APOSTILA - Matemática Financeira, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática Financeira

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Apostila de

Matemática Financeira

Sumário

• CAPITULO 01 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS: JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
  • 1.1 Capital e juros
  • 1.2 Porcentagem (rápida revisão)...............................................................................................
  • 1.3 Relações básicas ( Juros, taxas e montante)
  • 1.4 Regimes de capitalização: (Simples e Composta)................................................................
  • 1.5 Fluxos de caixa de uma operação
• CAPITULO 02 – JUROS SIMPLES
  • 2.1 Formulas de Juros simples e do Montante
  • 2.2 Taxas equivalentes
  • 2.3 Juros exatos e juros comerciais............................................................................................
• CAPÍTULO 03 – DESCONTO SIMPLES
  • 3.1 Introdução e conceitos
  • 3.2 Descontos comerciais ou bancário
  • 3.3 Relações entre taxa de desconto e taxa de juros simples
  • 3.4 Operações (de descontos) com um conjunto de títulos
• CAPITULO 04 – JUROS COMPOSTOS
  • 4.1 Fórmula do montante
  • 4.2 Períodos não Inteiros
  • 4.3 Taxas equivalentes
• CAPITULO 05 – TAXA REAL DE JUROS ( INFLAÇÃO E CORREÇÃO MONETÁRIA)
  • 5.1 Introdução e conceitos
  • 5.2 Índice de preços
  • 5.3 Taxa acumulada
  • 5.4 Principais índices de preços: Medidas de inflação
  • 5.5 Taxa real de juros
  • 5.6 Atualização monetária
• APENDICE – REVISAO DE MATEMÁTICA (FUNDAMENTAL)...................................................
  • I – Revisão de Porcentagem.......................................................................................................
  • II – Revisão de Frações
  • III – Revisão de Potências
• ATIVIDADES COMPLEMENTARES

1 – Conceitos Fundamentais: Juros Simples e Juros Compostos

A Matemática Financeira visa a estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações de di- nheiro e nos pagamentos de empréstimos. Tal definição é bem geral; o aluno terá oportunida- de de verificar, ao longo do curso, que a Matemática Financeira fornece instrumentos para o estudo e a avaliação das formas de aplicação de dinheiro, bem como de pagamento de em- préstimos.

1.1 O CAPITAL E O JURO

Chamamos de Capital qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empres- ta para outra durante certo tempo. Tendo em vista que o emprestador abstém-se de usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não-pagamento, surge o conceito de juro , que pode ser definido como o custo do empréstimo (para o tomador) ou a remuneração pelo uso do capital (para o emprestador).

Denominamos taxa de juros o valor do juro em uma certa unidade de tempo, expresso como uma porcentagem do capital. Assim, por exemplo: NOTA: No item 1.2 adiante há um peque- no resumo para revisar conceitos de porcentagem.

Se um Capital de $ 5.000,00 for emprestado por um mês à taxa de 2% a.m. (2% ao mês), o juro será iguala 2% de $ 5.000, que é $100,00. Lembre-se de que, para achar 2% de 5.000, basta multiplicar 5.000 por 0,02, que é a forma decimal de 2% (2% = 2/100 = 0,02).

Se o empréstimo for devolvido em um único pagamento, o tomador pagamento, o tomador pagará, ao final do prazo combinado, a soma do capital com o juro, que é denominada de Montante. Assim, para um empréstimo de $ 5.000,00 por um mês com juro de $100,00 , o montante será igual a $ 5.100,00.

Juros = R$ 100,00 Montante = M M = R$ 5.100, 0 1 Taxa de juros = i = 2% ao mês. Prazo = n = 1 mês Capital = C = R$ 5.000,

As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por meio da intermedi- ação de uma instituição financeira, que capta recursos de um lado e os empresta de outro. A captação é feita a uma taxa menor que a de empréstimo, e a diferença é a remuneração da instituição. São várias as opções de aplicação (também chamadas de instrumentos) que um investidor tem à sua disposição: por exemplo: a Caderneta de Poupança, o Certificado de Depósito Bancário (CDB) etc.

Cada opção tem sua taxa, em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Analo- gamente, os tomadores de empréstimos têm várias opções de financiamento (instrumentos), cujas taxas variam em função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas.

De um modo geral, quando as taxas sobem, os aplicadores tendem a aumentar a oferta de capitais, mas os tomadores tendem a diminuir a demanda por crédito. Na determinação das taxas de juros, o Governo tem uma grande influência, seja regulamentando o funcionamento das instituições financeiras, seja comprando ou vendendo títulos públicos, cobrando impostos etc. Os fundos de investimentos e os fundos de pensão e previdência também têm um impor- tante papel na intermediação financeira. O dinheiro dos investidores captado pelos fundos de investimentos é utilizado para a compra de títulos públicos e privados ou ações. Por meio dos ganhos oferecidos por estes papéis, o investidor recebe remuneração (quando um investidor aplica em um fundo de investimentos, ele adquire um certo número de cotas deste fundo, e a valorização da cota é decorrente da rentabilidade de seus papéis). Comportamento análogo ocorre com os fundos de previdência e pensão, em que o aplicador visa ao recebimento de uma renda por ocasião de sua aposentadoria.

1.2 - PORCENTAGEM (Revisão rápida)

Breve resumo para recordar. No final da apostila há uma revisão mais completa e exercí- cios preparados para revisão mais profunda: necessária para a continuação do assunto.

É frequente o uso de expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

• A gasolina teve um aumento de 15% Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,
• O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias. Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,
• Dos jogadores que jogam no Timão, 90% são craques. Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Timão, 90 são craques.

Razão centesimal : Toda a razão que tem para consequente o número 100 denomina-se razão centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razão centesimal de outras formas:

As expressões 7%, 16% e 125% são chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema:

• João vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu?

Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Exercícios de Fixação:

Os alunos deverão fazer esses exercícios fora da sala de aula. Sozinho ou de preferên- cia em grupos para fixar esses conceitos. Todos os exercícios (números 01 a 09) têm prazo n=1 ( ou seja, só um período)

1. Um capital de $ 2.000,00 é aplicado em cada uma das condições indicadas a seguir. Obtenha o juro e o montante em cada caso.

Item Taxa Prazo J= C x i Juros = $^ M = C + J M= $

a) 50% a.a. 1 ano 2,000 x 0,50 1.000 2.000 +1.000 3.

b) 30% a.s. 1 semestre

c) 12% a.t. 1 trimestre

d) 5% a.b 1bimestre

e) 1,7% .a.m. 1 mês

f) 0,03% a.d 1 dia

2. Calcule a taxa de Juros auferida (no período) por um investidor em cada uma das situa- ções seguintes:

Montante ($) Capital ($) Prazo I = (M/C)-1 I = (%)

a) 10.000,00 8.000,00 1 ano I= (10.000/8.000) - 1 25% a.a.

b) 15.000,00 13.500,00 1 semestre

c) 7.200,00 6.800,00 1 trimestre

d) 3.300,00, 3.200,00 1 bimestre

e) 2.420,00 2.400,00 1 mês

f) 4.002,00 4.000,00 1 dia

3. Calcule a taxa de juros (no período) paga por um tomador de empréstimos em cada uma das seguintes situações:

Capital Juro Prazo i = J / C i = % ao .......

a) 3.500,00 400,00 1 ano I = (400/3.500) 11,42 % a.a.

b) 8.000,00 1.200,00 1 semestre

c) 4.300,00 210,00 1 trimestre

d) 5.400,00 220,00 1 bimestre

e) 9.000,00 150,00 1 mês

f) 6.700,00 2,50 1 dia

4. Calcule o capital recebido por um tomador de empréstimos em cada uma das situações seguintes:

Taxa Prazo Juro Se J=C.i então C=J/i J = $

a) 28%a.a. 1 ano 14.000,00 C= 14.000 / 0,28 50.000,

b) 12%a.s. 1 semestre 24.000,

c) 3,8% a.t 1 trimestre 7.600,

d) 4% a.b 1 bimestre 10.800,

e) 1,8%a.m. 1 mês 3.600,

f) 0,06% a.d. 1 dia 6.000,

(5) Um banco anuncia o seguinte: “aplique hoje $ 666,67 e receba $1.000,00 daqui a um ano”. Qual a taxa anual de juros paga pelo banco?

(6)Um banco anuncia o seguinte: "aplique hoje $ 10.000,00 e receba daqui a três anos $ 20.000,00". Qual a taxa paga pelo banco no triênio?

(7)Um título, cujo valor de resgate daqui a seis meses é de $ 10.000,00, foi adquirido hoje por um fundo por $ 9.600,00. Qual a taxa de rendimento do papel no período?

(8) Um título governamental, cujo valor de resgate daqui a 42 dias é de $ 50.000,00, foi adquirido hoje por um fundo por $ 48.850,00. Qual a taxa de rendimento do papel no período?

(9) Hoje o valor da cota de um fundo de investimentos é de 17,24 e, há 65 dias, foi de 16,74. Qual a taxa de rendimento do fundo no período considerado?

Resolução: Durante o 1º ano, o juro gerado foi de 1.000(0,10) = 100, e o montante após um ano foi de $ 1.100,00. Durante o 2º ano, o juro gerado foi de 1.100(0,10) = 110, e o montante após dois anos foi de $ 1.210,00. Durante o 3° ano, o juro gerado foi de 1.210(0,10) = 121, e o montante após três anos foi de $ 1.331,00.

Esquematicamente, temos a figura 1.2:

A Figura 1.3 ilustra o montante a juros simples e compostos para efeito de comparação, utili- zando um capital de $ 1.000,00, taxa de 10% a.a. e prazos variando de 1 a 12 anos.

1 .5 FLUXO DE CAIXA DE UMA OPERAÇÃO

O fluxo de caixa de uma operação é uma representação esquemática muito útil na resolução de problemas. Basicamente, consta de um eixo horizontal em que é marcado o tempo, a partir de um instante inicial (origem); a unidade de tempo pode ser qualquer (ano, mês, dia etc.). As en- tradas de dinheiro em um determinado instante são indicadas por setas perpendiculares ao eixo horizontal, no instante considerado, e orientadas para cima; as saídas de dinheiro são indicadas da mesma forma, só que a orientação das setas é para baixo.

Exemplo:

Uma pessoa aplicou $ 50.000,00 em um banco e recebeu $ 6.500,00 de juros após 12 meses. O fluxo de caixa, do ponto de vista do aplicador, foi (Figura 1.4):

Atenção:

O fluxo de caixa, do ponto de vista do banco ficou exatamente na posição inversa: iniciando com uma entrada de caixa de $ 50.000,00 e recebendo um montante no final de $56.500,

Observações: importante:

1) Estamos usando o conceito de fluxo de caixa para aplicações e em préstimos; contudo, a mesma idéia é utilizada por empresas para representar entradas e saídas de dinheiro do caixa.

2) As setas do fluxo de caixa não são necessariamente proporcionais aos valores monetários en- volvidos.

3) Algumas vezes usaremos a notação esquemática de um conjunto de capitais, com setas em geral para cima, a fim de tornar claras certas idéias, sem que a representação indique um fluxo de caixa.

Exercícios de Fixação:

10. Um capital de $ 10.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 1,5% a.m. Obtenha o montan- te para os seguintes prazos: a) Dois meses. b) Três meses c) Cinco meses. d) Dez meses

11. Um capital de $ 700,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 20% a.a. Calcule o montante para os seguintes prazos: a) Um ano. b) Dois anos. c) Cinco anos. d) Dez anos

12. Um capital de $ 10.000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 10% a.a. Calcule o mon- tante para os seguintes prazos:

a)Um ano; b) Dois anos; c) três anos; d) Quatro anos; e) Cinco Anos

2– Juros Simples

2.1 Fórmula dos Juros Simples e do Montante

No capítulo anterior, vimos que, na capitalização simples, os juros eram iguais em todos os perí- odos, valendo o produto do capital pela taxa naquele período.

Consideremos um capital “c”, aplicado a juros simples, à taxa “i” por período, durante “ n” perío- dos de tempo. Vamos deduzir a fórmula dos juros após os “ n” períodos:

Juros após 1 período: J 1 = Ci Juros após 2 períodos: J 2 = Ci+ Ci = (Ci) Juros após 3 períodos: J 3 = Ci+ Ci+ Ci = (Ci)

Juros após n períodos: Jn = Ci+ Ci+ Ci + ... Ci = (Ci)n

Portanto, eliminando o índice “ n” quando não houver possibilidade de confusão, teremos a fórmu- la dos juros simples:

J = C. i. n e assim a fórmula do montante é:

M = C + J

M = C + C.i.n M = C (1 + i. n)

Observações:

1) Na fórmula dos juros e do montante, é necessário que “i” e “n” sejam expressos na mesma unidade (por exemplo, se “i” for taxa mensal, “n” deverá ser expresso em meses); 2) Embora a fórmula tenha sido deduzida por “n” inteiro, ela é estendida para “n” fracioná- rio.

Exemplos para fazer junto com o professor: (Construa os respectivos Fluxos de Caixa):

1. Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado a juros simples, durante três anos, à taxa de 12% a.a. Obtenha: a) Os Juros e b) O Montante.

2. Um capital de $ 7.000,00 é aplicado a juros simples, durante um ano e meio, à taxa de 8% a.s. (ao semestre). Obtenha: a) Os juros e b) o Montante.

3. Que capital rende juros simples de $3.000,00 no prazo de cinco meses, se a taxa for de 2% a.m.

4. Uma televisão é vendida à vista por $ 1.500,00, ou então, a prazo com $ 300,00 de en- trada mais uma parcela de $ 1.308,00 após três meses. Qual a taxa de juros simples do financiamento?

5. Uma aplicação financeira tem prazo de cinco meses, rende juros simples à taxa de 22%a.a. e incide imposto de renda igual a 20% do juro; O imposto é pago no resgate. Qual o montante líquido de uma aplicação de $ 8.000,00? (O montante líquido é igual ao mon- tante bruto menos o valor do imposto de renda pago).

Exercícios de fixação: (juros simples)

1. Determine os juros simples obtidos nas seguintes condições:

Capital $ Taxa Prazo J = C. i. n J = $

a) 2.000,00 1,2% a.m. 5meses

b) 3.000,00 21% a.a. 2 anos

c) 2.000,00 1,3% a.m. 3 anos

d) 6.000,00 15% a.t 2 anos e meio

2. Qual o montante de uma aplicação de $ 16.000,00 a juros simples, durante cinco meses, à taxa de 80% a.a.?

3. Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado, por dois meses, a juros simples à taxa de 42% a.a. Qual o montante?

4. Bruno aplicou $ 30.000,00 a juros simples, pelo prazo de seis meses, e recebeu $ 9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação?

5. Em uma aplicação de $ 3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% a.a., o montante recebi- do foi de $ 4.800,00. Determine o prazo da aplicação.

6. Paula aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de 1,8% a.m., pelo prazo de quatro meses. Obtenha o juro auferido nesta aplicação, sabendo-se que o montante recebido foi de $ 5.360,00.

7. Mara aplicou $ 800,00 a juros simples à taxa de 12% a.a. Se ela recebeu $ 384,00 de juros, obtenha o prazo da aplicação.

8. Uma geladeira é vendida à vista por $ 1.500,00 ou, então, a prazo com $ 450,00 de entrada mais uma parcela de $ 1.200,00 após quatro meses. Qual a taxa mensal de juros simples do fi- nanciamento?

9. Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a. para que duplique?

10. Dois capitais, o primeiro igual a $ 1.100,00 e o segundo igual a $ 500,00, estiveram aplicados a juros simples durante três meses. A que taxa foi aplicada o primeiro se o segundo, aplicado à taxa de 10% a.m., rendeu $ 246,00 menos que o primeiro?

11 ) (concurso para Controlador de Arrecadação Federal) Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas de café e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $ 3.000,00 por saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstân-

Exemplo 3 : Qual a taxa anual de juros simples que um fundo de investimento rendeu, sa- bendo-se que o capital aplicado foi de $ 5.000,00 e que o valor de resgate foi de $ 5.525, após sete meses?

Resolução: (faça o fluxo de caixa)

Os juros simples da aplicação foram de $ 525,00 (diferença entre o valor de resgate e o capital aplicado). Chamando de “i” a taxa mensal de juros, teremos:

J = C.i.n

525 = 5.000 i (7)
35.000 i = 525
I = 525/35.000 = 0,015 = 1,5% .a.m.

Conseqüentemente, a taxa anual foi de 12 x (1,5%) = 18% a.a.

2.3 JURO EXATO E JURO COMERCIAL

É muito comum certas operações ocorrerem por um ou alguns dias apenas. Nesses casos, é conveniente utilizarmos a taxa diária equivalente. O cálculo pode ser feito segundo duas con- venções:

1º) Considerando o ano civil, que tem 365 (ou 366) dias, e cada mês com seu número real de dias. 2º) Considerando o ano comercial, com 360 dias, e o mês comercial com 30 dias.

Os juros obtidos segundo a primeira convenção (ano de 365 dias) são chamados de juros exatos, e aqueles obtidos pela segunda convenção, (ano de 360 dias, ou seja, 12 meses de 30 dias cada) de juros comerciais. Em geral, a convenção adotada é a de juros comerciais, ou seja, ano de 360 dias).

Exemplo

1. Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado por 42 dias à taxa de 30% a.a. no regime de juros sim- ples: a) Obtenha os juros exatos. b) Obtenha os juros comerciais.

a) Juros Exatos: J = 5.000 0,30 42 = 365

b) Juros Comerciais: J= 5.000 0,30 42 = 360

2. Um capital de $ 4.000,00 foi aplicado a juros simples por 72 dias; um outro capital de $ 5.000,00 foi também aplicado a juros simples, à mesma taxa, durante 45 dias. Determine a taxa anual (convenção de juros comerciais), sabendo-se que a diferença entre os juros da 1ª aplicação e da 2ª são iguais a $ 31,50.

Resolução:

Seja i a taxa diária da aplicação. Teremos:

. Juros da 1ª aplicação: 4.000 i (72) = 288.000i . Juros da 2ª aplicação: 5.000 i (45) = 225.000i Portanto:

288.000i - 225.000i = 31,50
63.000i=31, I = 31,50 = 0,0005 = 0,05% a.d.

Conseqüentemente, a taxa anual vale 360 (0,05%) = 18% a.a (juros comerciais)

Exercícios para Fixação:

16. Em juros simples, determine a taxa anual equivalente às seguintes taxas: a) 1,5% a.m. d) 4,5% a.q. b) 2,5% a.b. e) 6,5% a.s. c) 3,5% a.t.

17. Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 4,4% a.b.?

18. Calcule os juros simples auferidos em uma aplicação de $ 4.000,00 à taxa de 35% a.a. pelo prazo de sete meses.

19. Calcule o montante de uma aplicação de $ 5.000,00 a juros simples à taxa de 48% a.a. pelo prazo de cinco meses.

20. Um capital de $ 25.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 30% a.a. pelo prazo de 67 dias. Obtenha os juros exatos e comerciais para esta aplicação.

21. Um determinado capital aplicado a juros simples exatos, e a uma certa taxa anual, rendeu $240,00. Determine os juros auferidos nessa aplicação se fossem comerciais.

22. Uma aplicação de $ 800,00 a juros simples comerciais teve um resgate de $ 908,00 após 135 dias. Determine a taxa mensal desta aplicação.

23. Um capital de $ 5.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 24% a.a. a) Qual o montante após seis meses? b) Após quanto tempo de aplicação os juros auferidos formarão uma quantia igual ao capital inici- almente empregado?

24. Calcule a taxa anual de juros simples que rendeu um fundo de investimento, sabendo-se que o capital aplicado foi de $ 4.000,00 e que o valor de resgate foi de $ 5.200,00 após seis meses.

25. Um capital de $ 3.000,00 foi aplicado em 23 de março de 1999 a juros simples e à taxa de 96% a.a. O resgate foi feito em 17 de setembro de 2000. Determine os juros exatos e comerciais desta aplicação (o número de dias decorridos foi de 544).

26) (Concurso para Controlador de Arrecadação Federal) Um capital de $ 2.000.000,00 é aplica- do por quatro meses, correspondendo a um resgate final de $ 2.600.000,00. Calcule a taxa de juros simples anual desta operação.

As questões a seguir são para o cálculo de Taxas Equivalentes: Utilize apenas 02 (duas) casas depois da vírgula e sempre arredondando a última conforme regra convencional.

Taxa %a.a. %a.m. %a.d %a.t. %a.b.

21 0,089 % a.d.

22 12% a.m

23 1,20 %a.b.

24 0,9% a.t.

25 128% a.s

26 357 % a.a.

27 66 % a.a. equivale a % para 75 dias a juros exatos

28 120% a.a. equivale a % para 75 dias a juros comerciais

29 200 % é a taxa para 42 dias, portanto: % é o equivalente ao ano para juros exatos

30 200 % é a taxa para 75 dias, portanto: % é o equivalente ao ano para juros comerciais

Exercícios de Juros Comerciais

Calcular as seguintes Taxas Equivalentes:

Gabarito:

1 R$. 2 %a.a. 3 R$. 4 R$.

5 R$. 6 dias 7 R$. 8 %a.m.

9 R$. 10 dias 11 %a.a. 12 meses

13 R$. 14 dias 15 %a.a. 16 R$.

17 R$. 18 R$. 19 %a.m. 20 meses

Professor Cláudio Campos – Matemática financeira – Gestão UNIP-

3– DESCONTO SIMPLES

3,1 INTRODUÇÃO

A idéia de desconto está associada com o abatimento dado a um valor monetário em determina- das condições. Assim, por exemplo, quando uma compra é feita em grande quantidade, é co- mum o vendedor conceder algum desconto no preço por unidade. No comércio, também é bas- tante comum o vendedor conceder um prazo para o pagamento; caso o comprador queira pagar à vista, geralmente é proporcionado um desconto sobre o preço oferecido.

Nestas situações, o desconto costuma ser expresso por um porcentual aplicado sobre o preço. No primeiro exemplo, consideremos que o preço cobrado por unidade seja $ 20,00, e que, caso o comprador compre mais de 100 unidades, haja um desconto de 5%. Nestas condições, o des- conto é igual a $ 1,00 (5% de $ 20,00), e o novo preço passa a ser $ 19,00. No segundo exem- plo, consideremos que o preço de um produto seja $ 500,00 para pagamento dentro de 40 dias; caso o vendedor conceda um desconto de 3% para pagamento à vista, o valor do desconto será de $ 15,00 (3% de $ 500,00), e o preço à vista será $ 485,00.

Uma outra situação envolvendo o conceito de desconto ocorre quando uma empresa vende um produto a prazo; nesse caso, o vendedor emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber do comprador o valor combinado na data futura. Caso o vendedor precise de dinheiro, ele poderá ir a um banco e efetuar um desconto da duplicata. Resumidamente, ocorre o seguinte: a empre- sa cede ao banco o direito do recebimento da duplicata em troca de dinheiro recebido antecipa- damente.

Por exemplo , consideremos que, em uma certa venda, uma empresa emitiu uma duplicata de $ 5.000,00 para vencimento dentro de dois meses. Precisando de dinheiro, a empresa levou a du- plicata a um banco, que lhe propôs adiantar $ 4.800,00 em troca da duplicata. Dizemos, neste caso, que o banco propôs um desconto de $ 200,00 ($ 5.000,00 menos $ 4.800,00).

De modo análogo ao desconto de duplicatas, uma empresa pode descontar notas promissó- rias em um banco. As notas promissórias surgem quando, por alguma razão, um devedor as- sume uma dívida perante um credor; a nota promissória é um papel que representa uma pro- messa de pagamento ao credor, a qual é feita pelo devedor.

As operações de desconto de duplicatas e promissórias, sendo bastante comuns no sistema financeiro, possuem uma sistemática de cálculo bem caracterizada, chamada de desconto comercial ou bancário, a qual passaremos a estudar.

3.2 - DESCONTO COMERCIAL OU BANCÁRIO

Chamamos de valor nominal (ou valor de face) e indicamos por N o valor do título a ser des- contado. Seja n o prazo de vencimento do título e d a taxa de desconto utilizada na operação (em porcentagem por período). O desconto comercial ou bancário (D) é dado por:

D = Ndn N = Valor do título n = Prazo de vencimento do título d = taxa de desconto.