Áreas e volumes, Notas de estudo de Informática

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Áreas e Volumes

Engenharia

Profa: Alessandra Stadler Favaro Misiak

Cascavel – 2010

FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG

Áreas Unidade de área

Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.

Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.

Área do Retângulo

A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.

A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC. Assim:

A = b × h

Área do quadrado

Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.

Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.

A = x²

A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura.

( )

A = B^1 + b^2 ⋅ h

Área do Triângulo

A área de um triângulo qualquer é a metade do produto da medida da base pela medida da altura.

b h

A

Casos especiais: Conhecidos dois lados (a e b) e o ângulo (

^

C ) formado por eles:

a b sen ( C )

A

♦ Conhecidos três lados (a, b e c):

a b c

p

A = p ⋅( p − a )⋅( p − b )⋅( p − c )

Área do Triângulo eqüilátero

No triangulo eqüilátero, todos os lados são congruentes, todos os ângulos internos são congruentes (60^0 , 60^0 , 60^0 ) e toda altura é também mediana e bissetriz. Assim:

l

A

Área do hexágono regular

O hexágono regular é um polígono especial, pois é formado por seis triângulos eqüiláteros. Assim:

^ ⋅

l

A

Área do circulo regular

Área do círculo é o valor limite da seqüência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.

A = π⋅ r^2

12. Calcule a área de uma região triangular limitada pelo triangulo cujos lados medem 4cm, 6cm e 8cm?
13. Calcule a área do terreno cuja forma e dimensões estão representadas pela figura.
14. Qual a área região triangular limitada pelo triangulo cujas as medidas estão indicadas na figura ao lado?
15. Um terreno tem a forma da figura abaixo e suas medidas estão indicadas na figura. Calcule a área desse terreno.

16. A área de um triângulo eqüilátero é de 16 3 cm^2. Nessas condições, qual é perímetro do triângulo?

17. Calcule a área da região poligonal de uma cartolina limitada por um hexágono regular de lado 10cm.
18. Um piso de cerâmica tem a forma hexagonal regular. O lado do piso mede 8cm. Qual é a área desse piso?
19. Um hexágono regular tem 12cm de lado. Determine a área desse hexágono.
20. Uma pizzaria oferece aos seus clientes pizzas grandes, de forma circular, por R$ 5,40. Para atender alguns pedidos, a pizzaria passará a oferecer a seus clientes pizzas médias, também de forma circular. Qual deverá ser o preço da pizza média, se os preços das pizzas médias e grandes são proporcionais às suas áreas? ( raio da pizza grande 18cm e da média 12cm)
21. Um disco de cobre tem 20cm de diâmetro. Qual é a área desse disco?
22. Qual é a área da figura a seguir?

23. Quatro círculos de raios unitário, cujos centros são vértices de um quadrado, são tangentes exteriormente dois a dois. A área da parte sombreada é:
24. Na figura, ABCD é uma figura de lado igual a 8. Os arcos que limitam a região sombreada tem raios iguais a 8 e seus centros em A e C. Calcule a área pintada.
25. Determine a área das figuras a seguir:

a) 10cm b) 7cm 10cm

7cm 10cm

c) d)

4m

4m

A B

C D

Volumes

Prisma

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos.

Quanto à base , os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:

Prisma triangular Prisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal

Base:Triângulo Base:Quadrado Base:Pentágono Base:Hexágono

Planificação do prisma

Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases.

As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma "superfície" que pode ser planificada no plano cartesiano. Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às bases. A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.

Área da superfície do prisma

Em todo prisma, consideramos:

Área lateral (A l ): é formada pela área da superfície lateral;

Área total (A t ): é formada pela área da superfície lateral e pelas bases;

EXEMPLOS:

1. Em um prisma hexagonal regular, a aresta da base mede 3cm e a aresta da face lateral mede 6cm. Calcule: a) área da base; b) área lateral; c) área total.
2. Uma indústria precisa fabricar 10.000 caixas de sabão com as medidas da figura abaixo. Desprezando as abas, calcule aproximadamente, quantos m^2 de papelão serão necessários.
3. Quantos cm^2 de cartolina, aproximadamente, foram usados para montar um cubo de 10cm de aresta?
4. Dispondo de uma folha de cartolina de 50cm de comprimento por 30cm de largura, pode-se construir uma caixa aberta cortando um quadrado de 8cm de lado em cada canto da folha. Quantos cm^2 de material são necessários terá essa caixa?

Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicação importante em sua vida?

A Construção de cilindros

Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.

Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.

A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.

Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

Objetos geométricos em um "cilindro"

Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:

1. Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.
2. Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".
3. Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".
4. Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
5. Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.
6. Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.
7. Área total: É a medida da superfície total do cilindro.
8. Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

Classificação dos cilindros circulares

1. Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.
2. Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.
3. Cilindro eqüilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.

Área lateral e área total de um cilindro circular reto

Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por:

Alateral = 2 ⋅ π⋅ r h ⋅

onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.

Atotal = Alateral + 2. Abase Atotal = 2 ⋅ π ⋅ r h ⋅ + 2 ⋅ π⋅ r^2 Atotal = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ ( h + r )

Volume de um "cilindro"

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.

V = Abase .h

Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então:

V = π ⋅ r^2 ⋅ h

1. Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.
2. Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.
3. Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
4. Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
5. Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base.
6. Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
7. Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
8. Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Classificação do cone

Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

Observações sobre um cone circular reto

Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos

A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.

Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista" na figura abaixo:

A área da base do cone é dada por:

Abase = π ⋅ r^2

A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

Alateral = π ⋅ r g ⋅

A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

Atotal = π ⋅ r g ⋅ + π ⋅ r^2 = = π ⋅ r ⋅ ( g + h )

O volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V = 2

π ⋅ r ⋅ h

Cones Equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

EXERCÍCIOS

1. Num paralelepípedo, as dimensões da base são 4cm e 7 cm. Sendo a altura do paralelepípedo 5cm, determine o volume. Quanto material será usado para construir está caixa?
2. Quantos litros de água são necessários para encher uma caixa d`água cujas dimensões são: 1,20m por 90cm por 1m? (lembre-se que 1m^3 =1000l).
3. Um cubo tem área de 96 m^2. Qual é a medida da aresta do cubo? Determine seu volume.
4. As bases de um prisma são triângulos eqüiláteros e a s faces laterais são regiões retangulares. Determine a área total do prisma sendo 6cm a medida da aresta da base e 10cm a medida da aresta lateral. Determine seu volume.
5. Quantos cm^2 de papel adesivo são gasto para cobrir a superfície total de uma peça sextavada cuja a forma e medidas estão na figura abaixo? Qual o volume da peça?
6. As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 5cm, 8cm e 12cm. Uma cavidade em forma de prisma reto de base triangular de 3cm de lado, estende-se da base inferior à base superior do paralelepípedo. Determine a área total da figura resultante (Contanto a parte de dentro e de fora). Determine o volume do sólido resultante (sem o prima triangular).

7. A área da base de um prisma regular de base hexagonal é de 12 3 cm^2. Calcule a área lateral, sabendo

que a aresta lateral é o dobro da aresta da base.

8. É dado um prisma pentagonal regular no qual a aresta da base mede 5cm e a aresta lateral mede 10cm. Qual a área lateral do prisma?
9. Quantos m^2 de azulejo são necessários para revestir até o teto a s quatro paredes de uma cozinha com as dimensões da figura ao lado? Sabe-se, também, que cada porta tem 1,60m^2 de área e a janela tem uma área de 2m^2. Qual o volume dessa cozinha?

10. Qual é o volume em litros de uma caixa-d`água cúbica cuja aresta mede 120cm? Quanto material cm^2 de material é necessário para construir essa caixa?

11. Qual é o volume de um cubo de aresta 5 3? E a área total?

12. Quanto mede a aresta de um cubo que tem 1000 dm^3 de volume?
13. Qual deve ser a medida da aresta de uma caixa-d’água cúbica para que ela possa conter 8000 l de água?
14. Uma caixa de papelão tem o tipo e o tamanho da figura ao lado. Sua base é uma região limitada por um trapézio isósceles de altura 20cm e de bases 10cm e 40cm. Quantos m^2 de papelão são necessários para se fazer uma caixa desse tipo? Determine o volume da caixa.
15. Três cubos de chumbo são com arestas de 6cm, 8cm e 10cm, respectivamente, são fundidas em uma única peça cúbica. Qual é o volume da peça cúbica única? Qual é a medida da aresta? Determine a área total.
16. Calcule o volume de uma peça de metal cuja formas estão na figura abaixo:
17. Uma piscina tem as dimensões: 12m de comprimento, 7m de largura e 2,70m de profundidade. Qual é a quantidade máxima em litros que essa piscina pode conter. Se para ladrilhar a piscina foram usados azulejos quadrados de 20cm de lado. Quantas peças, aproximadamente, foram usadas?
18. O volume de um prisma de base quadrada é 700cm^3. O perímetro da base é de 40cm. Calcule a altura o prisma e a área total.