Lourdes A. M. dos Santos Pinto Raul Borges Guimarães Ruben Aldrovandi Tania Regina de Luca Ilya Prigogine As leis do caos xé o Tradução Roberto Leal Ferreira Editora NESP Introdução Nas conclusões de sua obra The character of Physical Law (O caráter das leis fisicas), Richard P, Feynman se pergunta: qual será o futuro da ciência? Continuaremos para sempre a descobrir novas leis? Ele duvida disso: isso poderia até tornar- se aborrecido e chegaríamos, conclui Feynman, a um ponto em que todas as leis, pelo menos as que determinam o essen- cial dos fenômenos, seriam conhecidas. Não se redescobre a América." Esse conceito de um “fim da ciência” pode ser encontrado em muitas outras obras escritas por físicos importantes. Em seu livro Uma breve história do tempo — Do big-bang aos buracos negros, por exemplo, o cosmólogo inglês Stephen Hawking prevê o advento de uma teoria unificada que nos permita de- cifrar “a mente de Deus”? 1 Richard P. Feynman, The Character of Physical Law, Cambridge: MIT Press 1965. 2 S. Hawking, A Brief History of Time. From the Big-Bang to Black Holes, New York: Bantam Books, 1988 led. bras.: Uma breve história do tempo — Do big- bang aos buracos negros. São Paulo: Rocco, 2002]. llya Prigogine A tese exposta neste livro adota uma perspectiva diferente. A noção de lei da natureza, tal como é formulada por Feynman ou Hawking, refere-se a um universo fundamentalmente rever- sível, que não conhece diferença entre o passado e o futuro. A física, de Galileu a Feynman e Hawking, repetiu a mais paradoxal das negações, a da seta do tempo, que, porém, tra- duz a solidariedade da nossa experiência interior com o mun- do em que vivemos. As ciências do devir e a física do não-equilíbrio foram re- legadas à fenomenologia, quase reduzidas a efeitos parasitas que o homem introduz nas leis fundamentais. Começávamos, por fim, a entrever a possibilidade de resolver esse paradoxo: a sua solução passa por uma generalização do conceito de leis da natureza. Ao longo das últimas décadas, um conceito novo tem conhecido um êxito cada vez maior: a noção de instabili- dade dinâmica associada à de “caos”. Este último sugere de- sordem, imprevisibilidade, mas veremos que não é assim. É possível, porém, como constataremos nestas páginas, incluir o “caos” nas leis da natureza, mas contanto que generalizemos essa noção para nela incluirmos as noções de probabilidade e de irreversibilidade. Em suma, a noção de instabilidade obri- ga-nos a abandonar a descrição de situações individuais (traje- tórias, funções de onda) para adotarmos descrições estatísticas. É, pois, no plano estatístico que podemos evidenciar o apareci- mento de uma simetria temporal quebrada. Como já disse, a formulação tradicional das leis da nature- za contrapunha as leis fundamentais atemporais às descrições fenomenológicas, que incluem a seta do tempo. A reconside- ração do “caos” leva também a uma nova coerência, a uma ciên- cia que não fala apenas de leis, mas também de eventos, a qual não está condenada a negar o surgimento do novo, que comportaria uma recusa da sua própria atividade criadora. Conhecemos hoje diversas classes de sistemas instáveis desde transformações geométricas (mapas) que operam em tempos discretos até sistemas dinâmicos ou quantidades em que o tempo age de modo contínuo. É maravilhoso que atual- mente a descrição fundamental aceita pela física, como vere- mos nestas páginas, se faça em termos de sistemas instáveis. No âmbito deste livro, não é possível apresentar uma ex- posição sistemática dos problemas ligados à noção de instabi- lidade e de sua ligação com a irreversibilidade. A minha ambi- ção é oferecer um olhar introdutório à exposição que estou desenvolvendo em meu próximo livro, Time, Chaos and the Quantum (Tempo, caos e quantum]. Toda nova teoria física encontra expressão numa formula- so ção matemática original, que também aqui está presente. poderia suscitar algumas dificuldades na exposição, uma vez que é meu desejo que este livro seja acessível a um público mais amplo, composto não apenas por físicos teóricos. E, no entanto, a matéria exige um mínimo de rigor: trata-se de uma mudança de perspectiva que deve ser justificada e analisada. Neste texto, só analisei exemplos simples (essencialmente “mapas”) e me limitei a fazer observações qualitativas sobre o objeto dos sistemas dinâmicos propriamente ditos (clássicos ou quânticos). Também reduzi ao mínimo o recurso ao aparato matemático. No Apêndice, ao contrário, escrito em colaboração com o doutor 1. Antoniou, a quem faço questão de agradecer profundamente pela ajuda que me prestou, é apresentada uma exposição mais sistemática do formalismo matemático. Uma vez que o que aquí expus foi originalmente apresen- tado em algumas conferências, não quis tornar mais pesado o texto com demasiadas referências bibliográficas, que, porém, são mencionadas nas notas. Concluindo esta introdução, gostaria de exprimir minha gratidão aos organizadores das conferências de Milão, e em especial à senhora Lorena Preta e ao professor Giulio Giorello, em cuja cátedra de Filosofia da Ciência tive a possibilidade e o prazer de falar em público. Conservo uma agradável lembran- llya Prigogine Hoje se fala de caos a respeito dos fenômenos mais dis- pares. Por exemplo, associa-se o caos à turbulência com que escorrem os fluidos: queremos logo deixar claro que não são esses aspectos que trataremos aqui, Antes de tudo, estamos in- teressados no caos tal como resulta das equações dinâmicas clássicas ou quânticas que, na esfera de nossos conhecimentos, correspondem à descrição microscópica fundamental. Sem dú- vida, desse caos pode resultar o caos macroscópico, mas vol- taremos a esse conceito mais adiante. A nossa atenção con- centra-se sobretudo na chamada descrição “fundamental” do comportamento da matéria. O caos é sempre a conseguência de fatores de instabilidade. O pêndulo, na ausência de atrito, é um sistema estável, mas, curiosamente, a maior parte dos sistemas de interesse para a fí- sica, quer de mecânica clássica quer de mecânica quântica, é de sistemas instáveis. Neles, uma pequena perturbação amplifica- se, e trajetórias inicialmente próximas divergem. A instabilida- de introduz novos aspectos essenciais. Examinaremos, portanto, sobretudo a incidência dessa ins- tabilidade sobre os conceitos fundamentais — o determinismo, a irreversibilidade e até os fundamentos da mecânica quântica — e vamos demonstrar, como todos esses problemas ganham uma nova luz. É por isso que, quando se leva em consideração o caos, pode-se falar de uma reformulação das leis da nature- za. O que está em jogo é de importância primordial. Atualmente, a ciência desempenha um papel fundamental em nossa civilização e, no entanto, para usar uma conhecida expressão introduzida por Snow, ainda vivemos numa socie- dade cindida entre duas culturas, e a comunicação entre os membros de cada uma delas permanece difícil. Qual é a razão dessa dicotomia? Muitas vezes se sugeriu que se trata de um problema de conhecimento. As ciências básicas exprimem-se em termos matemáticos. Os “cientistas” não lêem Shakespeare c os “humanistas” são insensíveis à beleza da matemática. As leis do caos Creio que essa dicotomia viva de uma motivação mais profun- da « se baseie no modo como a noção de tempo é incorporada em cada uma dessas duas culturas. Nas ciências naturais, o ideal tradicional era alcançar a cer- teza associada a uma descrição determinista, tanto que até a mecânica quântica persegue esse ideal. Ao contrário, as no- ções de incerteza, de escolha e de risco dominam as ciências humanas, quer se trate de economia, quer de sociologia. É o modo de descrever o curso do tempo que distingue as duas culturas, Poder-se-ia mesmo pensar em distingui-las pela complexidade de seu objeto: a física ocupar-se-ia então dos chamados fenômenos simples, e as ciências humanas, dos fe- nômenos complexos. Mas hoje em dia a diversidade entre fenô- menos simples e complexos tem-se reduzido. Sabemos que as chamadas partículas elementares e os problemas de cosmolo- gia correspondem a fenômenos extremamente complexos, que hoje têm bem pouco a ver com as idéias existentes a seu res- peito há poucas décadas. Foi, porém, possível estabelecer mo- delos simples para descrever, de modo esquemático, mas tam- bém interessante, problemas considerados tradicionalmente complexos, como o funcionamento do cérebro ou o comporta- mento das sociedades de insetos. Assim, atualmente, a distin- ção baseada na idéia de complexidade parece menos clara do que antes. Estou completamente de acordo com Karl R. Popper quan- do afirma que o problema central, que está na base da dicoto- mia entre as duas culturas, é o do tempo. O tempo é a nossa dimensão existencial e fundamental; é a base da criatividade dos artistas, dos filósofos e dos cientistas. A introdução do tempo no esquema conceitual da ciência clássica significou um enorme progresso. E, no entanto, ele emnpobreceu a noção de tempo, pois nele não se faz nenhuma distinção entre o pas- sado e o futuro. Ao contrário, em todos os fenômenos que percebemos ao nosso redor, quer pertençam à física macros- lIya Prigogine cópica, à química, à biologia, quer às ciências humanas, o fu- turo e o passado desempenham papéis diferentes. Em toda parte deparamos com uma “seta do tempo”. Portanto, coloca- se a pergunta de como essa seta possa surgir do não-tempo. Será talvez uma ilusão o tempo que percebemos? É essa inter- rogação que leva ao * paradoxo” do tempo, que é o cerne des- te meu trabalho. A história do paradoxo do tempo pode ser subdividida em twês etapas. A tomada de consciência no fim do século XIX, o seu inesperado reaparecimento nas últimas décadas e a sua muito recente solução, o tema principal de que tratarei aqui. É a esse respeito que as noções de instabilidade e de caos assu- mem um papel essencial. Não ignoro a dificuldade de expor essas questões num contexto tão restrito, dado que a solução do paradoxo do tem- po está ligada a problemas matemáticos novos e apaixonan- tes, mas difíceis de descrever sem um vocabulário apropriado. Isso requer, portanto, um esforço simultâneo, tanto da parte do autor quanto do leitor. Voltemos, porém, primeiro à posição tradicional. É possível contrapor “ser” e “devir” como contrapomos “verdade” e “ilu- são”? Essa era, como é notório, a posição de Platão e é também a-da física clássica, cuja ambição era descobrir o que permane- ce imutável para além da mudança aparente. A noção de evento ficava excluída dessa descrição, e por isso a ambição de desem- bocar numa física sem eventos sempre topou com grandes di- ficuldades. Já Lucrécio se viu obrigado a introduzir'a noção de “clinamen, que perturba a queda dos átomos no vazio, para ; permitir o aparecimento de novidades. Da mesma forma, dois mil anos depois, num famoso artigo de Einstein que descreve a emissão espontânea de luz, lemos que o tempo de emissão” ( dos fótons é determinado pelo acaso, Eis aí um paralelismo certamente imprevisto, quando se pensa que Lucrécio e Eins- tein estão separados pela maior revolução da história das nos- As leis do caos ções com a natureza, ou seja, o nascimento da ciência moderna. A ciência moderna baseia-se, pois, na noção de “leis da na- tureza”, Estamos tão acostumados com ela que para nós se tor- nou algo como um truísmo, e, no entanto, cla encerra implica- ções muito profundas. Uma dessas características essenciais consiste precisamente na eliminação do tempo. Sempre pen- | sei que em tudo isso o elemento teológico tivesse desempe- | nhado um papel importante. Para Deus, tudo é dado; novida- | de, escolha ou ação espontânea dependem do nosso ponto de vista humano, ao passo que 20s olhos de Deus o presente con- Jémo futuro assim como o passado. ;Sob essa Óptica, o estudio- so, graças ao conhecimento das leis da natureza, aproxima-se progressivamente do conhecimento divino. Sem dúvida, é preciso dizer que esse programa teve um êxito extraordinário, tanto que muitas vezes pareceu ter-se chegado à sua realiza- ção completa. A física clássica baseava-se no estudo da gravitação e do eletromagnetismo; a física moderna acrescentou a ela outros tipos de interação. Um dos problemas presentes no programa da física moderna é o dafunificação das interações. Não raro se . manifestou o desejo dejdescobrir uma única lei a partir da qual - fosse possível derivar todas as outras. Essa esperança estava na base do estudo de Einstein sobre a teoria do campo unifi- cado e ainda constitui o tema central do recente livro de Ste- phen W. Hawking Uma breve história do tempo Do big-bang aos buracos negros, já citado na Introdução. E, no entanto, a unificação das interações está muito longe de ser o único pro- blema ainda a ser resolvido hoje: desde o século XIX, o surgi- mento de ciências baseadas em paradigmas diversos abrira outras perspectivas. A biologia darwiniana e a termodinâmica são ciências da evolução. A termodinâmica é a ciência da era industrial, mas posteriores e rápidas transformações das nos- sas relações com a natureza começavam a se tornar motivo de 15 llya Prigogine irreversibilidade. Mas, é claro, se sc tratasse exclusivamente dis- so, seria realmente uma ilusão, pois se aguardarmos mais tem- po talvez as partículas se concentrem de novo no mesmo reci- piente. Nesse caso, a irreversibilidade simplesmente se deveria aos limites de nossa paciência, Esse é exatamente o exemplo que Feynman utiliza para justificar a reversibilidade das leis fundamentais da física! e º N º º o o º º Õ º é o ee. º N N 1 2 p Nt S=klg P NI NI 1 2 FIGURA 1 — O esquema de Boltimann, Essa eliminação da seta do tempo foi aceita com entusia: mo por físicos de grande peso. Einstein escreveu que o tempo como irreversibilidade é só “ilusão”, e esta é a conclusão que autores famosos, como Feynman ou Hawking, formularam em suas obras já citadas. Todavia, como já apontamos em outro lugar: 1 R.P. Feynman, op. cit ds leis do coos É melhor sublinhar imediatamente o caráter quase inconcebível dessa idéia de reversibilidade dinâmica. O problema do tempo — daquilo que o seu fluxo conserva, cria, destrói — sempre esteve no centro das preocupações humanas. Muitas formas de especulação questionaram a idéia de novidade e afirmaram a inexorável concatenação de causas e efeitos. Muitas formas de saber místico negaram a realidade deste mundo mutável incerto e definiram o ideal de uma existência que permita esca- par à dor da vida. Conhecemos, por outro lado, a importância que tinha na Antigiidade ja idéi de” úni iBmpo circiilar, que retorna periodicamente às suas origens. Mas O próprio eterno retorno é marcado pela seta da tempo, como o ritmo das esta- | ções ou das gerações humanas iNenhuma especulação, nenhum “saber jamais afirmou 2 equivalência entre o que se faz é o que se desfaz, entre uma planta que cresce, floresce e morre, e uma planta que renasce, rejuvenesce e volta à sua semente primi- tiva, entre um homem que amadurece e aprende e um homem que se torna progressivamente criança, depois embrião e depois célula, Contudo, desde a sua origem, a dinâmica, a teoria física que se identifica com o triunfo mesmo da ciência, implicava esta negação radical do tempo. Eis o que revelou o insucesso de Boltzmann e que, antes dele, nenhum dos pensadores que, comg Leibniz ou Kant, haviam feito da ciência do movimento o modelo cognoscitivo do mundo ousara reconhecer? Ao se apreciar o paradoxo do tempo, é preciso não esque- cer que os físicos, desde o começo, haviam feito uma escolha relativa ao objeto de seu estudo. Poincaré, em seu livro Ciên- cia e método; insiste no fato de que o físico deve escolher fenômenos repetíveis, para poder estabelecer leis gerais. Atual- 2 1 Prigogine, 1. Stengers, Entre te temps et Iéternitê, Patis: Eayard, 1988, p.25ss. led, bras.: Entre o tempo e à eternidade, são Paulo: Cia. das Letras, 19921 3 H. Poincaré, Science et méthode, Paris: Fammarion, 1908. llya Prigogine mente talvez não concordemos mais completamente com Poincaré, já que o que hoje nos interessa não é necessaria- mente o que podemos prever com certeza. Popper usa uma belíssima expressão, fala de relógios e nuvens.* A física clássi- ca interessava-se antes de tudo por relógios; a física moderna, sobretudo por nuvens. Mas o ponto importante é que hoje po- demos começar a ultrapassar o quadro específico que corres- pondia ao nascimento da ciência clássica, Podemos admirar a simplicidade do movimento dos planetas, a precisão associada aos relógios, mas também podemos reconhecer o seu caráter particular, quase único. É essa transformação do nosso ponto de vista que representa um dos temas destas páginas. Parece- me que estamos vivendo um mômento privilegiado: a física chegou a um ponto de transição, abre-se a um mundo de no- vas interrogações e ao mesmo tempo a uma melhor compreen- são da sua própria história, Gostaria agora de passar a tratar de como o problema do tempo voltou a interessar a muitos estudiosos nas últimas déca- das. Esse reaparecimento coincide curiosamente também com um momento particular da história social e política. De algum modo, percebemos o correr do tempo. Quer sejam os aconte- cimentos que sugerem uma nova visão da Europa Ocidental, quer sejam os acontecimentos do Leste, sentimos que estamos diante de uma “bifurcação” a que não se aplica o conceito de lei clássica da natureza; para nós, é mais difícil aceitar que a noção de evento não passe de uma ilusão. E, no entanto, era esse o conceito básico da física clássica, conceito tão profun- damente arraigado em nós que chegávamos a considerar todo “evento” quase como aigo anticientífico. Quais são os grandes eventos da história do mundo? Cer- tamente o nascimento do universo ou da vida. A esse respeito 4 K.R. Popper, OfClouds and Clocks, Washington, 1965 20 As leis do caos existe um conto sutil de Asimov, chamado “A última pergun- ta” é Estaremos um dia em condições de vencer o segundo prin- cípio da termodinâmica? Eis a pergunta que um povo, de gera- ção cm geração, de civilização em civilização, propõe a um gigantesco computador, que, porém, se limita a responder re- petidas vezes: “Dados insuficientes para uma resposta significa- tiva”, Passam-se bilhões de anos, as estrelas e as galáxias mor- rem, mas o computador conectado diretamente ao espaço- tempo continua a receber dados e a calcular. Por fim, o univer- so morreu, mas o computador obtém a sua resposta. Agora sabe como vencer o segundo princípio, e é nesse instante que nasce o novo mundo. O reaparecimento do paradoxo do tempo deve-se essen- cialmente a dois tipos de descobertas. O primeiro consiste na descoberta das estruturas de não-equilíbrio, também chama- das “dissipativas”. Essa nova física do não-equilíbrio foi objeto de numerosas exposições, e por isso serei muito breve. Re- cordemos apenas que hoje sabemos quefá matéria se compor- ta de maneira radicalmente diferente em condições de não- equilíbrio, ou seja, quando os fenômenos irreversíveis desem- penham um papel fundamental. Um dos aspectos mais espeta- culares desse novo comportamento é a formação de estruturas de não-equilíbrio que só existem enquanto o sistema dissipa energia e permanece em interação com o mundo exterior. Eis aí um evidente contraste com as estruturas de equilíbrio, como os cristais, que uma vez formados podem permanecer isola- dos e são estruturas “mortas”, que não dissipam energia”) O exemplo mais simples de estrutura dissipativa que po- demos evocar por analogia é a cidade. Uma cidade é diferente 5 1 Asimov, The Last Question, In: . Robot Dreams, Now York: Berke- ley Books, 1986 6 Ver, por exemplo, G. Nícolis, 1. Prigogine, SeffOrganization in Nom-Equiti- brium Systeras, New York: Wiley Interscience, 1977. 2 llya Prigogine sistemas seguindo o ramo (by) da figura e 50% seguindo o ramo (b). Em geral, é claro, nascem outras bifurcações em conse- quiência da primeira. Portanto, a evolução acontece assim por meio de uma sucessão de estádios descritos pelas leis determi- nistas e probabilísticas. Mesmo em nível macroscópico, proba- bilidade e determinismo não se contrapõem, mas se comple- “tam. A existência de bifurcações confere um caráter histórico à evolução de um sistema: a história introduz-se, portanto, já nos sistemas mais simples da química e da hidrodinâmica. Uma propriedade notável dessas bifurcações é a sua sen- sibilidade, ou seja, o fato de pequenas variações nos casos dos sistemas conduzirem à escolha preferencial de um ramo em “vez de outro — para isso, basta romper a simetria. A Figura 3(a) representa a bifurcação ideal, ao passo que a Figura 3(b), uma bifurcação incompleta devida à presença de um campo que rompe a simetria entre os dois ramos. X Gostaria de indicar um caso recente, particularmente propí- cio para exemplificar os mecanismos dessa ruptura de sime- tria, Refiro-me a um estudo recente de Kondepudi e de seus colaboradores, intitulado Chiral Symmetry Breaking in Sodium Chlorate Crystallization! As moléculas de clorato de sódio NaClO,, ao contrário dos cristais de NaClO,, são opticamente inativas, ou seja, não fazem girar o plano de polarização da luz. Existem, pois, duas formas: uma forma dextrogira e uma forma levogira. Se se resfriar uma solução de NaClO,, forma-se o mesmo número de cristais levogiros ou dextrogiros, à parte algumas flutuações estatísticas. Suponhamos que se coloque na solução em curso de resfriamento um instrumento que, ao agitá-la, torne a misturá-la completamente. Neste caso, consta- taremos que as moléculas levam a cristais todos levogiros ou todos dextrogiros: como é possível? A escolha entre um cristal 7 D. Kondepudi, RJ. Kaufman, N. Singh, Science, v.250, p.975, 1990 2 As leis do caos dextrogiro ou levogiro pode ser considerada em razão de uma bifurcação. No ambiente em repouso, essas bifurcações são independentes: a metade comporta-se de um modo e a outra metade, de outro. Num sistema agitado, a primeira bifurcação dá origem a uma forma dextrogira ou levogira. Por causa da agitação, os germes dos primeiros cristais difundem-se pelo ambiente. Portanto, encontraremos ou só cristais levogiros ou só cristais dextrogiros. O campo que rompe a simetria do sis- tema da Figura 3 é aqui produzido pela agitação. Solução ol u=0 FIGURA 3 — Bifurcação incompleta, Seleção de uma bifurcação por meio de uma perturbação ligada ao campo externo | e obtida com ruptura de simetria. À separação mínima A entre os ramos perturbados deve superar o distúrbio devido às flutuações. 25 llya Prigogine É divertido lembrar neste contexto a importância que Pas- teur atribuía à simetria molecular, Para ele, a diferença entre os cristais levogiros ou dextrogiros era essencial para se entender “a vida tal como se manifesta aos nossos olhos é uma função da assimetria o fenômeno da vida. Não foi Pasteur quem escreveu: do universo e uma sua consequência direta”? O universo é dis- simétrico. Estamos atualmente em condições de compreender melhor essa afirmação, pois a ruptura de simetria, a que alude Pasteur, está ligada ao não-cquilíbrio, idade. Quan- to a esta última, ela se nos mostra como uma consequência da irreversibi instabilidade inerente às leis dinâmicas da matéria. FIGURA 4 — Estruturas de Turing Agora passemos a uma outra manifestação espetacular da ruptura de simetria introduzida pela seta do tempo. Trata-se da formação das estruturas estacionárias de não-equilíbrio, A for- o dessas estruturas fora predita por Turing, em seu estu- do fundamental de 1952º e aprofundada pelo nosso grupo na década de 1960; contudo, no plano experimental, elas só fo- 8 A. Turing, The Physical Basis of Morphogenesis, in Pbilosophical Transac- tions 0fthe Royal Society, w.l$/237 p. 37, 1952. 9 P. Glansdorff, 1. Prigogine, Structure, stabilité et fluctuations, Paris: Masson, 1971. 26 As leis do caos ram observadas o ano passado [1992], nos laboratórios de Bor- deaux"" e de Austin” no Texas (Vigura 4). A maior dificuldade experimental foi evitar as correntes de convecção que as des- troem, Do ponto de vista teórico, o mais importante na obser- vação dessas estruturas é que assim podemos verificar o apa- recimento de dimensões intrinsecas devidas aos fenômenos irreversíveis. Essencialmente, a distância entre as “malhas” dessas estruturas é determinada pela relação em que em que D é um coeficiente de difusão e k, o inverso de um tempo ligado à rapidez de reação química, Vemos, portanto, surgir toda uma nova cristalografia de não-equilíbrio. Os exemplos anteriores referem-se à formação de estrutu- ras. Mas os processos de não-equilíbrio também podiam dar origem a sinais não periódicos, mais irregulares. Fala-se en- tão de “caos dissipativo temporal” ou caos espácio-temporal (Figura 5). Insistimos no fato de que, do ponto de vista molecular, se trata sempre de fenômenos coletivos, que põem em jogo bi- lhões e bilhões de moléculas. A irreversibilidade leva a novos fenômenos de ordem. O que também é preciso recordar é que, já em nível macroscópico, assistimos a uma mistura de deter- minismo e de probabilidade. Num de seus últimos estudos, Einstein"? voltou a tratar do papel das probabilidades na física: segundo ele, teria ficado decepcionado quem pensava que o caráter estatístico da mecânica quântica estivesse a ponto de dence of 10 V. Castets, E. Dulos, J. Boissonade, ?. De Kepper, Experimental E Sustaincd Standing Turing-Type Nonequilibrium Chemical Paterns, Physics Review Letters, v.64, p.2953-6, 1990. 1 Q. Ouyang, H. L. Swinney, Transition from a Uniform State to Exagonal and Striped “Turing Patterns, Nature, v.352, p.610, 1991 12 A. Einstein, Autobiographical Notes, in P. A. Schilpp (Ed) Albert Einstein. Ploilosopher-Scientist, New York, 1949 led. bras.: Notas autobiográficas, Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 1982] 27 lya Prigogine veis ou caóticos. Feynman descreve bem a imagem cl mundo, quando, em seu livro A fei física, compara a natureza a uma imensa partida de xadre da movimento tomado iso- ladamente seria simples, e a complexidade, exatamente como a irreversibilidade, decorreria simplesmente dos numerosos elementos do jogo. Mas hoje é difícil aceitar essa imagem, pois já em nível clementar, como veremos, aparece o problema da instabilidade. Outro modo de tentar eliminar a irreversibilidade é reivin- dicar o princípio antrópico. É o que faz Stephen Ilawking em seu livro já citado, Uma breve história do tempo, em que e creve: “Uma seta do tempo termodinâmica forte é ... neces: para o agir da vida inteligente”, e acrescenta um pouco mais adiante: “Para resumir, as leis da ciência não fazem distinção entre as direções do tempo, para a frente c para trás”.? Mas como conciliar essas duas afirmações? Se para que a vida in- teligente possa florescer é necessária uma forte seta termo- dinâmica, é preciso que esta tenha uma contrapartida na nossa descrição do universo; deve, portanto, ser tão real como qual- quer outro fenômeno físico. A partir do momento em que as leis da dinâmica tradicional, seja ela a dinâmica clássica, quân- tica ou relativista, não contêm a direção do tempo, torna: e, pois, necessário tentar reformulá-las, É bem verdade que a in- trodução da irreversibilidade nos obriga a reformulá-las, mas é também verdade que se trata evidentemente de um empreen- dimento bastante ambicioso. Lembro-me de uma pergunta que Heisenberg gostava de fazer: “Qual é a diferença entre um pintor c um físico tcórico?”, e a resposta que gostava de dar era que o pintor abstrato queria ser o mais original possível, ao passo que um físico teórico deve sê-lo o “menos” possível. Aceito essa conclusão de Heisenberg, e se creio que seja pre- ciso reformular as leis da dinâmica é porque não vejo outra 135. Hawking, op. cit. 30 As leis do caos mancira de fazer caber o tempo na descrição física do mundo. Ora, essa introdução do tempo no plano fundamental de des- crição torna-se uma necessidade inelutável, depois do que aprendemos nas últimas décadas acerca do papel construtivo da irreversibilidade. Dissemos antes que o reaparecimento do paradoxo do tem- po se devia a dois desenvolvimentos, ambos inesperados. O primeiro é a descoberta das estruturas de não-equilíbrio, e o segundo está ligado à nova evolução da dinâmica clássica, que demonstra bem o caráter imprevisível do desenvolvimento da ciência. Todos esperavam novos desenvolvimentos no contex- to da mecânica quântica ou da relatividade, mas que a dinâmi- ca clássica, a mai antiga das ciências, depois de três séculos se transformasse tão profundamente é um evento talvez único na história das ciências. 3 Capítulo 3 Agora voltaremos nossa atenção para o mundo microscó- pico, ou seja, o da dinâmica. Já descrevi a batalha que Boltz- mann travou para introduzir o segundo princípio da termodi- nâmica na física clássica, Ele fora obrigado a concluir que a irreversibilidade postulada pela termodinâmica era incompatá- vel com as leis reversíveis da dinâmica. As suas conclusões pa- reciam confirmadas pelo fato de que na relatividade e na me- cânica quântica o ponto de vista permaneceu o mesmo. As leis quânticas ou relativísticas de base permanecem reversíveis em relação ao tempo, exatamente como na dinâmica clássica. Mas nos últimos anos se verificou uma mudança dramática. Um exemplo desse novo ponto de vista emergente é a declaração solene que James Lighthill fez em 1986 como presidente da Union Internationale de Mécanique Pure et Appliquée. Light- hill expressou-se com as seguintes palavras: Devo agora deter-me e falar em nome da grande fraterni- dade que une os especialistas em mecânica. Hoje estamos ple- namente conscientes de como o entusiasmo que os nossos pre- a3 liya Prigogine º 100 200 i FIGURA 6 — O diagrama de Bernoulli e as transformações cliádicas (a) O diagrama de Bernoulli (b) Com uma densidade inicial AG) = 2x, xe [0,1 as aplicações sucessivas do operador de Person-Frobenius correspondente à transformação diádica resultam em densidades que se aproximam de f = 1, xe [0,1]. (o) Uma trajetória calculada a partir da transformação diádica com xº = 9,0005. Compare-se a irregularidade desta trajetória com a lenta aproxi- mação da densidade em (b) a um limite. [As figuras be c foram extraídas de A. Lasota e M, Mackey, Probabilistic Pro- perties of Deterministic Systems, Cambridge: Cambridge University Press, 1985] 36 pois um mínimo erro na condição inicial (8x), leva a uma am- As leis do caos É nisso que consiste a “sensibilidade às condiçoes iniciais”, . plificação exponencial: Causas pequenas a mais não poder, mas em condições de ter consequências essenciais sobre o com- portamento do sistema /À distância entre dois números próxi- ifios aumenta exponencialmente, ou ainda, segundo esta lei, a ; distância entre “duas trajetórias” aumenta exponencialmente | “com o tempo (DO, = (60, expân. O coeficiente À é chamado “coeficiente de Lyapunov” c 1/À é o tempo de Lyapunov. os i sistemas que apresentam essa divergência exponencial são + por definição “sistemas caóticos”, que contam com uma escala intrínseca de tempos definida pelo tempo de Lyapunov 1/A. Após uma longa evolução'em relação ao tempo de Lyapunov,f perde-se a memória do estado inicial. Que fazer nessa situa ção? Nesse ponto, a noção de trajetória, que é o instrumento! fundamental da dinâmica clássica, torna-se uma idealização inadequada, pois as trajetórias nos fogem depois de tempos : longos em relação a 1/A.jJO deslocamento de Bernoulli é o protótipo do caos dinâmico. Portanto, é preciso recorrer a uma abordagem estatística de base probabilística. Este é um , ponto essencial, pois,'ao abandonarmos as trajetórias, deixa- mos as tranquilas certezas da dinâmica clássica.|Na verdade, via proposto há cerca de um sé- culo, mas agora à introdução das probabi idades corresponde a uma necessidade objetiva ligada à instabilidade. Introduzamos, pois, uma função de distribuição estatística p 6,0 (Figura 7) que dá a probabilidade de realizar o número x no tempo 4 (ou depois de n interações). A descrição estatís- isso é o que Boltzmann tica corresponde a uma generalização do conceito de trajetória, que encontramos quando tomamos uma distribuição 5 (x a). A função 8 (x — x,) é uma função “singular”, porque é diferente de zero para x = x, e nula para qualquer outro valor. Sabemos então que existe uma trajetória no ponto x,. Deveremos ainda voltar ao papel das distribuições como funções singulares. 37 tlya Prigogine P 6 ty Pet jo) 1 (o) 1 FIGURA 7 — Descrição estatística. Que podemos dizer da evolução da função de distribuição à no tempo? Um importante teorema (ver, por exemplo, Schuster?) é que, no caso do deslocamento de Bernoulli, a distribuição tenderá à uniformidade no intervalo entre O e 1 (em termos técnicos, isso significa que o deslocamento de Bernoulli é “mes- clado”; ver o Apêndice). Mas gostaríamos de ir além e analisar quantitativamente essa evolução da distribuição inicial rumo à distribuição alcançada assintoticamente com o tempo, Em ter- mos formais, podemos escrever: Pai 6) =U pa GO im toh onde p,,(x) é a distribuição estatística depois de n + 1 deslo- camentos e p,(x), a distribuição após » deslocamentos. O ope- rador U transforma, portanto, p, em Pp, Ele é conhecido como “operador de Perron-Frobenius”. Agorafa física das trajetórias se transforma em física da: funções de distribuição, As leis do movimento — no “caso de Bernoulli, trata-se simplesmente da recorrência Xe = 2x, (mó 2 H. Schuster, Deterministic Chaos, Weinheim: Physik, 1984. 38 As leis do caos transformam-se nas leis da evolução de p, graças ao : operador de evolução U.. [ “No caso de Bernoulli, podemos dar a forma explícita deste operador. Damos aqui só os resultados; o leitor eventualmente interessado nos cálculos pode encontrá-los no Apêndice. Temos: me = fo) nd] É fácil constatar que se p, for uma constante, também o será C,, (permanece válida a distribuição uniforme). O mes- mo se pode dizer se C,(x) = x, P,gO0 = A + e os deslo- 4 camentos seguintes se aproximam de p de uma constante. Devemos, portanto, proceder à análise do operador U. Como já dissemos, o problema do cálculo das trajetórias é substituí- do pelo da análisedas propriedades do operador de evolução U. É nesse ponto que entra em jogo a inovação trazida pelo nosso métoc que instabilidade leve à introdução de proba”” bilidade :é um fato que nada tem de surpreendente, e já foi ressaltado por muitos autores; mas, para nós, a necessidade de desenvolver a matemática para permitir a análise do bpéra- dor U, que descreve a evolução das probabilidades, É apenas o ponto de partida. É neste preciso momento que se coloca o problema essencial: como se estabelece nesse nível a ruptura da simetria temporal (Figura 8)? Quando falamos dejre form | lação das leis da natureza, é justamente em termos de proprie- idades do operador de evolução [Como já foi dito na Intródução, essa exposição exige um mínimo de precisão, pois se propõe a introduzir o leitor em setores da matemática que só começa- ram a ser explorados há muito pouco tempo. 3 P Shiekis, The Theory af Bermoulli Shifis, Chicago: University of Chicago Press, 1973. 
