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MATEMÁTICA FINANCEIRA 1 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM
- RAZÃO
- PROPORÇÃO
- REGRA DE TRÊS
- PORCENTAGEM
- RESPOSTAS
CÁSSIO VIDIGAL 2 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
RAZÃO
Sejam dados dois números 𝑎 e 𝑏 (𝑏 ≠ 0), chamamos de razão entre estes dois números ao quociente indicado entre eles.
A razão
também pode ser escrita
𝒂: 𝒃 (Lemos: a está para b). Os números 𝑎 e 𝑏, que são os termos da razão e são denominados respectivamente de antecedente e consequente.
Veja os exemplos.
Ex.1: a Razão entre os números 3 e 7 é
dada por
ou 3:
Ex.2: Num grupo de 45 pessoas, 10 são homens. Qual a razão entre o número de moças e o total de pessoas. Resolução: no grupo há 45 – 10 = 35 moças. Assim, a razão procurada é 35 45
ou 7:9 (Lemos: 7 para 9) e podemos interpretar como 7 moças em cada grupo de 9 pessoas.
Ex.3: Numa prova com 50 questões Luiz Felipe acertou 40. Qual a razão entre número de erros e o número de acertos?
Ex.4: Numa prova com 50 questões Luiz Felipe acertou 40. Qual a razão entre número de erros e o número de acertos?
Resolução: a quantidade de erros pode ser encontrada fazendo-se 50 – 40 = 10. Assim, a razão procurada é 10 40
ou 1:4 (Lemos: 1 para 4) e podemos interpretar como 1 erro para cada 4 acertos.
Ex.5: Um terreno tem 70 m de largura e é representado num desenho por 30 cm. Qual a escala desse desenho?
Resolução: Escala é a razão entre medida do desenho e a medida real. Como 70 m = 7000 cm, então a escala é: 30 7000
ou 3 para 700. Isso quer dizer que cada 3 centímetros na representação (mapa, planta, etc.) equivale a 700cm (ou 7 metros) no terreno.
Ex.6: Um motociclista faz um percurso de 450 km em 5 horas. Qual a velocidade média dessa moto?
Resolução: Velocidade média é razão entre o espaço percorrido e o tempo gasto, assim: 450𝑘𝑚 5ℎ
e isso pode ser interpretado como o motociclista tendo percorrido 90km a cada 1 hora de viagem.
Ex.7: Calcular a densidade demográfica de uma região de 5400 m² que é ocupada por uma população de 16200 habitantes.
Resolução: A densidade demográfica é a razão entre a quantidade de habitantes de uma região e a sua área. Assim: 16200ℎ𝑎𝑏 5400𝑚^2
= 3ℎ𝑎𝑏/𝑚^2
Desta forma, concluímos que nesta região é ocupada por 3 pessoas a cada um metro quadrado;
PROPORÇÃO
Proporção é uma igualdade entre duas razões. Os números a,b,c,d (com 𝑏 ≠ 0 e 𝑑 ≠ 0) estão em proporção, na ordem dada, se, e somente, a razão
CÁSSIO VIDIGAL 4 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Uma certa importância deve ser dividida entre 10 pessoas em partes iguais. Se a partilha fosse feita somente entre 8 dessas pessoas, cada uma destas receberia R$ 5.000,00 a mais. Calcular a importância.
(CESPE/2008 - Adaptada -) Em um tribunal, há 210 processos para serem analisados pelos juízes A, B e C. Sabe-se que as quantidades de processos que serão analisados por cada um desses juízes são, respectivamente, números diretamente proporcionais aos números a, b e c. Sabe- se também que a + c = 14, que cabem ao juiz B 70 desses processos e que o juiz C deverá analisar 80 processos a mais que o juiz A. Quantos Itens o Juiz A deverá analisar?
O Sr. Lopes e o Sr. Garcia são sócios fundadores de uma fábrica de eletrônicos que leva, no nome, as suas iniciais. Lopes investiu inicialmente R$ 22.000,00 e Garcia investiu inicialmente R$ 48.000,00 para montarem a empresa. Eles combinam dividir os lucros, que totalizaram R$ 896.000,00 no primeiro semestre de atividade, em proporção aos seus investimentos iniciais. Que parte do lucro total do negócio receberá cada um deles?
O produto de três números é 192. Calcule-os sabendo que são inversamente proporcionais a 3, 4 e 6.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 5 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM
As demissões de três homens (X, Y e Z) implicaram o pagamento de uma verba rescisória na importância total de R$ 36.000,00, que deveria ser repartida por eles, de modo que fossem diretamente proporcionais ao número de meses trabalhados. Quanto deve receber cada um desses três homens (X, Y, Z), se respectivamente trabalharam 50, 70 e 60 meses?
(ENEM/2012) O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas.
Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido. (Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado).)
Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e percorrida pelo atleta?
- (ENEM/2011) Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros: a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.
Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente, Ⓐ 0,23 e 0,16. Ⓑ 2,3 e 1,6. Ⓒ 23 e 16. Ⓓ 230 e 160. Ⓔ 2 300 e 1 600.
MATEMÁTICA FINANCEIRA 7 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM
Nas questões 12, 13 e 14, analise as assertivas e classifique cada uma como Verdadeira ou Falsa.
(CESPE/2009) Se um avião a uma velocidade média de 800 km por hora gasta 2 h 30 min entre os aeroportos A e B, então, para efetuar o mesmo percurso em exatamente 2 h, a velocidade média desse avião deverá ter um aumento de 20%.
(CESPE/2009) Se a maquete de um helicóptero, construída na escala de 1:24, tiver o comprimento igual a 20 cm, então o comprimento real dessa aeronave será inferior a 5 m.
(CESPE/2009) Considerando que uma torneira totalmente aberta despeje 10 L de água em um tanque no tempo de 1 min e assumindo que essa vazão seja mantida, julgue: Em meia hora, essa torneira despejará 250 L de água no tanque.
Um prêmio em dinheiro é repartido entre 3 pessoas em partes inversamente proporcionais às suas idades, ou seja, 24, 36 e 48 anos. Se a pessoa mais nova recebeu R$ 9.000,00 a mais que a mais velha, então a pessoa que tem 36 anos recebeu: Ⓐ R$ 21.000,00. Ⓑ R$ 18.000,00. Ⓒ R$ 15.000,00. Ⓓ R$ 12.000,00. Ⓔ R$ 9.000,00.
(ENEM/2011)Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de: Ⓐ 1 : 250 Ⓑ 1 : 2. Ⓒ 1 : 25. Ⓓ 1 : 250, Ⓔ 1 : 25.000.
CÁSSIO VIDIGAL 8 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
REGRA DE TRÊS
É uma regra prática, que facilita o cálculo de problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais.
Grandezas diretamente proporcionais Duas ou mais grandezas são diretamente proporcionais, quando aumentando ou diminuindo uma delas a outra(s) aumenta(m) ou diminui(em) na mesma proporção.
Ex.1: Um veículo que percorre: 80km em 1 hora. 160km em 2 horas. 240km em 3 horas. Observe que a distância percorrida e o tempo decorrido aumentam na mesma proposção.
Ex.2: Dividir 100 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. Resolução: Chamamos as partes de a, b e c, então:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 100 𝑎 2 =^
𝑏 3 =^
𝑐 5 =^ 𝑘
De temos: 𝑎 2
Substituindo a, b e c em , temos:
2𝑘 + 3𝑘 + 5𝑘 = 100 10𝑘 = 100 𝑘 = 10 Assim: 𝑎 = 2 ∙ 10 = 20 , 𝑏 = 3 ∙ 10 = 30 e 𝑐 = 5 ∙ 10 = 50_._
Resp.: As partes são 20, 30 e 50
Grandezas inversamente proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira.
Ex.1: Um veículo faz um percurso em: 1 hora com velocidade de 120km/h. 2 horas com velocidade de 60km/h. 3 horas com velocidade de 40km/h.
Enquanto o tempo aumenta, a velocidade diminui. Dizemos, então, que o tempo e a velocidade são grandezas inversamente proporcionais.
Ex.2: Dividir 31 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. Resolução: Chamamos as partes de a, b e c, então: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 31 𝑎 1 2
𝑏 1 3
𝑐 1 5
De temos:
𝑎 =
Substituindo a, b e c em , temos 𝑘 2
Assim: 𝑎 =
30 2 =^15 ,^ 𝑏^ =^
30 3 =^10 e 𝑐 = 30 5 =^6_._
Resp.: As partes são 15, 10 e 6.
CÁSSIO VIDIGAL 10 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Com 8 eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em 3 dias. Quantos dias levarão 6 eletricistas para fazer o mesmo trabalho?
Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em 6 horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes?
Uma certa quantidade de suco foi colocado em latas de 2 litros cada uma, obtendo-se assim 60 latas. Se fossem usadas latas de 3 litros, quantas latas seriam necessárias para colocar a mesma quantidade de suco?
Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros?
Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias nove marceneiros fariam o mesmo armário?
Oitenta pedreiros constroem 32 m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão necessários para construir 16 m de muro em 64 dias?
MATEMÁTICA FINANCEIRA 11 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM
Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia. Quantos quilômetros percorrerá em 10 dias, correndo 14 horas por dia?
Numa fábrica 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 864 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia?
Numa indústria têxtil, 8 alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias. Quantos alfaiates são necessários para que sejam feitas 1080 camisas em 12 dias?
Uma bomba retira de um reservatório 2 metros cúbicos de água em 30 minutos. Quanto tempo levará para retirar 9 metros cúbicos de água?
Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60 km/h. Se a velocidade fosse de 75 km/h, quantas horas gastaria para fazer o mesmo percurso?
Oito operários fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias gastarão 12 operários para fazer a mesma casa?
MATEMÁTICA FINANCEIRA 13 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM
PORCENTAGEM
A expressão por cento significa por cada cem, e se representa com o sinal %.
Podemos expressar uma porcentagem em forma de fração ou como decimal.
Ex.1:
75% =
Ex.2:
___________________________
Três regras práticas
- Para calcular X% de uma quantidade A, devemos fazer: 𝑋 100
- Para aumentar A de X%, devemos fazer (1 +
- Para diminuir A de X%, devemos fazer
(1 −
Ex.1: Quanto é 15% de 387? Resolução: 15 100
Resp.: 58,
Ex.2: Aumentar 387 em 15%. (1 +
Resp: 445,
Ex.3: Diminuir 387 em 15%.
(1 −
Resp: 328,
A seguir, está uma série de exercícios envolvendo porcentagem. Veremos outras situações durante o desenvolvimento dos exercícios.
- Escreva as porcentagens abaixo na forma decimal e na forma de fração irredutível. a) 4%
b) 0,25%
c) 157%
d) 100%
CÁSSIO VIDIGAL 14 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
e) 200%
- Escreva os decimais abaixo na forma percentual a) 0,
b) 1,
c) 1
d) 0,
e) 0,
Quanto é 2,5% de R$ 60,00?
15 é 25% de que número?
Que porcentagem 240 é de 30?
Um objeto foi revendido por R$ 10000, com prejuízo de 20% sobre o preço de compra. O objeto foi comprado por qual valor?
Se X é 160% de Y, que porcentagem Y é de X?
CÁSSIO VIDIGAL 16 IFMG – CAMPUS OURO PRETO
Um produto no valor de $2000 teve um desconto de 35%. Qual é o seu valor após o desconto?
Uma determinada mercadoria teve três descontos consecutivos de 20% cada um. Qual foi o total de desconto?
Qual a diferença percentual entre 1 ⁄ 3 e
seu valor aproximado 0,333?
- Uma empresa brasileira tem 30% de sua dívida em dólares e os 70% restantes em euros. Admitindo-se uma valorização de 10% do dólar e uma desvalorização de 2% do euro, ambas em relação ao real, pode- se afirmar que o total da dívida dessa empresa, em reais: Ⓐ aumenta 8% Ⓑ aumenta 4,4% Ⓒ aumenta 1,6% Ⓓ diminui 1,4% Ⓔ diminui 7,6%
MATEMÁTICA FINANCEIRA 17 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM
- Com relação à dengue, o setor de vigilância sanitária de um determinado município registrou o seguinte quadro, quanto aos números positivos:
em fevereiro, relativamente a janeiro, houve um aumento de 10%; e em março, relativamente a fevereiro, houve uma redução de 10%.
Em todo o período considerado, podemos afirmar corretamente que: Ⓐ houve uma redução de 1% dos casos Ⓑ houve uma redução de 0,1% dos casos Ⓒ a quantidade de casos não se alterou Ⓓ houve um aumento de 0,1% dos casos Ⓔ houve um aumento de 1% nos casos.
Um comerciante deu um desconto de 20% sobre o preço de venda de uma mercadoria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de 20% sobre o preço que pagou pela mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro, em porcentagem, seria de: Ⓐ 40% Ⓑ 45% Ⓒ 50% Ⓓ 55% Ⓔ 60%
Numa barraca de feira, uma pessoa comprou maçãs, bananas, laranjas e peras. Pelo preço normal da barraca, o valor pago pelas maçãs, bananas, laranjas e peras corresponderia a 25%, 10%, 15% e 50% do preço total, respectivamente. Em virtude de uma promoção, essa pessoa ganhou um desconto de 10% no preço das maçãs e de 20% no preço das peras. O desconto assim obtido no valor total de sua compra foi de: Ⓐ 7,5% Ⓑ 10% Ⓒ 12,5% Ⓓ 15% Ⓔ 17,5%
Um advogado, contratado por Marcos, consegue receber 80% de uma causa avaliada em $200.000,00 e cobra 15% da quantia recebida, a título de honorários. Qual a quantia que Marcos receberá, descontada a parte do advogado?
MATEMÁTICA FINANCEIRA 19 RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRAS DE TRES e PORCENTAGEM
0 , 98 ∙ 0 , 7 𝐷 (0,98 é o fator de diminuição relativo a 2%).
Então a nova dívida pode ser calculada fazendo-se 1 , 10 ∙ 0 , 3 𝐷 + 0 , 98 ∙ 0 , 7 𝐷 = 0 , 33 𝐷 + 0 , 686 𝐷 = 1 , 016 𝐷
1 , 016 𝐷 = ( 1 + 0 , 016 )𝐷
Então, 1 , 016 é um fator de aumento relativo a 1,6%.
Resp.: A dívida da empresa aumentou em 1,6%. Alternativa C
51) A 52) C
53) C 54) $136.
