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Uma rápida introdução a Análise Real
Prof. George Lucas
∙ Sequências e Séries
Definição (o famoso Limite ) : Dada uma sequência de números reais
1
2
3
, dizemos que
𝐿 = lim 𝑎
𝑛
se para qualquer 𝜖 > 0 existe um inteiro positivo 𝑁(𝜖) tal que para todo 𝑛 ≥ 𝑁(𝜖)
temos que
𝑛
Vejamos alguns exemplos:
Se tivermos a sequência (
1
1
1
2
1
3
1
4
, … ), veja que 0 seria o limite, uma vez que para qualquer
distância 𝜖 > 0 que escolhamos, a partir de um momento sua trajetória será
1
𝑀
1
𝑀+ 1
1
𝑀+ 2
onde 𝑀 é um inteiro tal que
1
𝑀
< 𝜖 e portanto todos os pontos da trajetória a partir daí ficarão a
uma distância menor que 𝜖 do 0. Assim, dizemos que lim
1
𝑛
Observe nessa situação que a sequência, apesar de ser aproximar muito do 0 , ela nunca o alcançará.
Assim, o limite de uma sequência não precisa ser um termo da sequência.
Um exemplo um pouco diferente é a sequência (𝜋, 𝜋, 𝜋, 𝜋, … ) cujo limite é exatamente 𝜋,
escrevemos então lim 𝜋 = 𝜋.
Já a sequência ( 1 , − 1 , 1 , − 1 , … ) não admite limite.
E se a sequência for dada por 𝑎
𝑛
1
𝑛
se 𝑛 é ímpar e 𝑎
𝑛
1
𝑛
2
se 𝑛 é par, o gafanhoto consegue um
abrigo? (Pense sobre!)
Bem, aposto que quando estávamos definindo limite acima, muitos de vocês devem ter se
perguntado: “uma sequência pode admitir dois ou mais limites?” Bem, a resposta é NÃO. Vamos
provar isso!
Suponha que 𝐿
1
e 𝐿
2
sejam limites da sequência, sem perda de generalidade 𝐿
1
2
. Tome então
𝐿 1
−𝐿 2
3
. Isso significa que a partir de um momento o gafanhoto irá se encontrar num ponto 𝑥 da
sequência tal que |𝑥 − 𝐿
1
| < 𝜖 e |𝑥 − 𝐿
2
| < 𝜖, mas pela desigualdade triangular:
1
2
2
1
= 3 𝜖, uma contradição.
Desigualdade triangular: Dados reais quaisquer 𝑥, 𝑦 temos que |𝑥| − |𝑦| ≤ |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|
Assim, caso o limite de uma sequência exista, esse limite é único!
Quando uma sequência admite limite chamamos essa sequência de convergente. Caso uma
sequência não seja convergente, a chamamos de divergente.
Definição: Dada uma sequência de números reais infinita (𝑎
1
2
, … ), definimos uma subsequência
dela, uma sequência infinita da forma (𝑎
𝑗
1
𝑗
2
𝑗
3
, … ) onde 1 ≤ 𝑗
1
2
3
< ⋯ são números
inteiros.
Exemplos:
é uma subsequência de
(− 1 , − 1 , − 1 , … ) é uma subsequência de ( 1 , − 1 , 1 , − 1 , … );
é uma subsequência de (−√ 1 , √ 2 , − √ 3 , √ 4 , − √ 5 , … ),
Mas
não é subsequência de
Nem (√ 6 , √ 6 , √ 6 , … ) é subsequência de (√ 2 , √ 4 , √ 6 , √ 8 , √ 10 , √ 12 , … ).
Teorema 1: Seja {𝑎
𝑛
𝑛≥ 1
uma sequência convergente de números reais e seja 𝐿 = lim 𝑎
𝑛
. Seja
𝑛
𝑗
𝑗≥ 1
uma subsequência de
𝑛
𝑛≥ 1
. Então lim 𝑎
𝑛
𝑗
Prova: Indutivamente obtemos 𝑛
𝑗
≥ 𝑗, além disso, dado 𝜖 > 0 existe 𝑁
tal que para todo 𝑗 ≥
𝑁(𝜖) temos |𝑎
𝑗
− 𝐿| < 𝜖, e assim, |𝑎
𝑛 𝑗
− 𝐿| < 𝜖, como queríamos.
Definição: Dizemos que uma sequência {𝑎
𝑛
𝑛≥ 1
é limitada superiormente se existe um número real
𝑀 tal que 𝑎
𝑛
≤ 𝑀 para todo inteiro positivo 𝑛. De maneira análoga, dizemos que
𝑛
𝑛≥ 1
é
limitada inferiormente se existe um número real 𝑚 tal que 𝑎
𝑛
≥ 𝑚 para todo inteiro positivo 𝑛.
Se uma sequência dor simultaneamente limitada superiormente e inferiormente dizemos
simplesmente que ela é limitada. Note que isso implica a existência de um número real 𝑇 tal que
𝑛
< 𝑇 para todo inteiro positivo 𝑛 , pois basta tomar 𝑇 = max
Exemplos:
A sequência (− 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , … ) é limitada inferiormente, mas não é limitada, uma vez que
não é limitada superiormente.
A sequência
𝑛
𝑛≥ 1
definida por 𝑎
𝑛
= −𝑛 se 𝑛 é par e 𝑎
𝑛
1
𝑛
2
se 𝑛 é ímpar é limitada
superiormente, mas não é limitada.
A sequência {
( − 1
)
𝑛
𝑛
𝑛≥ 1
é limitada.
Bem, tais 𝑀 e 𝑚 da definição acima são chamados cota superior e cota inferior , respectivamente.
Ora, mas é claro que se 𝑀 é uma cota superior, 𝑀 + 1 também é, e se 𝑚 é uma cota inferior, 𝑚 −
1 também é. E aí vamos para mais uma definição!
Suponha agora que para todo 𝑘 ≥ 1 existe 𝑛
𝑘
≥ 𝑘 tal que 𝑎
𝑛
𝑘
𝑘
Bem, como {𝑀
𝑘
𝑘≥ 1
é decrescente e limitada, ela é convergente, pelo corolário acima. Seja 𝐿 =
lim 𝑀
𝑘
Considere veja que se existe uma sequência {𝑀
𝑘 𝑗
𝑗≥ 1
tal que 𝑘
1
2
3
< ⋯ e 𝑛
𝑘 1
𝑘 2
𝑘
3
< ⋯ então tal sequência é subsequência de {𝑀
𝑘
} o que nos garante que ela é convergente, e é
uma subsequência de
𝑛
pois {𝑀
𝑘
𝑗
𝑛
𝑘
𝑗
Mas isso é fácil. Construa indutivamente! 𝑘
1
= 1 e dados 𝑘
1
2
𝑗
tome 𝑘
𝑗+ 1
max {𝑘
𝑗 ,
𝑘
𝑗
} pois assim 𝑛
𝑘
𝑗+ 1
𝑗+ 1
𝑘
𝑗
Definição: Dizemos que uma sequência {𝑥
𝑛
} é uma sequência de Cauchy quando para todo 𝜖 >
0 existe 𝑁
tal que para todo 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁
temos
𝑚
𝑛
É claro que toda sequência convergente é de Cauchy, pois sendo 𝐿 = lim 𝑥
𝑛
, então dado 𝜖 >
0 existe 𝑁 (
𝜖
2
) satisfazendo 𝑛 ≥ 𝑁 (
𝜖
2
𝑛
𝜖
2
. Daí, para 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑁 (
𝜖
2
𝑚
𝑛
𝑚
𝑛
𝜖
2
𝜖
2
Por outro lado, mostremos que toda sequência real de Cauchy é convergente.
Teorema 3: Toda sequência real de Cauchy é convergente.
Prova: Tomando 𝜖 = 1 obtemos que existe 𝑡 tal que para todo 𝑚, 𝑛 ≥ 𝑡 temos que
𝑚
𝑛
em particular, 𝑥
𝑡
𝑛
𝑡
- 1 para todo 𝑛 ≥ 𝑡 o que nos dá {𝑥
𝑛
𝑛≥𝑡
é limitado e portanto
possui uma subsequência convergente pelo teorema de Bolzano-Weierstrass. Seja {𝑥
ℎ
𝑖
𝑖≥ 1
tal
subsequência convergente, com ℎ
1
2
3
< ⋯. Seja 𝐿 = lim 𝑥
ℎ
𝑖
. Bem, sabemos que dado 𝜖 >
0 existe 𝑁 (
𝜖
2
) tal que para 𝑖 ≥ 𝑁 (
𝜖
2
ℎ
𝑖
𝜖
2
, além disso, existe 𝑀 (
𝜖
2
) tal que 𝑚, 𝑛 ≥
𝜖
2
𝑛
𝑚
𝜖
2
. Finalmente, tomando 𝑛 ≥ 𝑀 (
𝜖
2
)obtemos:
Escolha 𝑖 tal que 𝑖 ≥ 𝑁 (
𝜖
2
𝑖
𝜖
2
) e assim: |𝑥
𝑛
𝑛
ℎ 𝑖
ℎ 𝑖
𝜖
2
𝜖
2
= 𝜖, o
que nos dá lim 𝑥
𝑛
Observação ao aluno curioso: Ué, nos parece meio desnecessário nomear sequência de Cauchy e
sequência convergente os mesmos tipos de sequência, né? Bem, vamos esclarecer um pouco isso...
Esse teorema não vale para todos os conjuntos munidos de uma métrica. Por exemplo, imagine o
conjunto dos números racionais. Agora tome uma sequência de racionais que converge para √ 2 nos
reais, por exemplo considerando a representação decimal de √ 2 = 1 , 4142135623731 … e construa
a sequência 𝑥
1
2
3
4
5
= 1 , 41421 ; … então temos que
𝑛
−𝑛
e em particular, {𝑥
𝑛
𝑛≥ 1
é de Cauchy tanto nos reais quanto nos racionais.
Entretanto,
𝑛
𝑛≥ 1
não converge nos racionais, apesar de ser de Cauchy.
Dizemos que um conjunto munido de uma métrica é completo se toda sequência de Cauchy
converge.
Veja que ℝ é completo, mas ℚ não é.
Definição (Limites infinitos): Dizemos que uma sequência
𝑛
𝑛≥ 1
satisfaz lim 𝑡
𝑛
= ∞ quando para
todo número real 𝑀 temos que 𝑡
𝑛
𝑀 para todo 𝑛 ≥ 𝑁(𝑀), sendo 𝑁(𝑀) um inteiro.
Analogamente, dizemos que lim 𝑡
𝑛
= −∞ quando para todo número real 𝑚 temos que 𝑡
𝑛
< 𝑚 para
todo 𝑛 ≥ 𝑁(𝑚), sendo 𝑁(𝑚) um inteiro.
Exemplos: 𝑙𝑖𝑚 − 𝑛 = −∞ e lim 1
2
2
2
= ∞, apesar de ambas as sequências serem
divergentes. Enquanto que a sequência divergente
𝑛
𝑛≥ 0
NÃO satisfaz lim
𝑛
NEM lim(− 1 )
𝑛
Definição: Dada uma sequência {𝑎
𝑛
𝑛≥ 1
definimos a série ∑ 𝑎
𝑘
∞
𝑘= 1
por ∑ 𝑎
𝑘
∞
𝑘= 1
= lim ∑ 𝑎
𝑘
𝑛
𝑘= 1
caso
esse limite exista, chamando-a assim de série convergente. Caso o limite lim
𝑘
𝑛
𝑘= 1
não exista,
dizemos que a série ∑ 𝑎
𝑘
∞
𝑘= 1
é divergente.
Definição: Chamamos uma série
𝑘
∞
𝑘= 1
de absolutamente convergente se a série
𝑘
∞
𝑘= 1
é
convergente.
Bem, é claro que a sequência
𝑛
𝑛≥ 1
dada por 𝑠
𝑛
𝑘
𝑛
𝑘= 1
é crescente e, caso seja limitada, pelo
corolário do teorema 2, obtemos que a mesma é convergente. Assim, para qualquer sequência {𝑎
𝑛
ou
𝑘
∞
𝑘= 1
é convergente ou lim
𝑘
𝑛
𝑘= 1
= ∞ e portanto escrevemos
𝑘
∞
𝑘= 1
Se uma série convergente não é absolutamente convergente, dizemos que ela é condicionalmente
convergente.
Teorema 4: Toda série absolutamente convergente é convergente.
Prova: Defina 𝑝
𝑛
𝑛
𝑛
= 0 se 𝑎
𝑛
≥ 0 e 𝑝
𝑛
𝑛
𝑛
se 𝑎
𝑛
< 0. Daí,
𝑛
𝑛
𝑛
e
𝑛
𝑛
𝑛
. Seja 𝑆 = ∑ |𝑎
𝑘
∞
𝑘= 1
. Assim, 𝑆 ≥ ∑ |𝑎
𝑘
𝑛
𝑘= 1
𝑘
𝑛
𝑘= 1
. Assim, como a sequência
𝑘
𝑛
𝑘= 1
𝑛≥ 1
é crescente e limitada, então é convergente. Analogamente,
𝑘
𝑛
𝑘= 1
𝑛≥ 1
é
convergente. Assim, {∑ 𝑝
𝑘
𝑛
𝑘= 1
𝑘
𝑛
𝑘= 1
𝑘
𝑛
𝑘= 1
𝑛≥ 1
é convergente (exercício 1). E portanto a
série
𝑘
∞
𝑘= 1
é convergente.
Exercícios
- Sejam {𝑥
𝑛
𝑛≥ 1
e {𝑦
𝑛
𝑛≥ 1
sequências convergentes com 𝑎 = lim 𝑥
𝑛
e 𝑏 = lim 𝑦
𝑛
(a) Seja 𝑘 um número real. Prove que lim 𝑘 𝑥
𝑛
(b) Prove que lim 𝑥
𝑛
𝑛
(c) Prove que lim 𝑥
𝑛
𝑛
(d) Se 𝑏 ≠ 0 , prove que lim
𝑥
𝑛
𝑦
𝑛
𝑎
𝑏
- Se lim 𝑥
𝑛
= 𝑎 ∈ ℝ e
𝑛
uma sequência de reais positivos tais que lim 𝑡
1
2
𝑛
Prove que lim
𝑡
1
𝑥
1
+𝑡
2
𝑥
2
+⋯+𝑡
𝑛
𝑥
𝑛
𝑡
1
+𝑡
2
+⋯+𝑡
𝑛
- Resolva os itens abaixo:
(a) Prove que ∑
1
𝑛
∞
𝑛= 1
é divergente.
(b) Determine todos os 𝑝 > 0 tais que
1
𝑛
𝑝
∞
𝑛= 1
é convergente.
(c) Sejam 𝑑
e 𝜎
a quantidade de divisores positivos e a soma dos divisores positivos de 𝑛 ,
respectivamente. A série
(− 1 )
𝜎(𝑛)
𝑑(𝑛)
𝑛
2
∞
𝑛= 1
é convergente ou divergente?
(d) A série
(− 1 )
𝑛
𝑛
∞
𝑛= 1
é convergente ou divergente?
- Seja ∑ 𝑎
𝑛
∞
𝑛= 1
uma série convergente, e seja 𝐿 = ∑ 𝑎
𝑛
∞
𝑛= 1
(a) Suponha que
𝑛
∞
𝑛= 1
é absolutamente convergente. Prove que para qualquer permutação
𝜎: ℕ → ℕ , onde ℕ denota o conjunto dos inteiros positivos, temos que ∑ 𝑎
𝜎
( 𝑛
)
∞
𝑛= 1
é convergente e
𝜎(𝑛)
∞
𝑛= 1
(b) Suponha que
𝑛
∞
𝑛= 1
é condicionalmente convergente. Prove que dado qualquer 𝐻 ∈ ℝ existe
permutação 𝜎: ℕ → ℕ tal que 𝐻 = ∑ 𝑎
𝜎(𝑛)
∞
𝑛= 1
. Prove ainda que existem permutações 𝜋: ℕ → ℕ tais
que ∑ 𝑎
𝜋
( 𝑛
)
∞
𝑛= 1
diverge.
- Seja {𝑎
𝑛
𝑛≥ 1
uma sequência decrescente tal que lim 𝑎
𝑛
= 0. Prove que ∑ (− 1 )
∞ 𝑛
𝑛= 1
𝑛
é
convergente.
∙ Conjuntos e Funções
Definição: Dizemos que um conjunto 𝑋 é limitado inferiormente se existe real 𝑚 tal que para todo
𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ≥ 𝑚. Nesse caso, 𝑚 é chamado cota inferior de 𝑋. Chamamos a maior das cotas
inferiores de inf 𝑋. Analogamente, dizemos que um conjunto 𝑋 é limitado superiormente se existe
real 𝑀 tal que para todo 𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ≤ 𝑀. Nesse caso, 𝑀 é chamado cota superior de 𝑋. Chamamos
a menor das cotas superiores de sup 𝑋.
Dizemos que um conjunto é limitado quando ele é limitado superiormente e inferiormente.
Teorema 5: Se 𝑋 é limitado superiormente, então existe uma sequência {𝑎
𝑛
𝑛≥ 1
tal que 𝑎
𝑛
∈ 𝑋 para
todo 𝑛 e lim 𝑎
𝑛
= sup 𝑋.
Prova: Ora, se sup 𝑋 ∈ 𝑋, tome a sequência constante 𝑎
𝑛
≡ sup 𝑋. Suponha então sup 𝑋 não é um
elemento de 𝑋. Então sabemos que existe um elemento 𝑎
𝑛
∈ 𝑋 tal que 𝑎
𝑛
sup 𝑋 −
1
𝑛
, pois se isso
fosse falso para algum 𝑛 , então 𝑥 ∈ 𝑋 → 𝑥 ≤ sup 𝑋 −
1
𝑛
para tal 𝑛 , o que nos daria uma cota
superior de 𝑋 menor do que sup 𝑋, uma contradição. Daí, podemos escolher 𝑎
𝑛
tal que sup 𝑋 −
1
𝑛
𝑛
< sup 𝑋. Pelo teorema do confronto (exercício 6), lim 𝑎
𝑛
= sup 𝑋.
Teorema 5’: Se 𝑋 é limitado inferiormente, então existe uma sequência
𝑛
𝑛≥ 1
tal que 𝑎
𝑛
∈ 𝑋 e
lim 𝑎
𝑛
= inf 𝑋.
Prova: Análoga a prova do teorema 5.
Definição: Dizemos que um conjunto 𝑋 é aberto se para todo 𝑥 ∈ 𝑋 existe 𝜖
0 tal que
[𝑥 − 𝜖, 𝑥 + 𝜖] ⊂ 𝑋. Dizemos que um conjunto 𝑌 é fechado se para toda sequência convergente
𝑛
𝑛≥ 1
de elementos de 𝑌 temos que lim 𝑎
𝑛
Exemplos:
O conjunto
é aberto, enquanto que o conjunto
[
]
∪ ℤ é fechado.
Observe que o conjunto [ 2 , 3 ) não é nem aberto nem fechado, enquanto que ℝ e 𝜙 (conjunto vazio),
são ambos abertos e fechados.
Um fato interessante e que encorajamos o aluno a provar é: “Os únicos conjuntos que são
simultaneamente abertos e fechados são ℝ e 𝜙 “ (exercício 25).
Definição: Dizemos que um ponto 𝑎 é um ponto de acumulação de um conjunto 𝑋 se existe uma
sequência
𝑛
𝑛≥ 0
de pontos em 𝑋 −
tal que lim 𝑎
𝑛
= 𝑎. Denotaremos por 𝑋
′
o conjunto dos
pontos de acumulação de 𝑋.
Exemplos:
Se 𝑋 = ( 1 , 2 ) → 𝑋
′
= [ 1 , 2 ]
Se 𝑋 = ℤ → 𝑋
′
Se 𝑋 = {
1
𝑛
′
Dizemos que um ponto 𝑏 ∈ 𝑋 − 𝑋
′
é um ponto isolado de 𝑋.
Observe que 𝑥 é um ponto isolado de 𝑋 se, e somente se, existe 𝜖 > 0 tal que
[
]
Definição: Seja 𝑋 ⊂ ℝ , 𝑓: 𝑋 → ℝ uma função e 𝑎 ∈ 𝑋
′
. Dizemos que 𝐿 = lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) quando para
todo 𝜖 > 0 existe 𝛿(𝜖) > 0 tal que 𝑥 ∈ 𝑋 − {𝑎}, |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜖, em outras palavras,
para qualquer erro 𝜖 > 0 todo ponto suficientemente próximo de 𝑎 (possivelmente excetuando o 𝑎 )
tem a imagem a uma distância menor que 𝜖 de 𝐿. (Note que isso NÃO implica que 𝑓(𝑎) = 𝐿, nem
mesmo que 𝑎 ∈ 𝑋 ).
Exemplos:
Se 𝑓:
→ ℝ dada por 𝑓
= 2 𝑥, então lim
𝑥→ 2
- Sejam 𝑓, 𝑔: 𝑋 → ℝ e 𝑎 ∈ 𝑋
′
. Suponha que existam os limites lim
𝑥→𝑎
= 𝐿 e lim
𝑥→𝑎
𝑀. Prove que:
(a) Sendo 𝑘 ∈ ℝ , lim
𝑥→𝑎
(b) lim
𝑥→𝑎
(c) lim
𝑥→𝑎
(d) Se 𝑀 ≠ 0 , lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝐿
𝑀
- Sejam 𝑓, 𝑔: ℝ → ℝ definidas por 𝑓
= 0 se 𝑥 é irracional, 𝑓
= 𝑥 se 𝑥 ∈ ℚ ; 𝑔
= 1 e
𝑔(𝑥) = 0 se 𝑥 ≠ 0. Mostre que lim
𝑥→ 0
𝑓(𝑥) = lim
𝑦→ 0
𝑔(𝑦) = 0 , porém não existe lim
𝑥→ 0
- Considere uma circunferência de centro 𝑂 e raio unitário e 𝑃 um ponto sobre tal circunferência.
Seja 𝑇 um ponto do plano tal que 𝑇𝑃 é tangente à circunferência. Seja 𝑅 a intersecção do segmento
𝑂𝑇 com a circunferência. Seja 𝑥 = ∠𝑇𝑂𝑃.
(a) Através das áreas dos triângulos △ 𝑇𝑂𝑃, △ 𝑅𝑂𝑃 e do setor circular 𝑂𝑅𝑃 prove que 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ≤
𝑥 ≤ tan 𝑥, para todo 𝑥 ∈ ( 0 ,
𝜋
2
(b) Utilizando o item (a) e o fato de 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ser uma função ímpar e cos(𝑥) ser uma função par,
prove que existe o limite lim
𝑥→ 0
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
𝑥
e calcule-o.
Definição (Continuidade de uma função) : Seja 𝑓: 𝑋 → ℝ e 𝑎 ∈ 𝑋. Então as duas proposições abaixo
são equivalentes.
(i) Para todo 𝜖 > 0 existe 𝛿(𝜖) > 0 tal que 𝑥 ∈ 𝑋, |𝑥 − 𝑎| < 𝛿 → |𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)| < 𝜖.
(ii) Para qualquer sequência
𝑛
𝑛≥ 1
de elementos de 𝑋 com lim 𝑎
𝑛
= 𝑎 temos lim 𝑓
𝑛
Se um par
satisfaz uma, e então ambas, proposições acima, dizemos que 𝑓 é contínua em 𝑎.
Note que não precisa necessariamente que 𝑎 ∈ 𝑋
′
, na verdade, se 𝑎 é um ponto isolado, então 𝑓 é
contínua em 𝑎 para qualquer 𝑓.
Exercício 21: Provar a equivalência acima.
Definição: Dizemos que 𝑓: 𝑋 → ℝ é contínua se 𝑓 é contínua em 𝑥 para todo 𝑥 ∈ 𝑋.
Quando estamos no Ensino Fundamental, geralmente vemos a definição vulgar de função contínua
como “uma função que podemos desenhar o gráfico sem tirar o lápis do papel”. Bem, tal definição é
de certa forma verdade quando o domínio é um intervalo, mas quando não é... a coisa fica um
pouco mais complexa. Por exemplo, se tomarmos 𝑋 um conjunto de pontos isolados, nunca
conseguiremos desenhar 𝑓: 𝑋 → ℝ sem tirar o lápis do papel, apesar de qualquer uma dessas
funções ser contínua.
Teorema do valor intermediário: Seja 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ uma função contínua e 𝑑 ∈ ℝ tais que 𝑓(𝑎) <
, então existe 𝑐 ∈
tal que 𝑓
Prova: Considere o conjunto 𝑋 = {𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]: 𝑓(𝑥) < 𝑑}. Como tal conjunto é limitado, então pelo
teorema 5 ele possui uma sequência de elementos, digamos
𝑛
que converge para sup 𝑋. Como
𝑛
∈ [𝑎, 𝑏] para todo 𝑛 , e [𝑎, 𝑏] é fechado, segue que sup 𝑋 ∈ [𝑎, 𝑏]. Como lim 𝑎
𝑛
= sup 𝑋 e 𝑓 é
contínua, lim 𝑓
𝑛
sup 𝑋
. Como 𝑓
𝑛
< 𝑑 para todo 𝑛 segue que 𝑓
sup 𝑋
Bem, se 𝑓(sup 𝑋) = 𝑑, tá resolvido. Caso contrário, sup 𝑋 ∈ 𝑋 e portanto sup 𝑋 < 𝑏. Considere
agora a sequência 𝑏 𝑛
= sup 𝑋 +
𝑏−sup 𝑋
𝑛
. Bem, lim 𝑏
𝑛
= sup 𝑋 o que nos dá lim 𝑓
𝑛
sup 𝑋
Mas como 𝑏
𝑛
sup 𝑋, 𝑓
𝑛
≥ 𝑑 o que nos dá sup 𝑋 ≥ 𝑑, uma contradição. Logo 𝑓
sup 𝑋
Teorema 6: Se 𝑋 é um conjunto compacto (limitado e fechado) e 𝑓: 𝑋 → ℝ é contínua, então
{𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ 𝑋} é compacto.
Prova: Bem, suponha que
não seja limitado. Então existe uma sequência
𝑛
tal
que |𝑓(𝑥
𝑛
)| > 𝑛 para todo 𝑛. Como {𝑥
𝑛
} é limitado, então pelo teorema de Bolzano-Weierstrass,
𝑛
} possui uma subsequência convergente, digamos {𝑥
𝑛 𝑘
}. Como 𝑛
𝑘
≥ 𝑘 , definindo 𝑦
𝑘
𝑛
𝑘
temos
𝑘
𝑛
𝑘
𝑘
≥ 𝑘 e
𝑘
convergente. Seja 𝐿 = lim 𝑦
𝑘
. Pela continuidade de
𝑓 : 𝑓(𝐿) = lim 𝑓 (𝑦
𝑘
), em particular, existe lim 𝑓 (𝑦
𝑘
) e portanto pelo exercício 1, existe
lim 𝑓 (𝑦
𝑘
2
2
, uma contradição pois lim 𝑓 (𝑦
𝑘
2
Suponha agora que
não seja fechado. Então existe uma sequência
𝑛
convergente tal que 𝐿 = lim 𝑓 (𝑥
𝑛
) não está em {𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ 𝑋}. Como {𝑥
𝑛
} é limitado, {𝑥
𝑛
} possui
subsequência convergente, digamos {𝑥
𝑛 𝑘
}. Como {𝑓(𝑥
𝑛 𝑘
)} é subsequência de {𝑓(𝑥
𝑛
lim 𝑓 (𝑥
𝑛
𝑘
) = 𝐿. Seja 𝑀 = lim 𝑥
𝑛
𝑘
, então pela definição de limite, 𝑓
= 𝐿 contradizendo o fato
de 𝐿 não ser elemento de {𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ 𝑋}.
Portanto,
é compacto.
Corolário (Weierstrass): Se 𝑋 é compacto e 𝑓: 𝑋 → ℝ é contínua, então {𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ 𝑋} admite
máximo e mínimo.
Tal corolário segue do teorema 6 do exercício abaixo.
Exercício 22: Prove que todo conjunto compacto admite máximo e mínimo.
Bem, vamos agora pensar em bijeções. Se 𝑓: 𝑋 → 𝑌 é uma bijeção contínua, então 𝑓
− 1
: 𝑌 → 𝑋é
contínua? Bem, na verdade isso nem sempre acontece. Vejamos um exemplo:
𝑓: [− 1 , 0 ] ∪ ( 1 , 2 ] → [ 0 , 4 ] dada por 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
, o que acontece com 𝑓
− 1
Teorema 7: Se 𝑋 é compacto e 𝑓: 𝑋 → 𝑌 é uma bijeção contínua, então 𝑓
− 1
: 𝑌 → 𝑋 é contínua.
Note, que tal função não precisa ter mínimo. Um exemplo é a função 𝑓: [− 1 , 1 ] − { 0 } → ℝ dada por
2
Definição (derivada de uma função): Seja 𝑓: 𝑋 → ℝ uma função e 𝑎 ∈ 𝑋 ∩ 𝑋
′
. As duas proposições
abaixo são equivalentes:
(i) Existe o limite lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
(ii) Existe um real 𝑐
e uma função 𝑟
𝑎
: 𝑋 → ℝ tais que 𝑓
, sempre
que 𝑎 + ℎ ∈ 𝑋 , onde lim
𝑥→ 0
𝑟(ℎ)
ℎ
A prova dessa equivalência é bem simples e deixamos como exercício ao leitor.
Dizemos que se um par (𝑓, 𝑎) satisfaz uma, e portanto as duas, das proposições acima, dizemos que
𝑓 é diferenciável em 𝑎. Denotemos tal limite em (i) por 𝑓
′
que, adivinha só, em (ii) 𝑐 = 𝑓
′
Definição: Seja 𝑋 um conjunto tal que 𝑋 ⊂ 𝑋
′
, então dizemos que 𝑓: 𝑋 → ℝ é diferenciável , se ela é
diferenciável para todo 𝑥 ∈ 𝑋.
Exercício 23:Se uma função 𝑓: 𝑋 → ℝ é diferenciável em 𝑎 ∈ 𝑋 ∩ 𝑋
′
, então ela é contínua em 𝑎.
Teorema 10: Seja 𝑓: 𝑋 → ℝ diferenciável em 𝑎 ∈ 𝑋 ∩ 𝑋
′
tal que 𝑓
′
(𝑎) > 0 , então existe 𝛿 > 0 tal
que se 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎 < 𝑦 < 𝑎 + 𝛿 então 𝑓
Prova: Ora, como lim
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
′
0 , então existe 𝛿 > 0 tal que
𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎
0 para todo
|𝑥 − 𝑎| < 𝛿. O resultado segue.
Teorema 10’: Seja 𝑓: 𝑋 → ℝ diferenciável em 𝑎 ∈ 𝑋 ∩ 𝑋
′
tal que 𝑓
′
(𝑎) < 0 , então existe 𝛿 > 0 tal
que se 𝑎 − 𝛿 < 𝑥 < 𝑎 < 𝑦 < 𝑎 + 𝛿 então 𝑓
Prova: Análoga ao teorema 10.
Cuidado: Muitos alunos cometem o erro de dizer que se 𝑓: 𝑋 → ℝ é diferenciável em 𝑎 com 𝑓
′
0 , então ela é estritamente crescente em um intervalo
[
]
∩ 𝑋. Isso é falso!! Um bom
exemplo é: Tome 𝑋 = {
1
𝑛
: 𝑛 ∈ ℕ} ∪ { 0 } e 𝑓: 𝑋 → ℝ dada por 𝑓( 0 ) = 0 , 𝑓 (
1
𝑛
1
𝑛
se 𝑛 ímpar e
1
𝑛
𝑛+ 2022 √
𝑛
𝑛
2
se 𝑛 par.
Veja que 𝑋
′
𝑓(
1
𝑛
)
1
𝑛
= 1 se 𝑛 ímpar e
𝑓(
1
𝑛
)
1
𝑛
2022
√𝑛
se 𝑛 é par. Daí, existe lim
𝑥→ 0
𝑓
( 𝑥
)
𝑥
= 1 o que
nos dá 𝑓
′
( 0 ) = 1. Mas observe que para 𝑛 ímpar 𝑓 (
1
𝑛
1
𝑛+ 1
1
𝑛
𝑛+ 1 + 2022 √𝑛+ 1
( 𝑛+ 1
)
2
1
𝑛
𝑛 + 1 que é verdade, apesar de
1
𝑛
1
𝑛+ 1
Definição: Dizemos que 𝑎 é um ponto de acumulação à direita de 𝑋 (𝑎 ∈ 𝑋
′
) se 𝑎 é ponto de
acumulação de 𝑋 ∩ (𝑎, ∞). Analogamente, 𝑎 é um ponto de acumulação à esquerda de 𝑋 (𝑎 ∈ 𝑋
−
′
se 𝑎 é ponto de acumulação de 𝑋 ∩
Teorema 11: Seja 𝑓: 𝑋 → ℝ e 𝑎 ∈ 𝑋 ∩ 𝑋
′
−
′
tal que existe 𝑓
′
e 𝑎 é um ponto de mínimo local
ou de máximo local, isto é, existe 𝛿 > 0 tal que min{𝑓(𝑥): 𝑥 ∈ [𝑎 − 𝛿, 𝑎 + 𝛿]} = 𝑓(𝑎) ou
max
[
]}
. Então 𝑓
′
Prova: Façamos o caso em que 𝑎 é ponto de mínimo local (o outro é análogo), isto é,
min
[
]}
. Bem, como existe 𝑓
′
, vejamos cada situação:
(i) Se 𝑓
′
(𝑎) > 0 , pelo teorema 10, existe 𝑙 ∈ [𝑎 − 𝛿, 𝑎) tal que 𝑓(𝑙) < 𝑓(𝑎).
(ii) Se 𝑓
′
< 0 , pelo teorema 10’, existe 𝑙 ∈
]
tal que 𝑓
Ambos geram uma contradição. Portanto, 𝑓
′
Observações:
(1) Observe a função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓(𝑥) = |𝑥|. Apesar de 0 ∈ ℝ ∩ ℝ
′
−
′
e 0 ser
mínimo local, 𝑓
′
não existe.
(2) Observe a função da parte “Cuidado” acima. Apesar de 0 ser mínimo local e 0 ∈ 𝑋 ∩ 𝑋
′
e
existir 𝑓
′
, 0 não é elemento de 𝑋
−
′
e daí o teorema não é aplicado.
(3) A volta do teorema não é verdade. Tome a função 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓
3
. Bem,
temos que 0 ∈ 𝑋 ∩ 𝑋
′
−
′
e
𝑓(𝑥)−𝑓( 0 )
𝑥− 0
2
para todo 𝑥 ≠ 0 e como lim
𝑥→ 0
2
= 0 segue
que 𝑓
′
( 0 ) = 0 , mas 0 não é nem máximo nem mínimo local.
Teorema de Rolle: Seja 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ contínua com 𝑓 diferenciável em (𝑎, 𝑏) e 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏). Então
existe 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓
′
Prova: Pelo teorema de Weierstrass (corolário do teorema 6), como
[
]
é compacto e 𝑓 contínua,
𝐼𝑚(𝑓) é compacto e portanto admite mínimo e máximo.
(i) Se 𝑀 = 𝑚 então a função é constante, cuja derivada em todo ponto de
vai ser nula.
De fato, para 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏),
𝑓
( 𝑦
) −𝑓
( 𝑥
)
𝑦−𝑥
= 0 para todo 𝑦 ≠ 𝑥 e daí 𝑓
′
(ii) Se 𝑚 < 𝑀 então ou 𝑓
𝑚 ou 𝑓
< 𝑀. Vejamos o caso em que 𝑓
Assim existe 𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) com 𝑓(𝑐) = 𝑚, o que torna 𝑐 mínimo local. Logo, 𝑓
′
(iii) O caso em que 𝑓
< 𝑀 é análogo.
Ora, muito de vocês que conhecem o Teorema de Valor Médio devem achar o Teorema de Rolle
meio “fraquinho”. Bem, de o Teorema de Valor Médio é mais forte, mas iremos usar o teorema de
Rolle na prova dele.
Teorema do Valor Médio: Seja 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ contínua com 𝑓 diferenciável em (𝑎, 𝑏). Então existe
𝑐 ∈ (𝑎, 𝑏) tal que 𝑓
′
𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎
- Seja 𝐼 um intervalo aberto tal que 𝑓: 𝐼 → ℝ é diferenciável e existe 𝑘 > 0 tal que
′
para todo 𝑥 ∈ 𝑋. Prove que 𝑓 é 𝑘 - Lipschitz.
- (Derivada de polinômios) Resolva os itens:
(a) Seja 𝑛 um inteiro positivo. Prove que 𝑓: ℝ → ℝ dada por 𝑓
𝑛
é diferenciável e calcule
′
(b) Prove que todo polinômio 𝑃: ℝ → ℝ de uma variável e coeficientes reais é diferenciável. Em
particular, ele é contínuo.
(c) Prove que sendo 𝑃 o polinômio do item anterior, então 𝑃
′
é um polinômio com deg 𝑃
′
deg 𝑃 − 1 se deg 𝑃 ≥ 1 ou 𝑃
′
≡ 0 se 𝑃 é constante.
- Seja 𝑓: 𝐼 → ℝ , onde 𝐼 é um intervalo, uma função 2 vezes diferenciável, isto é, 𝑓
′
: 𝐼 → ℝ existe e
é diferenciável. Prove que 𝑓 é convexa se, e somente se, 𝑓
′′
≥ 0 para todo 𝑥 ∈ 𝐼.
- (Desigualdade de Jensen) Seja 𝑓: 𝑋 → ℝ uma função convexa. Prove que para quaisquer 𝑛 ∈ ℕ ,
1
2
𝑛
∈ 𝑋 e 𝑡
1
2
𝑛
0
com
𝑖
𝑛
𝑖= 1
= 1 e
𝑖
𝑛
𝑖= 1
𝑖
∈ 𝑋 temos que
𝑖
𝑛
𝑖= 1
𝑖
𝑖
𝑛
𝑖= 1
𝑖
). Como ficaria a desigualdade se 𝑓 fosse côncava em vez de convexa?
Problemas
- (OBM 2021) Um conjunto 𝐴 de números reais é enquadrado quando é limitado, e para todos
𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 não necessariamente distintos, (𝑎 − 𝑏)
2
∈ 𝐴. Qual é o menor número real que
pertence a algum conjunto enquadrado.
- (OBM 2003) Seja 𝑓: ℝ
0
→ ℝ tal que:
(i) Se 𝑥 < 𝑦 , então 𝑓(𝑥) < 𝑓(𝑦).
(ii) Para todos 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ
0
temos que 𝑓 (
2 𝑥𝑦
𝑥+𝑦
𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)
2
Prove que existe 𝑥 ∈ ℝ
0
tal que 𝑓
OBS: ℝ
0
denota o conjunto dos reais positivos.
- (IMC 2018) Sejam {𝑎
𝑛
𝑛≥ 1
e {𝑏
𝑛
𝑛≥ 1
sequências de reais positivos. Prove que as duas
proposições abaixo são equivalentes:
(i) Existe uma sequência
𝑛
𝑛≥ 1
de reais positivos tal que
𝑎
𝑛
𝑐
𝑛
∞
𝑛= 1
e
𝑐
𝑛
𝑏
𝑛
∞
𝑛= 1
convergem.
(ii) ∑
∞
𝑛= 1
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
converge.
- (IMC 2018) Seja {𝑎
𝑛
𝑛≥ 0
uma sequência de números reais tal que 𝑎
𝑛+ 1
3
𝑛
2
− 8 para todo
Prove que a série ∑ |𝑎
𝑛+ 1
𝑛
∞
𝑛= 0
é convergente.
- (IMC 2018) Considere a seguinte sequência (𝑎
𝑛
𝑛≥ 1
Encontre todos os pares
de reais positivos tais que
lim
𝑛→∞
𝑘
𝑛
𝑘= 1
𝛼
- Defina a sequência 𝑎
0
1
, … por 𝑎
0
1
1
2
, e 𝑎
𝑛+ 1
𝑛𝑎
𝑛
2
1 +(𝑛+ 1 )𝑎
𝑛
, para todo 𝑛 ≥ 1.
Prove que a série ∑
𝑎 𝑘+ 1
𝑎 𝑘
∞
𝑘= 0
converge e determine seu valor.
- Seja 𝑓: ℝ → ℝ uma função contínua. Um ponto 𝑥 é chamado shadow point se existe 𝑦 ∈
ℝ com 𝑦 > 𝑥 tal que 𝑓
. Sejam 𝑎 < 𝑏 números reais e suponha que
∙ Todos os pontos no intervalo aberto 𝐼 = (𝑎, 𝑏) são shadow points;
∙ 𝑎 e 𝑏 não são shadow points.
Prove que:
(a) 𝑓
para todos 𝑎 < 𝑥 < 𝑏.
(b) 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑏).
- Para 𝑅 > 0 inteiro, denote por 𝑛
a quantidade de pares
∈ ℤ tais que 𝑥
2
2
= 𝑅. Qual
o valor de
lim
𝑅→∞
𝑛( 1 )+𝑛( 2 )+⋯+𝑛(𝑅)
𝑅
- (China) Dado um inteiro 𝑛 ≥ 2 e números reais 0 < 𝑎 < 𝑏. Sejam 𝑥
1
2
𝑛
[
]
Encontre (em função de 𝑛, 𝑎, 𝑏 ) o valor máximo de
1
2
2
2
2
3
𝑛− 1
2
𝑛
𝑛
2
1
1
2
𝑛
- Seja 𝑃(𝑥) um polinômio não-nulo ímpar de grau 𝑛 > 1 com coeficientes reais não-
negativos. Seja Γ = {(𝑥, 𝑃
): 𝑥 ∈ ℝ} o gráfico desse polinômio no plano coordenado.
Existem pontos 𝐴
1
2
𝑛
∈ Γ, distintos 2 a 2, tais que a reta tangente a Γ em 𝐴
𝑖
também passa por 𝐴
𝑖+ 1
para todo 𝑖 = 1 , 2 , … , 𝑛 , onde 𝐴
𝑛+ 1
1
