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MATEMÁTICA I 1 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
INTRODUÇÃO ............................................................................. 2
ÂNGULOS E ARCOS NA CIRCUNFERÊNCIA ............................ 2
UNIDADES PARA MEDIR ANGULOS ......................................... 4
CICLO TRIGONOMÉTRICO ...................................................... 11
ASSOCIANDO NÚMEROS A PONTOS DO CICLO .................. 11
ARCOS CONGRUENTES .......................................................... 12
PRIMEIRA DETERMINAÇÃO .................................................... 13
SENO E COSSENO DE ÂNGULOS MAIORES QUE 90º .......... 24
LEI DOS SENOS........................................................................ 26
LEI DOS COSSENOS ................................................................ 29
RESPOSTAS ............................................................................. 34
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA ................................................ 35
No final das séries de exercícios podem aparecer sugestões de atividades complementares. Estas sugestões referem-se a exercícios do livro “Matemática” de Manoel Paiva fornecido pelo FNDE e adotado pelo IFMG – Campus Ouro Preto durante o triênio 2015-2017.
Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 2.
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
INTRODUÇÃO
Na apostila anterior, vimos uma ideia básica de Trigonometria. A partir de agora vamos ampliar os conceitos de seno, cosseno e tangente. Nesse novo contexto, o triângulo retângulo será insuficiente para as definições necessárias. Assim, vamos definir um novo “ambiente” para a trigonometria: o ciclo trigonométrico. Essa nova interpretação dos conceitos trigonométricos tem aplicações notáveis. A principal delas é no estudo de fenômenos periódicos como a oscilação de um pêndulo, movimento dos planetas em torno do Sol, movimentos ondulatórios, etc. Vamos também conhecer outra unidade para medir ângulos: o radiano. Vamos, nesta apostila, conhecer os conceitos fundamentais para este estudo.
ÂNGULOS E ARCOS NA
CIRCUNFERÊNCIA
Arco geométrico : é uma das partes de uma circunferência delimitada por dois pontos, inclusive.
Arco ou ângulo central : Todo arco de circunferência tem um ângulo central que o subtende.
Â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒂𝒍 𝑨Ô𝑩
Comprimento: o comprimento da circunferência é dado a partir de seu raio por C = 2r.
A sequência de imagens a seguir, ilustra bem a ideia do comprimento da circunferência. Essas imagens juntas formam um GIF que pode ser visto, animado, no link:
www.vidigal.ouropreto.ifmg. edu.br/comprimento-da- circunferencia/
I Nesta primeira imagem está destacado um par de eixos ortogonais e um segmento em vermelho que será o raio (radiano) da circunferência.
II Girando o raio para formar a circunferência
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Medida de um arco : é a medida do ângulo central que o subtende independente do comprimento do raio da circunferência.
Comprimento de um arco : o comprimento de um arco é dado em uma medida linear (por exemplo, centímetros, metros, etc.) em função do ângulo central que o subtende e do comprimento do raio da circunferência que o contém.
UNIDADES PARA MEDIR
ANGULOS
Medir é comparar o objeto a ser medido com uma grandeza unitária e no caso de ângulos não é diferente.
Grau : O arco unitário mais utilizado é
o grau que corresponde a 1 360 da circunferência na qual se encontra o arco a ser medido. Dessa forma, uma circunferência tem 360º (graus ).
Radiano : É o arco unitário cujo comprimento é igual ao raio da circunferência na qual se encontra o arco a ser medido. Como o comprimento da circunferência é dado por C = 2 r, há uma volta completa em 2 rad (radianos).
Desta forma, é possível estabelecer uma correspondência entre graus e radianos:
rad
rad
rad
rad
Ex.1: Transformar 45º em radianos:
Resolução: vamos aplicar regra de três
simples sabendo que rad equivale a
x rad
rad x
x
rad
Assim, º rad 4
Ex.2: Transformar rad 6
em graus:
Resolução: neste caso, basta lembrar
que rad = 180º e substituir por 180º.
rad rad
^
Assim, rad 30 º 6
MATEMÁTICA I 5 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
- Converta para radianos: a) 60º
b) 30º
c) 90º
d) 135º
e) 270º
MATEMÁTICA I 7 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
e) rad 5
f) rad 6
- Observe a figura abaixo:
O arco MN tem comprimento de 18 cm e o raio da circunferência é 6 cm. Determine em radianos e em graus a medida do ângulo central .
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Um pêndulo tem 18 cm de comprimento e, no seu movimento, suas posições extremas formam um ângulo de 50º. Qual é o comprimento do arco que a extremidade pêndulo descreve?
O maior ponteiro de um relógio mede 12 cm. Qual o comprimento do arco que a extremidade deste ponteiro percorre durante 20 minutos?
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Na figura acima, enquanto a tartaruga pronunciava a pergunta, o coelho distanciou 16,66m na pista circular de 31,83m de raio. Determine a medida, em graus, do arco descrito pelo coelho neste intervalo de tempo.
As duas polias da figura giram juntas por estarem ligadas por uma correia inextensível. Quantos graus deve girar a menor para que a maior dê uma volta completa?
MATEMÁTICA I 11 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
CICLO TRIGONOMÉTRICO
O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário montada sobre um sistema de eixos ortogonais com centro na origem orientada no sentido anti-horário a partir da intersecção com o ramo positivo do eixo horizontal.
O sistema de eixos divide o ciclo em quatro quadrantes.
A figura abaixo mostra as características descritas acima:
ASSOCIANDO NÚMEROS A
PONTOS DO CICLO
Cada número real x está associado à um ponto do ciclo trigonométrico. Para fazer esta associação, adotamos algumas convenções. Acompanhe no ciclo da figura:
- Ao número real x = 0, associamos o ponto A, chamado de ORIGEM DO CICLO;
- A um número real x qualquer, associamos um ponto P, final do seguinte percurso sobre o ciclo: Partimos da origem A Se x > 0, percorremos o ciclo no sentido anti-horário, chamado de sentido positivo. Se x < 0, percorremos o ciclo no sentido horário, chamado sentido negativo; O comprimento total do percurso é igual a | x |.
- O ponto P, final do percurso, está associado ao número x. Dizemos que P é a imagem de x no ciclo.
No ciclo a seguir estão destacadas as imagens dos números 2
e 2 .
Os pontos destacados acima, além da própria origem do ciclo, não estão em nenhum dos quadrantes. No exemplo a seguir estão outros pontos, agora fora dos eixos.
MATEMÁTICA I 13 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
Na segunda figura, o ponto
deslocou-se uma volta inteira ( 2 ou
360º) mais 3
ou 60º, ou seja, deslocou-
se 3
ou 420º.
Na terceira figura, o ponto
deslocou-se duas voltas inteiras ( 2 2
ou 2 360 º) e mais
ou 60º, ou seja,
deslocou-se 3
ou 780º.
Supondo que o ponto deslocasse k voltas inteiras, o número associado à extremidade B do arco AB será escrito da seguinte forma:
𝜋 3
Esta forma é chamada de expressão geral dos arcos de
extremidade 3
A partir desta ideia, podemos definir:
Ex.1: Escrever a expressão geral dos arcos côngruos a 45º.
Resolução:
A expressão geral é k 360 º.
Como 45 º , temos, como expressão
geral 45 º k 360 º,comkZ_._
Ex.2: Escrever a expressão geral dos arcos côngruos a 4
rad.
Resolução:
A expressão geral é x 2 k.
Como 4
x , temos como expressão
geral k ,comkZ
_____________________________
PRIMEIRA DETERMINAÇÃO
A primeira determinação de um arco é o menor arco não negativo congruente ao arco dado, ou seja, é a primeira imagem do arco no sentido anti- horário a partia da origem do ciclo.
Veja nos exemplos a seguir:
Ex.1: Qual a primeira determinação do arco de 1320º?
Resolução: Para encontrar a primeira determinação, devemos dividir o arco dado por 360º. O resto indicará a resposta procurada.
Dois arcos são côngruos quando suas medidas se diferem de um múltiplo de 2 ou 360º.
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Assim, 1320 º 240 º 3 360 º e a
primeira determinação é 240º. Ex.2: Qual a primeira determinação do arco de -750º?
Resolução:
Assim, 750 º 330 º 3 360 º e a primeira determinação é 330º.
- Localize, mesmo que aproximadamente, a imagem de cada um dos números abaixo, no ciclo trigonométrico a seguir:
a) 60º b) 300º
c)120º d) 240º
e) 405º f) 840º
- Localize, mesmo que aproximadamente, a imagem de cada um dos números abaixo, no ciclo trigonométrico a seguir:
a) rad 3
b) rad 4
c) rad 6
d) rad 3
e) rad 3
f) rad 6
- Indique a primeira determinação de cada um dos arcos a seguir: a) 685º
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
h) rad 3
i) rad 6
j) rad 5
k) rad 2
l) rad 4
- Escreva a expressão geral dos arcos congruentes aos arcos dados (dica: encontre, antes, a primeira determinação de cada arco) a) 800º
MATEMÁTICA I 17 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
b) 420º
c) 1640º
d) rad 4
e) rad 3
f) rad 5
- Dê a expressão geral, em radianos, dos arcos de extremidades nos pontos indicados: a)
b)
MATEMÁTICA I 19 TRIGONOMETRIA – CONCEITOS FUNDAMENTIAS
Qual o comprimento de um arco correspondente a um ângulo central de 60º contido numa circunferência de 1,5cm de raio?
Qual a primeira determinação de 2650º?
Qual a expressão geral dos arcos côngruos a 3
- Em qual quadrante está a extremidade do arco de 960º? E do arco de rad 3
CÁSSIO VIDIGAL 20 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
- Observe a figura a seguir:
No ciclo estão representadas as extremidades de quatro arcos: M , N , P e Q. As retas tracejadas são perpendiculares entre si. a) Escreva a expressão geral de cada um dos arcos em radianos.
b) Escreva uma única expressão geral que contenha os quatro pontos.
- Ao projetar prédios muito altos, os engenheiros devem ter em mente o movimento de oscilação típico de arranha-céus. Um prédio de 400m de
altura pode oscilar até
º
. Qual o
comprimento do arco descrito no ponto mais alto de um prédio como este? (Use = 3,1)
