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A função composta relaciona os elementos do domínio de uma função a elementos do contradomínio de outra função.
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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Grupo PET – Engenharia Civil / UFRR
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
Em geral, pode-se observar o seguinte comportamento do gráfico da função f(x)=ax para a>1 e 0< a< 1:
ƒ(x)=ax^ ƒ(x)=ax^ (a>1)
x
y (0<a<1)
1
0
Os autores agradecem ao Ministério da Educação (MEC) pela oportunidade de reali- zarem projetos acadêmicos por meio do PET; ao Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação (FNDE) pelo apoio financeiro; ao Departamento de Engenharia Civil/UFRR, pelo apoio aos trabalhos desenvolvidos pelo grupo.
Pré-cálculo para os ingressantes nos cursos de Engenharia e ciências exatas
O Cálculo Diferencial e Integral é um ramo importante da matemática e seu campo de aplicações se estende por todas as áreas do conhecimento, desempenhando papel importante como linguagem na representação de fenômenos e, como instrumento para a resolução de problemas (CATAPANI, 2001).
A ampla aplicabilidade dos conceitos de Cálculo Diferencial e Integral faz com que essa disciplina esteja presente na maioria das grades curriculares de cursos de nível su- perior, tornando-se requisito fundamental na formação de um profissional.
Em contrapartida pode-se observar que os altos índices de evasão, baixo rendi- mento e reprovação nessa disciplina são bastante comuns nos anos iniciais dos cursos universitários. As principais causas deste problema apontadas por vários autores são: deficiência em matemática básica, as diferenças metodológicas do ensino médio para o curso superior e as dificuldades intrínsecas da matéria, conforme relatado em (NAS- CIMENTO ET. AL., 2019). Este fato tem levado a constantes questionamentos entre pro- fessores, alunos e gestores, por isso, diversas instituições têm desenvolvido ações para solucionar ou minimizar esse problema.
Uma dessas ações consiste em um curso de Pré-Cálculo, realizado por várias insti- tuições, no início de cada semestre letivo. Nesse curso é feita uma revisão dos conteúdos de matemática do ensino médio, dando ênfase àqueles mais utilizados nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral e ao raciocínio lógico. Com isso, busca-se proporcionar ao aluno ingresso uma base sólida e estabelecer uma transição entre a matemática estuda- da no ensino médio e a abordagem matemática requerida no Ensino Superior.
Na Universidade Federal de Roraima (UFRR), esse curso tem sido oferecido há oito anos pelo Grupo PET de Engenharia Civil aos calouros dos cursos de engenharia e ciências exatas. A participação é voluntária e o curso gratuito.
O curso tem carga horária de 40 horas, as aulas são ministradas pelos integrantes do Grupo PET e acontecem antes do início de cada semestre letivo.
Dessa forma, visa-se contribuir na adaptação dos novos alunos ao ritmo acadêmi- co, alertando-os para a importância do conhecimento de Matemática para o bom desem- penho no âmbito acadêmico e profissional. Ou seja, visa-se a inclusão e adaptação dos ingressantes nos cursos contemplados pela ação e a redução dos índices de evapão.
A partir da experiência adquirida nos cursos de pré-cálculo já ministrados, o Grupo PET desenvolveu este livro, com o objetivo de orientar os alunos naqueles conteúdos que irão corroborar com as disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral.
Grupo PET-Engenharia Civil Boa Vista-RR, Setembro de 2019.
Grupo PET – Engenharia Civil / UFRR
1.1 OPERAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
1.1.1 REUNIÃO OU UNIÃO DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos, A e B, a reunião A ∪ B é o conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B:
A ∪ B ={ x | x ∈ A ou x ∈ B}
Por exemplo, se A={3,6} e B={5,6}, então A∪B={3,5,6}..
OBSERVAÇÃO:
Este “ou” da reunião não é o “ou” de exclusão da linguagem usual “vamos ao cinema ou ao teatro”. Ele significa: se x ∈ A ∪ B , então x ∈ A ou x ∈ B pertence a ambos, isto é x ∈ A ∪ B , quando pelo menos uma das afirmações, x ∈ A ou x ∈ B , é verdadeira.
1.1.2 INTERSEÇÃO DE CONJUNTOS
Dados dois conjuntos, A e B, a interseção A ∩ B é o conjunto formado pelos ele- mentos que pertencem simultaneamente a A e a B:
A ∩ B ={ x | x ∈ A e x ∈ B}
Por exemplo, se A = {2, 4, 6} e B = {2, 3, 4, 5}, então A ∩ B = {2,4}.
OBSERVAÇÃO:
1ª) x ∈ A ∩ B quando as duas afirmações, x ∈ A e x ∈ B, são simultaneamente verda- deiras.
2ª) Se A ∩ B= ∅ (vazio), então os conjuntos A e B são chamados disjuntos.
1.1.3 PROPRIEDADES DA UNIÃO E DA INTERSEÇÃO
1ª) COMUTATIVA
A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A
Pré-cálculo para os ingressantes nos cursos de Engenharia e ciências exatas
4ª) A ⊂ B é equivalente a A ∪ B = B e também é equivalente a A ∩ B = A.
1.1.4 DIFERENÇA ENTRE CONJUNTOS
De modo geral, a diferença entre conjuntos é definida por:
A-B={x |x∈A e x ∉B}
Dados os conjuntos A = {0, 1, 3, 6, 8, 9} e B = {1, 4, 9, 90}, podemos escrever o conjun- to C formado pelos elementos que pertencem a A, mas que não pertencem a B. Assim, C = {0, 3, 6, 8}.
O conjunto C é chamado diferença entre A e B e é indicado por A - B (lê-se A menos B).
1.1.5 NÚMERO DE ELEMENTOS DA UNIÃO DE CONJUNTOS
O número de elementos da união de dois conjuntos é igual à soma do número de elementos de cada conjunto, menos a quantidade de elementos repetidos.
1.2 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
DEFINIÇÃO: conjunto infinito formado pelos números que permitem a contagem de elementos. Trata-se do primeiro conjunto de números que foi utilizado pelos seres hu- manos para enumerar objetos. Um (1), dois (2), cinco (5) e nove (9), por exemplo, são nú- meros naturais.
REPRESENTAÇÃO: ℕ
Conjunto dos Naturais:
ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}.
Números Naturais não nulos:
ℕ* = {1, 2, 3, ...}.
Pré-cálculo para os ingressantes nos cursos de Engenharia e ciências exatas
1.5 CONJUNTO DOS IRRACIONAIS
DEFINIÇÃO: Conjunto formado pelos números que não podem ser escritos na forma de fração pois possuem em suas formas decimais dízimas não periódicas.
REPRESENTAÇÃO: , mas não existe uma notação oficial.
= {,, ..., , ..., e, ..., π, ...}
1.6 CONJUNTO DOS REAIS
DEFINIÇÃO: Da reunião do conjunto dos números racionais com os números irracio- nais obtemos o conjunto dos números Reais.
REPRESENTAÇÃO: ℝ
ℝ = {..., -1, -0,225..., -0,5, 0, 1, 2,0056..., ...}.
l⊂R
Grupo PET – Engenharia Civil / UFRR
1.7 CONJUNTO DOS COMPLEXOS
DEFINIÇÃO: Conjunto formado pelos números compostos por uma parte real e uma imaginária.
A unidade imaginária que acompanha os números complexos é indicada pela letra i, através da relação:
i∙i=-1↔i 2 =-1↔i=√-
REPRESENTAÇÃO: ℂ
1.8 INTERVALOS REAIS
Intervalos Limitados (os dois extremos do intervalo são finitos).
a) fechados: Na reta:
Colchetes: [ 3, 7 ] Desigualdades: {x ∈ ℝ│3 ≤ x ≤ 7}
b) abertos: Na reta:
Colchetes: ] 3 , 7 [ ou ( 3, 7 ) Desigualdades: {x ∈ ℝ│3 < x < 7}
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1- (DANTE, 2013) Represente o conjunto formado pelos possíveis valores de x em cada item.
a) x ∈ ℕ e x < 3 b) x ∈ ℤ e x ≥ - c) x ∈ ℕ e x ≤ 1 d) x ∈ ℤ e -2 < x ≤ 3 e) x ∈ ℕ e x < 0 f) x ∈ ℤ e x < 0
2- (PUC-RIO, 2010). Sejam x e y números tais que os conjuntos {0, 7, 1} e {x, y, 1} são iguais. Então, podemos afirmar que:
A) x = 0 e y = 5 B) x + y = 7 C) x = 0 e y = 1 D) x + 2 y = 7 E) x = y
3- (ITA, 2002). Sejam A um conjunto com 8 elementos e B um conjunto tal que A U B contenha 12 elementos. Então, o número de elementos de P(B \ A) U P() é igual a:
a) 8 b) 16 c) 20 d) 17 e) 9 OBS: Se X é um conjunto, P(X) denota o conjunto de todos os subconjuntos de X.
— ={x ∈A;x∉B}
4- (UEL, 1995) Dos 30 candidatos ao preenchimento de 4 vagas em certa empresa, sabe-se que 18 são do sexo masculino, 13 são fumantes e 7 são mulheres que não fumam. De quantos modos podem ser selecionados 2 homens e 2 mulheres entre os não fuman- tes?
a) 140 d) 3 780 b) 945 e) 57 120 c) 2 380 d) 3 780
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5- (AFA, 1998). Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam bas- quetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes?
a) 31 b) 37 c) 47 d) 51
6- (UFPB, 1980). Sejam os reais y1 = 0,333..., y2 = 5,0131313... e y3 = 0,202002000.... Além disso, considerem-se as somas S1 = y1+y2, S2 = y1+y3 e S3 = y1+y2+y3. Então, pode- mos afirmar:
a) y1 é irracional b) y2 é irracional c) S1 é irracional d) S2 é irracional e) S3 é racional
7- (DANTE, 2013) Considere três conjuntos A, B e C, tais que: n(A) = 28, n(B) = 21, n(C) = 20, n(A ∩ B) = 8, n(B ∩ C) = 9, n(A ∩ C) = 4 e n(A ∩ B ∩ C)= 3. Assim sendo, o valor de n(( A ∪ B) ∩ C) é:
a) 3 b) 10 c) 20 d) 21 e) 24
8- (UDESC, 1996). Seja A o conjunto dos naturais menores que 10 e seja B outro con- junto tal que A B = A e A B é o conjunto dos pares menores que 10. Então o conjunto B é:
a) vazio b) A ∩ B c) {x ∈ ℕ | x < 10} d) {x ∈ ℕ | x é par} e) qualquer conjunto de números pares que contenha A ∩ B.
9- (ITA, 2017) Denotemos por n(X) o número de elementos de um conjunto finito X. Sejam A, B e C conjuntos tais que n(A ∪ B) = 8, n(A ∪ C) = 9, n(B ∪ C) = 10, n(A ∪ B ∪ C) = 2. Então, n(A) + n(B) + n(C) é igual a:
a) 11 b) 14 c) 15 d) 18 e) 25
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Note a simetria em relação ao eixo y:
f(-x) f(-x)
y
x
-1.0 1.
Função ímpar:
Dada uma função y=f(x) tal que f ∈ R , diz-se que é uma função ímpar se f (-x) = -f(x) , para todo x no domínio de f. O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem.
Exemplo:
Para todo x ∈ R , temos:
Note a simetria em relação à origem:
x
y
-x x
f(-x)
f(x)
2
4
-2 0
0
Grupo PET – Engenharia Civil / UFRR
2.1.3 FUNÇÕES INJETIVAS, SOBREJETIVAS E BIJETIVAS
Injetivas:
Dada uma função f ∈ R , ela é denominada injetiva, ou injetora, se, para dois pontos
Pode-se observar que nem todas as funções apresentam essa propriedade. A exem- plo da função f (x)= x² , na qual é possível verificar que números reais diferentes podem levar à mesma imagem.
O diagrama a seguir apresenta a função g injetiva, pois, para todo x e y do seu domí-
Sobrejetivas
Dada uma função f ∈ R , ela é denominada sobrejetiva, ou sobrejetora, se o seu con- tradomínio for igual à sua imagem. Como exemplo de função sobrejetiva, pode-se citar
relação:
A partir do diagrama, pode-se verificar que o contradomínio B é igual à imagem da função f analisada, uma vez que não há números sobrando em B.
Grupo PET – Engenharia Civil / UFRR
Note que o domínio inicial da função se torna a imagem da função inversa, assim como o contrário também é verdadeiro.
Exemplos:
Função y=f(x)
Função inversa y=f-¹ (x)
Inverso de função y=[f(x)]-¹
y=2x+3 y=—-— y= ________
y=ax^ y=logax y=—
y=sen x y=arcsenx y= ________
2.2.2 FUNÇÃO EXPONENCIAL
DEFINIÇÃO: Função Exponencial é aquela cuja variável está no expoente e cuja base é sempre um valor positivo diferente de 1.
de base a, f : R → R *+ , f (x)=ax , como uma função que apresenta as seguintes proprieda- des, para todos x e y reais:
ax∙ ay= a x+y
f(1)=a¹=a
x (^3 )
(^2 2) x+ 3
sen x
ax
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Exemplos:
Quando as funções exponenciais apresentam bases cujos valores são maiores que 1, essas funções são denominadas crescentes. Já as funções cujas bases são menores do que 1 são denominadas decrescentes.
GRÁFICO:
A seguir, serão analisados os gráficos de dois casos de funções exponenciais, o pri- meiro com base maior que 1 e o segundo com base positiva menor que 1
1ª) f(x)=2x ou y=2x, ou seja, a>
2 x
y = 2x
x
1
2 -3^2 -2^2 -1^20 21 22
2
-3 -2 -1 0 1 2 3
(^14 ) 8
1 4
1 2 8 4 3 2 1
