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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS III
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS III
1. NOÇÕES SOBRE ESTADO TRIPLO DE TENSÃO
1.1 - VETOR TENSÃO
Objetivos:
**- Definir vetor tensão e suas componentes
- Definir e identificar estado triplo de tensão
- Introduzir convenções relacionadas às tensões**
Para definir vetor tensão, vamos supor um corpo elástico, vinculado isostaticamente, em equilíbrio. Sob a ação de um sistema de forças ele se deforma. Em um plano cuja normal é "n", aparecerão forças internas necessárias para manter o equilíbrio da parte isolada do corpo (porção da esquerda), Figura 1. A distribuição destas forças é qualquer. Imaginemos um ponto P, situado neste plano e uma área ∆A, ao seu redor. Nesta área atuarão forças que serão equivalentes a uma resultante e a um momento (Figura 1). A resultante e o momento dependerão do plano que contém P. Para cada plano teremos uma resultante e um momento, normalmente diferentes.
Figura 1
Vamos indicar por M (^) n e Fn o sistema equivalente dependente do plano cuja normal é "n". Ao quociente da força resultante pela área chamaremos de tensão média. Se a área ∆A vai diminuindo a tendência do binário, Mn , é desaparecer, pois o braço de alavanca do binário tende a se anular. No limite vamos obter o vetor tensão que será definido como:
T (^) n =lim∆Α→ 0 (Fn / ∆Α )
A força Fn pode ser decomposta em suas componentes Fnn e Fnt Figura 2. Vamos definir tensão normal como:
σ (^) n = (^) lim∆Α→ 0 (Fnn/ ∆Α )
e tensão tangencial como:
τ (^) n = (^) lim∆Α→ 0 (Fnt/ ∆Α )
Figura 2
Caso seja adotado um sistema referencial prévio, de tal forma que um de seus eixos coincida com a normal ao plano e os outros estejam no próprio plano, a força Fnt será decomposta dando, por conseguinte, duas tensões tangenciais (Figura 3).
Figura 3
Os materiais obedecem mais às componentes do vetor tensão do que o próprio vetor. Assim, para cada plano passante por P, o vetor tensão dará origem a três componentes: uma tensão normal e duas tangenciais. Mas, para se definir um estado triplo de tensão, é necessário o conhecimento das tensões que atuam em três planos mutuamente perpendiculares através do mesmo ponto. Lembremos, fazendo uma analogia, que para se definir um estado plano, é necessário o conhecimento das tensões que atuam em dois planos perpendiculares através do ponto. A identificação de um estado triplo de tensão é feita quando as tensões atuantes nos três planos perpendiculares através do ponto, não podem estar situadas em um mesmo plano. Já no estado plano, todas as tensões atuantes nos dois planos perpendiculares que definem o estado plano através do ponto, estão situadas num mesmo plano. A Figura 4 indica as tensões atuantes em três planos perpendiculares através do mesmo ponto. As seis faces são definidas pelas direções de suas normais. Uma face positiva é aquela cuja normal está no sentido positivo do eixo coordenado. Os eixos x, y e z, seguem a regra da mão direita. Uma tensão normal σx na direção x, atuante na face positiva, é positiva quando seu sentido coincide com o sentido de x positivo. Se a mesma tensão atua em uma face negativa, ela é positiva quando seu sentido coincide com o sentido de x negativo. Todas as tensões normais apresentadas na Figura 4 são positivas. O índice da tensão normal
Figura 6
A somatória dos momentos em relação à x fornece:
yz yz zy zy^0 yz zy 2
dz dxdy. 2
dz dxdy. 2
dy dxdz. 2
dy
τ dxdz. +τ −τ −τ = ∴τ = τ
Analogamente:
τxy = τyx τxz = τzx
1.3 - REPRESENTAÇÃO TENSORIAL.
Objetivos:
**- Definir tensor tensão.
- Enunciar as propriedades da matriz.
- Representar, matricialmente, os estados triplos, duplo e mono-axial de** **Tensão.
- Identificar na matriz, as tensões normais principais.**
A matriz tensor tensão é definida do seguinte modo: em cada linha se colocam as tensões atuantes em um dos três planos que definem o estado de tensão: 1ª linha - plano x; 2ª linha - plano y ; 3ª linha - plano z. As tensões em cada coluna são colocadas conforme suas direções, mantendo sempre a ordem: direção x, y e z. Por exemplo: 1ª linha e 3ª coluna, tensão τxz - atua na face x, na direção z. 3ª linha e 2ª coluna, tensão τzy - atua na face z, na direção y.
Assim teremos:
zx zy z
yx y yz
x xy xz T
Como as tensões tangenciais são iguais duas a duas - equação (1.1), a matriz é simétrica em relação a sua diagonal principal.
Em um estado plano de tensões, as tensões atuantes em uma face (y, por exemplo) são todas nulas. Isto implica na matriz em se ter uma linha e uma coluna nulas:
zx z
x xz
T
Este mesmo raciocínio pode-se estender ao estado mono-axial de tensão, onde teremos, unicamente, uma tensão normal, que será principal.
(^00) z
T
Pode ser demonstrado que, em qualquer estado de tensão em um ponto, um elemento pode ser orientado de forma que as tensões tangenciais se anulam sobre suas faces.
As três direções assim obtidas são chamadas direções principais e as tensões normais, segundo estas direções, são denominadas de tensões normais principais (t.n.p.). Elas são representadas, simbolicamente, por σ 1 , σ 2 , σ 3 e entre elas é válida a condição seguinte:
Assim, nas faces onde atuam as tensões normais principais (t. n. p.), as tensões tangenciais são nulas. A identificação de uma t.n.p., na matriz do tensor tensão, é feita considerando o fato de serem nulas as tensões tangenciais atuantes na mesma linha (mesma face). Isto implica em se anularem as tensões tangenciais atuantes em uma linha e em uma coluna (igualdade das tensões tangenciais). Logo a t.n.p. ficará no cruzamento destas:
zy z
y yz
x
T
1.4 - REPRESENTAÇÃO ATRAVÉS DO CÍRCULO DE M OHR
Objetivos:
**- Esboçar e interpretar os círculos de Mohr para o estado triplo.
- Representar graficamente o estado triplo, pelas suas t.n.p.
- Definir tensões tangenciais principais (t. t. p.) através dos círculos de Mohr
- Determinar as intensidades das tensões tangenciais principais utilizando** **propriedades do círculo de Mohr.
- Calcular a tensão tangencial máxima em problemas tridimensionais.**
em que atua a tensão tangencial principal (t.t.p.), τ1,3 , faz ângulos de 45º com os planos onde atuam σ 1 e σ 3 respectivamente. A1ém disto, esta tensão está situada no mesmo plano de σ 1 e σ 3. Logo sua direção será a interseção destes dois planos (Figura 8). Analogamente para τ1,2 e τ2,3 (Figura 9).
Figura 8
Figura 9 São dois os planos que satisfazem as condições acima descritas; eles são perpendiculares entre si. Em um atua a t.t.p. positiva e no outro a negativa. Interessa-nos somente a intensidade e a direção desta tensão e não o seu sentido. Por isto colocamos a seta nas duas extremidades do segmento (ela tanto pode estar em um sentido como no outro).
1. 5 - CASO PARTICULAR IMPORTANTE Objetivo: - Determinar as t.n.p. de um estado triplo, quando se conhece uma delas, sem o desenvolvimento da equação do terceiro grau, utilizando as propriedades do estado plano de tensões.
A maioria dos casos que encontramos em engenharia, a posição de um dos planos principais e a t.n.p. que nele atua podem ser encontrados previamente. Então as duas t.n.p. restantes podem ser determinadas utilizando-se as propriedades do estado plano (Figura 10). Com efeito:
Figura 10
As tensões normal e tangencial que atuam no plano inclinado podem ser calculadas, através das equações de equilíbrio da estática, projetando as forças na direção normal ao plano e sobre o próprio plano. É claro que a força atuante na direção “z” não alterará as equações acima. É como se ela não existisse. Assim procedendo, obteremos as
mesmas equações para “σn ” e “τn” encontradas para o estado plano. Estas equações podem ser também interpretadas através do círculo de Mohr já estudado em “estado plano de tensões”. Resumindo, o estado de tensão da Figura 10 fica assim: σz é uma t.n.p.. O estado plano σy, σx e τxy fornecerá as outras duas t.n.p. O plano θ da Figura 10 é um dos planos paralelos à z, ou seja, paralelos a uma direção normal principal. Os planos x (θ = 0º) e y (θ = 90º) também são. Assim os pontos situados no círculo de Mohr determinado por σx , σy e τxy, representam valores de σ e τ atuantes em planos θ, paralelos a uma direção normal principal (z): planos que giram em torno de z. Do exposto acima podemos concluir que:
Cada ponto da circunferência que passa por σ 1 e σ 3 (Figura 7) corresponde a
valores de σ e τ que atuam em planos paralelos à direção 2. Analogamente para as
outras circunferências.
Os pontos situados na área hachurada (Figura 7) correspondem a valores de σ e τ que atuam em planos inclinados em relação às direções principais 1, 2 e 3.
1.6 - O ESTADO GERAL DE TENSÃO EM UM PONTO
Objetivos:
- Calcular as tensões normal e tangencial atuantes em um plano, quando se conhecem as tensões atuantes em três planos perpendiculares através do **ponto.
- Definido o estado de tensão através de um ponto, calcular as tensões** **normais principais (t.n.p.).
- Definir o elipsóide das tensões.
- Definir planos e tensões octaédricas e calculá-las em função das t.n.p.**
Através do diagrama do corpo livre (Figura 11), onde são colocadas as tensões atuantes em três planos perpendiculares através do ponto, pretende-se determinar a tensão normal e tangencial atuantes em um plano cuja normal é "n", através do mesmo ponto.
Dados:
face x: σx , τxy , τxz
face y: τyx , σy , τyz
face z: τzx , τzy , σz
Vetorialmente, podemos escrever, lembrando que
G G G
i , j e k são os unitários das
direções x, y e z respectivamente:
G (^) G G G T = Tx .i + Ty. j +Tz .k
O unitário da normal “n” é: N l.i m.j n.k
G G G G
Sendo σn , a projeção de
G
T sobre “n”:
n =^ T^ .N=Tx.l+Ty.m+Tz.^ n
G G
Por outro lado: 2 nt
2 n
T^2 =σ + τ
Logo: 2 n
2
τ nt = T − σ (1.7)
A intensidade do vetor T é: 2 z
2 y
2 T = Tx +T +T (1.8)
As equações (1.5) são gerais e válidas para qualquer plano “n” mesmo que este
seja o plano onde atua uma tensão normal principal. Neste caso, o vetor
G
T coincidirá com a normal e não teremos tensões tangenciais. Façamos então T = σp e assim:
T. n
T .m
T .l
z p
y p
x p
As equações (1.5) tornam-se: σ p.l = σx.l+ τxy.m+ τxz.n
ou:
.l .m ( ).n 0
.l ( ).m .n 0
( ).l .m .n 0
zx zy z p
yx y p yz
x p xy xz
Resolvendo (1.9) para calcular um dos cosenos diretores, por exemplo, l, temos:
l
zx zy z p
yx y p yz
x p xy xz
zy z p
y p yz
xy xz
A solução trivial 0,0,0 não serve pois l 2 + m^2 + n^2 = 1.
Uma solução não trivial para as direções dos cosenos dos planos principais existirá somente se o denominador for nulo. Este sistema terá uma solução diferente de zero, se o determinante dos coeficientes de 1, m e n for nulo. Logo:
zx zy z p
yx y p yz
x p xy xz
−
O desenvolvimento deste determinante dará origem à equação cúbica abaixo:
xy xz yz
2 z xy
2 y xz
2 x yz
p x y z
2 yz
2 xz
2 x y x z y z xy
2 x y z p
3 p − − + =
Pode ser demonstrado que as três raízes da equação (1.11) são reais, pois a matriz é real e simétrica. Estas serão os valores das tensões normais principais. Levando cada valor em troca na equação (1.9) e acrescentando ainda a relação l 2 + m^2 + n^2 = 1, pois no sistema de equações lineares e homogêneas (1. 9) uma equação é combinação linear das outras duas, obtém-se três conjuntos de cosenos diretores que localizarão as normais aos três planos onde atuam as tensões normais principais. Como a matriz (1.10) é simétrica, as três direções principais são sempre tri-ortogonais. Concluímos que:
Existem três planos, mutuamente perpendiculares, onde atuam as tensões normais principais. É evidente que as t. n. p., que são as raízes da equação cúbica (1.11), são determinadas pela natureza do estado de tensão em um ponto e não dependem do sistema de referência admitido.
Assim, ao girarmos o sistema original, x, y, z, os valores dos coeficientes da equação (1.11) não deverão alterar-se. Devido a isto, estes coeficientes são chamados de invariantes do estado de tensão.
São eles:
1 2 3 zx zy z
yx y yz
x xy xz 3
1 2 1 3 2 3
2 yz
2 xz
2 2 x y x z y z xy
1 x y z 1 2 3 x y z
I
I
I
Se I 3 = 0, uma das raízes da equação (1. 11) será nula. Neste caso, o estado de tensão é plano.
Se I 2 = I 3 = 0, duas raízes da equação (1.11) serão nulas. O estado de tensão correspondente é monoaxial.
Figura 13
(i j k) 3
( i j k). 3
T.N
T ( 3 3 ), T ( 3 3 ), T ( 33 )
l m n 1 3l 1 l= 1 3 m n
oc 1 2 3 1 2 3
oc 1 2 3
oc
x 1 y 2 z 3
2 2 2 2
G G G G G^ G
G G
Como σ 1 +σ 2 +σ 3 =I 1 , um invariante:
T
T
( i j k) 3
T
I
2 3 1
2 2 3
2 oc 1 2
2 oc
2 oc
2 3
2 2
2 1
1 2 3
oc 1 x y z
τ σ σ σ σ σ σ
τ σ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ σ
G G G G
1.7 - COMPLEMENTAÇÃO
Objetivos:
**- Definir cisalhamento puro no estado triplo
- Definir estado de tensão hidrostático.**
O estado de cisalhamento puro existe se um sistema particular de eixos Oxyz pode ser determinado satisfazendo a seguinte condição: σ x = σ y = σ z = 0. Este sistema particular de eixos existe, se, e somente se, o primeiro invariante das tensões, I 1 = 0.
Matricialmente:
ou 0
zx zy
yx y x yz
x xy xz
zx zy
yx yz
xy xz
Em ambos os casos, I 1 = 0. Por definição, um estado é hidrostático se:
σx = σy = σz = -p , e todas as tensões tangenciais desaparecem.
Matricialmente:
0 0 p
0 p 0
p 0 0
Um estado de tensão qualquer pode ser separado em um estado de cisalhamento puro mais um estado de tensão hidrostático. De fato:
zx zy z
yx y yz
x xy xz
0 0 p
0 p 0
p 0 0
( p )
( p)
( p)
zx zy z
yx y yz
x xy xz
(Estado hidrostático) (Cisalhamento Puro)
Desde que: ( σ (^) x + p)+ ( σ (^) y + p)+ ( σ (^) z + p)= 0
Ou:
x y z 3 .I 1
p =− σ +σ +σ =−
BIBLIOGRAFIA
HIGDON e outros. Mecânica dos Materiais. 3ª ed. Guanabara Dois
FEODOSIEV, I. Resistencia de Materiales .Editorial Mir. Moscou.
DALLY & RILEY. Experimental Stress Analysis. McGraw-Hill. 2ª ed.
A solda não suporta o carregamento !!!
¾ Exercício 1.
Para os pontos A e B da peça indicada abaixo, da seção quadrada sob torção- solicitação axial, pede-se:
1 - definir os estados de tensão de A e B. 2 - tensões normais principais. 3 - tensão tangencial principal maior.
T = 500 kgf.cm P = 1000 kgf Lado a = 2cm α = 0,
Solução :
1) σN = P/A τA=T/ α.a.b^2
σN = 250 kgf/cm^2 τA= 300 kgf/cm^2
2) B: σ 1 =250 , σ 2 = σ 3 =0 , A: σ 1 =450 , σ 2 =0 , σ 3 =-
3) B: τ1,3 =125 A: τ1,3 =
