APS ENGENHARIA UNIP - DP/ADAPTAÇÃO/TRABALHO SEMESTRAL, Exercícios de Engenharia Civil

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GUSTAVO HENRIQUE CAVATÃO

RA: F3165F-0 / TURMA: EC5P

ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA:

Matemática, Física, Filosofia e o pensamento científico

RIBEIRÃO PRETO – SP

GUSTAVO HENRIQUE CAVATÃO

RA: F3165F-0 / TURMA: EC5P

ATIVIDADE PRÁTICA SUPERVISIONADA:

Matemática, Física, Filosofia e o pensamento científico

Atividade apresentada como requisito avaliativo semestral para a obtenção de nota na disciplina Atividades Práticas Supervisionadas, referente ao 3º Semestre do curso de Engenharia Civil da Universidade Paulista – UNIP. Prof. Dr. Fernando Brant.

RIBEIRÃO PRETO – SP

• Figura 01 - Joahannes Kepler
• Figura 02 – Primeira lei de Kepler
• Figura 03 – Segunda lei de Kepler
• Figura 04 – Modelo planetário feito de sólidos platônicos
• Figura 05 – Pierre de Fermat
• Figura 06 – Carl Friedrich Gauss
• Figura 07 – Cálculo da Translação, ao quadrado, de Júpiter
• Figura 08 – Cálculo da Translação de Júpiter
• 1 – BIOGRAFIA SUMÁRIO
• 1.1 – JOAHANNES KEPLER
• 1.1.2 – PRINCIPAIS OBRAS
• 1.1.3 – PRINCIPAIS FRASES
• 1.2 – PIERRE DE FERMAT
• 1.2.1 – PRINCIPAIS OBRAS
• 1.2.2 – PRINCIPAIS FRASES
• 1.3 – CARL FRIEDRICH GAUSS
• 1.3.1 - DISPUTATIONES ARITHMETICAE
• 1.3.2 – PRINCIPAIS OBRAS
• 1.3.3 – PRINCIPAIS FRASES
• 2 - ANÁLISE DA FUNÇÃO
• 3 – IMPACTOS
• 4 – DISSERTAÇÃO
• 5 – BIBLIOGRAFIA

1 - BIOGRAFIA

1.1 – JOAHANNES KEPLER

Figura 01 - Joahannes Kepler. Fonte: Revista Galileu, 2016. Johannes Kepler (1571-1630), nascido em Weil der Stadt, Alemanha, foi um brilhante astrônomo. Estudou teologia na Universidade de Tübingen passando depois para o campo da matemática, tornando-se professor em 1593. Usando o sistema planetário heliocêntrico escreveu um calendário anual e um almanaque, em 1596 publicou Mysterium Cosmographicum (Mistério Cósmico), tornando-se o primeiro cientista conhecido publicamente a apoiar Copérnico. Ele mostrou que o Sol impele os planetas para suas órbitas com força que diminui proporcionalmente ao quadrado da distância, mas mesmo assim seus cálculos não conseguiam prever com satisfação os eventos celestiais, pois necessitava de observações mais recentes dos planetas. Quatro anos mais tarde, em 1600, mudou-se para Praga onde conheceu Tycho Brahe (1546-1601). Tycho Brahe era um astrônomo dinamarquês que possuía um estudo extenso de dados planetários e que havia montado um novo

focos bem distantes uns dos outros. Já, para u grau de excentricidade baixo, os focos estarão mais pertos um do outro.  2ª Lei: O raio-vetor (linha imaginária que liga o Sol ao planeta) segue as áreas proporcionais ao período de tempo gasto durante o movimento do planeta. Assim o raio-vetor equivale a áreas iguais em intervalos de tempo iguais, ou seja, os planetas não se movimentam com uma velocidade uniforme; eles se movem mais rápido quando estão mais perto do Sol. Figura 03 – Segunda lei de Kepler. Fonte: InfoEscola, 2015. Conforme ilustração, as áreas A1 e A2 são iguais. As áreas A1 e A2 são iguais considerando que os tempos para o planeta ir de A e B e de C a D são iguais. Quando mais perto do sol o planeta se move com maior velocidade (arco AB) do que quando está mais longe do Sol (arco CD). Isso se dá pelo fato de o planeta sofrer uma força de atração maior (comprovado mais tarde por Isaac Newton). No seu livro Harmonices Mundi (Harmonia do Mundo, de 1619) Kepler apresentou sua terceira lei astronômica que diz que os quadrados dos períodos de translação dos planetas em torno do Sol são proporcionais aos cubos dos raios

r³

médios de suas órbitas, o que significa que, se conhecermos o período de rotação de um planeta, poderemos calcular a distância que ele está do sol.  3ª Lei: Expressão: T 1² R 1³

T 2²

R 2³

= cte

Onde: T= período de revolução do planeta R= raio da órbita do planeta O quadrado do período de translação “T” de um planeta em torno do Sol é diretamente proporcional ao cubo do raio médio “r” de sua órbita. Expressão: T ²= K ∗ r ³ Onde:  T = Período  r = Distância Média  K = Constante, possui, aproximadamente, valor igual para todos os planetas. Para K, fazendo uso da lei da Gravitação Universal, podemos encontrar seu valor através da equação: Onde G é a constante gravitacional dada por 6,67*10-11. Sendo assim, a fórmula final fica:

Cosmographicum”, em 1569, demonstrou que o Sol impele os planetas para suas órbitas, e que a força utilizada para isso diminui na proporção do quadrado da distância. Figura 04 – Modelo planetário feito de sólidos platônicos. Fonte: SuperInteressante, 2020 As três leis de Kepler valem para qualquer sistema em torno de um corpo central, ou seja, um planeta ao redor de uma estrela, como por exemplo, a Terra em torno do Sol ou até mesmo um satélite artificial em torno de um planeta. Em 1625 Kepler publicou os dados dos estudos de Brahe em Tabelas Rudolfinas e suas descobertas feitas a partir dos dados de Brahe, formaram a base para a lei da gravitação universal de Isaac Newton. Kepler morreu em 1630, em Regensburg, na Baviera, deixando um legado muito importante, conseguiu provar a teoria heliocêntrica de Copérnico (que diz que o sol permanece em repouso enquanto todos os planetas giram ao seu redor em órbitas circulares) com uma pequena alteração, as órbitas seriam elípticas, ele foi o primeiro a pensar em órbitas elípticas e não circulares dos planetas. Johannes Kepler foi um dos nomes mais influentes da denominada “revolução científica”, sendo considerando o seu pilar. O reflexo do seu trabalho na sociedade atual é de extrema importância na compreensão que temos hoje do universo, uma vez que as suas leis e constatações serviram de base para inúmeras outras descobertas no mundo da física, especificamente na astronomia moderna. Nomes importantíssimos da física como Issac Newton (com sua lei da gravitação) e Stephen

Hawking (com suas pesquisas nas áreas da cosmologia teórica e gravidade quântica), apoiaram-se nas teorias de Kepler para impulsionar a física até patamares absolutamente inacreditáveis. Kepler foi importante também para o desenvolvimento da filosofia natural e da histografia da ciência. Em reconhecimento ao seu trabalho foram lançadas na Áustria, em 2002, moedas com sua temática, destinadas a colecionadores, além de uma estátua em praça pública no centro de Praga, na República Tcheca. Em 2009, a NASA (National Aeronautics and Space Administration), homenageando-o pelas suas contribuições na astronomia, batizou uma sonda espacial com seu nome. 1.1.2 – PRINCIPAIS OBRAS  Mistérios do Universo (1596)  Astronomia Nova (1609)  Stereometria (1615)  Sobre a harmonia do mundo (1619)  Compendium da Astronomia Copernicana (1621) 1.1.3 – PRINCIPAIS FRASES  “A natureza usa o mínimo possível de tudo.”  “As leis da Natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus.”  “Os caminhos que conduzem o homem ao saber são tão maravilhosos quanto o próprio saber.”  “Tão logo alguém descubra a arte de voar, não faltarão humanos vivendo na Lua e em Júpiter.”  “São grandes as vantagens industriais derivadas do princípio econômico da divisão do trabalho, porém, por causa disso, privou-se o trabalho do homem de alma e de vida.”

Posteriormente se mudou para Orléans, onde se formou como advogado cível, voltando para Toulouse abriu seu próprio escritório e fez carreira no Parlamento. Em 1631, tornou-se oficial do governo e se casou com Louise de Long, tiveram 5 filhos. Em 1637, elaborou um teorema denominado “Teorema Fermat”, deixando sua contribuição para a trigonometria. Ele se baseou no teorema de Pitágoras (a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa X²+Y²=Z² ou seja, Xⁿ+Yⁿ=Zⁿ) e afirmou que essa equação não tem solução se “ⁿ” for um número inteiro maior que 2 e X, Y e Z um número natural maior que 0. Em 1638 se tornou conselheiro auxiliar e em 1652 foi promovido a Juiz Supremo da Corte Criminal Soberana do Parlamento de Toulouse. Ainda assim, Fermat continuou com suas pesquisas, era considerado o “Príncipe dos Amadores” em seus tempos de advogado, pois não se dedicava tanto à matemática, fazendo isso apenas em suas horas de lazer, quase como um passatempo. Contudo, depois que ficou mais conhecido, suas descobertas foram publicadas e tiveram grande circulação. Tinha como inspiração os trabalhos do matemático Diofante Helenístico, e ao lado de René Descartes, se tornou um dos dois principais matemáticos da primeira metade do século XVll. Porém a relação entre Fermat e Descartes era conflituosa, Descartes propôs um desafio a Fermat, que conseguiu resolver com muita facilidade, elaborando um método para determinar tangentes, desenvolvido por sua abordável de mínimo e máximo. Após esse episódio, o filósofo Mersenne, também lhe propôs um desafio: encontrar a tangente da curva X³ + Y³ = 3AXY, em que o próprio Descartes não conseguiu provar, Fermat resolveu a equação e essa curva chama-se folium de Descartes. Pierre de Fermat, morreu no dia 12 de janeiro de 1665 em Castres, França. 1.2.1 – PRINCIPAIS OBRAS  Writings on Geometrical Loci Oeuvres de Fermat  Obra matematica varia  Oeuvres de Fermat, Publiees Par Les Soins de MM. Paul Tannery Et Charles Henry Sous Les Auspices Du Ministere de L'Instruction Publique.Vol. 1  Oeuvres de Fermat T  Oeuvres de Fermat T

 Oeuvres de Fermat T 1.2.2 – PRINCIPAIS FRASES  "Eu encontrei um número muito grande de teoremas excessivamente bonitos"  “É impossível para um número qualquer que seja um poder maior que um segundo número qualquer, ser escrito como uma soma de dois como poderes. Eu tenho uma demonstração realmente maravilhosa desta proposição mas esta margem é muito estreita para contê-la.”  “Vou compartilhar tudo isso com você sempre que você desejar.”  “E talvez, a posteridade vai me agradecer por ter mostrado que os antigos não sabiam de tudo.”  “Descobri uma prova verdadeiramente notável que esta margem é muito pequena para conter.”  “Eu sou mais isento e mais distante do que qualquer homem no mundo.” 1.3 – CARL FRIEDRICH GAUSS Figura 06 – Carl Friedrich Gauss. Fonte: Brasil Escola, 2011.

Em 1792 Gauss ingressou no Collegium Carolinum, aprofundando seus estudos estudando as obras de Leonhard Euler, Joseph-Louis de Lagrange e Isaac Newton; permaneceu nesse colégio por três anos onde fez incríveis descobertas e seus estudos em aritmética superior lhe propiciaram o apelido de príncipe da matemática. Em 1975 Gauss ingressou na universidade de Gottingen. Gauss redigiu um diário com suas descobertas, um de seus feitos foi desenhar um polígono de dezessete lados, impossível para sua época. Esse diário só foi divulgado 43 anos após sua morte, nele constam 146 anotações e breves exposições do seu conhecimento, de 1796 a 1814. O diário de Gauss foi usado por diversos cientistas que se tornaram famosos por suas descobertas, pois muitas idéias e pensamentos estavam incompletos e foram desenvolvidas e apresentadas por outros cientistas. Ao longo da sua vida, Gauss contribuiu com diversas áreas das ciências, entre elas: teoria dos números, geodésica, geometria diferencial, análise matemática geofísica, estatística, astronomia, eletrostática e óptica, seus estudos em geometria não euclidiana serviram como base para Albert Einstein lançar sua teoria da relatividade geral. Por volta de 1801, Piazzi descobriu Ceres, alguns cientistas o chamavam de asteróide outros de planeta anão, situava-se entre as órbitas de Marte e Júpiter. Poucas eram as informações sobre ele e era necessário que se calculasse sua órbita. Gauss propôs com êxito um novo método matemático onde traçava a trajetória de Ceres, elaborando pela primeira vez o que hoje conhecemos por método dos mínimos quadrados, extremamente útil em diversas aplicações científicas. Essa teoria foi confirmada por ele mesmo em 1811. Entre os anos de 1801 e 1816 o matemático voltou-se para a astronomia e nesse período realizou diversas publicações sobre a mecânica celeste. No fim de sua vida Gauss estudava a descrição de alguns fenômenos matemáticos como: as linhas de ação do campo magnético, a força centrífuga originada através da rotação terrestre e a geodésica. Nos seus estudos da geodésica, publicou aproximadamente 155 volumes sobre o assunto. Foi conselheiro científico dos governos de Hannover e da Dinamarca entre os anos de 1820 a 1848. Entre suas invenções estão o telégrafo óptico, o telégrafo a fio e o magnetômetro, porém nunca foram patenteadas por ele.

Carl Friedrich Gauss morreu no dia 23 de fevereiro de 1855. Sua morte também finalizou com muitos dos progressos científicos que ainda viriam, dando fim a uma era. A obra Disputationes arithmeticae foi um trabalho publicado em Leipzig, no ano de 1801, onde Gauss resumiu todas as idéias que teria tido durante os anos de 1795 a 1801. A obra foi dividida em sete partes:  Congruências em geral  Congruências de primeiro grau  Resto de potencias  Congruência do segundo grau  Formas quadráticas  Aplicações  Divisões do circulo 1.3.1 - DISPUTATIONES ARITHMETICAE  Congruências em Geral e Congruências de Primeiro Grau: Logo na primeira página, Gauss introduz um novo símbolo matemático e afirma que: Sendo a e b dois números inteiros, afirmamos que o número a é congruente ao número b, módulo m, onde m é um número inteiro não nulo, se e somente se, a diferença (a–b) for divisível por m ≠ 0. A congruência dos números a e b módulo m, será indicada pelo símbolo a ≡ b (modulo m). Por definição, temos: a ≡ b (mod m) Û a - b = k. m, onde k e m são números inteiros, com m não nulo. Assim, é possível afirmar que os números a e b são côngruos ou congruentes segundo o módulo m, ou simplesmente congruente módulo m. A escolha do símbolo por Gauss parte da analogia, feita por ele, entre congruências e igualdades. A noção de congruência é mais inclusiva, dado que podemos considerar a igualdade uma congruência de módulo 0.

A lei da reciprocidade quadrática ou theorema aureum, pode ser formulada de diversas maneiras, uma delas: O número primo “p” é um erro quadrático ou não é um erro de outro número primo “p” de acordo com ser um erro ou não de “p”.  A Divisão do Círculo: Nas duas últimas partes, Gauss aplica os resultados anteriores à congruência binomial onde p é um número primo e n é um número natural. A relação entre estas congruências aritméticas e a equação binomial xn=1 resulta na solução para o problema da divisão do círculo e da construção do polígono regular de 17 lados, resolvido por ele, após isso resolveu continuar como matemático, deixando de lado os planos de Filósofo. Em 16 de Julho de 1799, Gauss graduou-se Doutor em Filosofia pela Universidade de Helmstedt. A sua tese, publicada sob o título “Demonstrationova theorematis omnem functionem algebraicum rationalem integram uni usvariabilis in factores reales primi vel secundi gradus” é uma demonstração do Teorema Fundamental da Álgebra. Sobre o Teorema Fundamental da Álgebra pode falar de forma geral: Toda equação polinomial tem pelo menos uma raiz. O fato de uma equação polinomial de grau n ter sempre n raízes é então um simples corolário. As diferentes formas de demonstrar esse teorema são contribuições de suma importância dadas por Gauss, que influenciou tanto em Álgebra como em Teoria de Funções, mas sobretudo, na Teoria das Funções. Gauss participou também de forma importante em reação aos números complexos na forma: Z = a + bi onde i é a parte imaginaria que representa √ -1. Ele dizia que “o conjunto dos números complexos formam um corpo algebricamente fechado”. Na prática quer dizer que qualquer equação algébrica de grau não nulo pode possuir como solução um número complexo. Mais formalmente, a seguinte equação, possui pelo menos uma solução complexa. Este resultado é conhecido como teorema fundamental da álgebra e foi demonstrado pela primeira vez por Carl Friedrich Gauss, como conseqüência desse

teorema é que todo polinômio de grau n pode ser decomposto em um produto de n fatores lineares complexos: Em 1828, Gauss apresentou o “Teorema Egregium” e “idéias da curvatura Gaussiana”. 1.3.2 – PRINCIPAIS OBRAS  Teorema fundamental da Álgebra  Pesquisas Aritméticas  Teoria dos Números  Disquisitiones arithmeticae  Carl friedrich gauss werke: neunter band  Carl friedrich gauss theory of the motion of the heavenly bodies moving about the sun in conic sections: a translation of gauss's "theoria motus." with an apêndix  Carl friedrich gauss general investigations of curved surfaces  Carl friedrich gauss theory of the combination of observations least subject to errors: part one, part two, supplement 1.3.3 – PRINCIPAIS FRASES  “Os encantos dessa sublime ciência se revelam apenas àqueles que tem coragem de irem a fundo nela.”  “Deus faz aritmética.”  “A matemática é a rainha das ciências.”  “Não é o conhecimento, mas o ato de aprender, não a posse, mas o ato de chegar lá, que concede a maior satisfação.”  “O problema de distinguir números primos de números compostos e decompor os compostos em fatores primos é conhecido com o mais importante e útil na aritmética.”  “A matemática é a rainha das ciências.”  “Os encantos dessa sublime ciência se revelam apenas àqueles que tem coragem de irem a fundo nela.”