Árvores AVL (Balanceadas) - Definição e Exemplos, Slides de Algoritmos

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SCE 182 – Algoritmos e Estruturas de Dados I^ SCC122 – Estruturas de Dados Árvores AVL (Balanceadas)^ Profª.Drª. Roseli Ap. Francelin Romero^ Fonte: Profa. Patrícia MarchettiRevisão: Gedson Faria

Árvores AVL – (Balanceadas) Definição^
^ A altura de uma árvore binária é o nívelmáximo de suas folhas (profundidade)^
^ Uma árvore binária balanceada (AVL) é umaárvore binária na qual as alturas das duassubárvores de todo nó nunca difere em maisde 1.^
^ O balanceamento de um NÓ é definido comoa altura de sua subárvore esquerda menos aaltura de sua subárvore direita.

Roseli A. F. Romero

Árvores AVL (Balanceada) – Exemplo^10000

Árvores AVL – (Balanceadas)
^ Se a probabilidade de pesquisar umdado for a mesma para todos os dados,uma árvore binária balanceadadeterminará a busca mais eficiente.
^ Mas os algoritmos de inserção eremoção já vistos até agora nãogarantem que essa árvore permanecerábalanceada.

Árvores Balanceadas - AVL
^ O desbalanceamento ocorre quando:
^ O NÓ é inserido é um descendenteesquerdo de um nó que tinhabalanceamento de 1 (U1 até U8)

OU
^ Se ele for um descendente direito de umnó que tinha balanceamento de –1 (U9até U12).

Árvores AVL (Balanceadas)
^ Para manter uma árvore balanceada, énecessário fazer uma transformação naárvore tal que: 1.^ o percurso em ordem da árvoretransformada seja o mesmo da árvoreoriginal (isto é, a árvore transformadacontinue sendo um árvore de buscabinária); 2.^ a árvore transformada fiquebalanceada.

Roseli A. F. Romero

Árvores AVL – Rotação DIREITA^ D

A^ C^ F^ G

B

M

E^ J^ K

L

IH

P^ Q

N^ O

R^ DESBALANCEOU

!^ SOLUÇÃO:^

Percursoem Ordem: RHDIBEANJOFKCLGPMQ ROTAÇÃO DIREITA

Árvores AVL – Rotação DIREITA

A^ C^ F^ G^ M

E^ J^ K

L

H^ I

P^ Q

N^ O

R ROTAÇÃO DIREITACONCLUÍDA

D^ B

ÁRVORE ESTÁ NOVAMENTE BALANCEADA!!!

Percursoem Ordem:RHDIBEANJOFKCLGPMQ

Árvores AVL (Balanceadas)
^ Nos 2 exemplos anteriores de rotação aesquerda e a direita as duas regrasforam mantidas:
^ o percurso em ordem da árvoretransformada deve ser o mesmo daárvore original (isto é, a árvoretransformada continue sendo um árvorede busca binária);
^ a árvore transformada continuabalanceada.

Árvores AVL (Balanceadas)
^ Para o rebalanceamento da árvore énecessário calcular o Fator de Balanceamentopara verificar qual rotação deve ser efetuadaafim de rebalanceá-la.
^ FB = h da subárvore direita - h da subárvoreesquerda
^ Se FB é negativo, as rotações são feitas àdireita
^ Se FB é positivo, as rotações são feitas àesquerda

Roseli A. F. Romero

Árvores AVL (Balanceadas)

FB(raiz)= Hd - He^4

-^2 = 2 FB(10)= Hd – He^3 -^2 = 1

Nó inserido

Solução: rotação à esquerdado nó 8, ou raiz.

Árvores AVL (Balanceadas)

10 15 912 Nó inserido Solução: rotação à esquerdado nó 8, ou raiz.

Árvores AVL (Balanceadas)^4

FB(raiz)= (^81062 ) 2 -^4 = -2 FB(4)=^2 -^1 = 1 Solução: rotação do nó 4 à esquerdaRotação do nó 8 à direita. Nó inserido

Árvores AVL (Balanceadas)

Solução: rotação do nó 4 à esquerdaRotação do nó 8 à direita. 8 410 (^62 5) Nó inserido