Matemática: Funções, Gráficos e Aplicações para o Enem, Esquemas de Matemática

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REVISÃO DE ÚLTIMA

HORA PARA O SEGUNDO

DIA DO ENEM

O valor de a está associado à inclinação da reta em relação ao eixo 𝑥 e o valor de 𝑏 indica em

que altura o gráfico da função intersecta o eixo 𝑦.

A função afim possui apenas uma raiz e este valor é encontrado a partir de:

Função quadrática

A função quadrática (ou função do 2º grau ) é definida da seguinte forma: 𝑓: ℝ→ℝ; 𝑓(𝑥)𝑎𝑥²

+b𝑥+c, com 𝑎≠0. O gráfico desta função é uma parábola. O coeficiente a relaciona-se com a

concavidade da parábola. O coeficiente b relaciona-se com o “jeito” que a parábola intersec-

ta o eixo 𝑦 e o coeficiente c indica em que altura o gráfico da função intersecta o eixo 𝑦.

FUNÇÕES

Uma função f é uma relação binária entre dois conjuntos A e B que satisfaz o seguinte: para todo x que está em A, existe apenas um y que está em B de forma que o par (x,y) pertençam à relação f.

Lembre-se que: A é o domínio da função, B é o contradomínio da função e o conjunto dos valores de y em B que pertencem à relação é o conjunto imagem da função.

Sendo assim, denotamos uma função da seguinte forma:

Tipos de funções

Existem vários tipos de funções mas, para o Enem, focaremos em estudar a função afim e a função quadrática.

Função afim:

A função afim ou função do 1º grau é definida da seguinte forma: 𝑓: ℝ→ℝ; 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏,com 𝑎≠0.

Para esta função, seu domínio e sua imagem são ambos o conjunto ℝ. O gráfico de uma função

afim é uma reta. O coeficiente a da função é o coeficiente angular da reta (ou declividade) e o coeficiente b é o coeficiente linear.

Características das funções:

Podemos definir uma função através da lei de formação – que é uma regra que estabelece de qual forma os elementos do conjunto A se relacionam com os elementos do conjunto B.

Podemos representar uma função graficamente as funções através do plano cartesiano.

Zero de uma função ou raiz de uma função são os valores do domínio da função que fazem

com que 𝑓(𝑥)=0.

E podemos denotar também 𝑦𝑓(𝑥).

Se 𝑎>0 a parábola é côncava para cima e se 𝑎<0 a parábola é côncava para baixo.

Se 𝑏>0 a parábola está “subindo” quando corta o eixo 𝑦 e se 𝑏<0 a parábola está “descendo”

quando corta o eixo 𝑦.

Para encontrarmos as raízes da função quadrática fazemos: 𝑎𝑥²+𝑏𝑥+𝑐0.

A solução desta equação é dada por:

Se ∆>0 a função possui duas raízes reais distintas. Nesse caso o gráfico da função intersecta o

eixo 𝑥 em dois pontos distintos.

Se ∆=0 a função possui duas raízes reais iguais. Nesse caso o gráfico da função intersecta o

eixo 𝑥 em apenas 1 ponto.

Se ∆<0 a função não possui raízes reais. Nesse caso o gráfico da função não intersecta o eixo 𝑥.

Gráfico da função quadrática:

A parábola possui um eixo de simetria que é uma reta paralela ao eixo y e que passa pelo seu vértice.

A imagem da função quadrática será do vértice “para cima” se 𝑎>0 ou será do vértice “para

baixo” se 𝑎<0.

O vértice é utilizado em exercícios que envolvem encontrar um ponto de máximo ou de mínimo de uma certa função quadrática.

Podemos analisar o comportamento das funções, isto é, analisar em quais intervalos do domínio a função é crescente, decrescente ou constante.

Podemos estudar os sinais das funções, isto é, analisar em quais intervalos do domínio a função é positiva, negativa ou nula.

Existem funções chamadas de “funções definidas por várias sentenças”, as quais possuem uma lei de formação para cada intervalo de seu domínio.

Atenção! Podemos compor funções e inverter funções, quando satisfeitas algumas hipóteses.

DIVISÃO DE NÚMEROS COM VÍRGULA

Na divisão de números com vírgula, o número decimal pode estar no dividendo, no divisor, ou até mesmo em ambos. Para todos esses casos, vamos seguir procedimentos parecidos.

É importante lembrar que precisamos igualar o número de casas decimais entre o dividendo e o divisor. Uma maneira de fazer isso, é multiplicar ambas as partes por potências de 10 (10, 100, 1000, …) de forma a sumir com a vírgula - precisamos escolher a potência com o mesmo número de zeros que o número de casas decimais depois da vírgula. Depois disto, basta efetuar a divisão normalmente!

TIPOS DE FUNÇÕES

Funções trigonométricas: as funções desse tipo que mais aparecem são as funções seno e cosseno, com a tangente aparecendo raramente. É crucial lembrar a relação dessas funções com o círculo trigonométrico, já que ele nos permite comparar o valor dessas funções para diferentes ângulos e também memorizar o valor delas para ângulos notáveis.

Algumas propriedades importantes para o ENEM:

Gráficos, periodicidade e valores de máximo e mínimo: algumas questões costumam abor- dar os gráficos das funções trigonometria principais. Além de lembrar seus formatos, também precisamos saber que eles são periódicos (se repetem) e que para o seno e o cosseno os valores de máximo e mínimo são 1 e -1 respectivamente, já a tangente não tem valores máximos nem mínimos

Relações no triângulo retângulo: lembre-se que, para um ângulo interno de um triângulo retângulo, o seu seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, o seu cosseno é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa e a sua tangente é a razão entre o cateto oposto e o adjacente;

Você pode converter as frequências entre porcentagem e graus livremente, basta lembrar que 1% equivale a 3,6º. Exemplos:

Converter 30% em graus: como cada 1% vale 3,6º, 30% será 30 vezes 3,6º que é equivalente a 108º;

Converter 54º em porcentagem: como temos 1% a cada 3,6º, precisamos dividir os 54º por 3,6, o equivalente a 15%.

Entretanto, o mesmo não pode ser dito sobre a frequência absoluta. Para converter dados de frequência absoluta para frequência em graus ou percentual, precisamos saber o quanto temos no todo.

Por exemplo, se considerarmos que o número total de eleitores do primeiro exemplo é 2000, podemos calcular a porcentagem de pessoas votaram no candidato A, bastaria dividir 1100 por 2000.

Da mesma forma, se considerarmos a mesma estimativa de 2000 eleitores para o segundo exemplo, podemos calcular o número absoluto de eleitores que votaram no candidato B, bastando multiplicar 30% por 2000.

Ângulos notáveis: o ENEM normalmente não fornece os valores de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis 30º, 45º e 60º. Para gravar esses valores, é recomendado lembrar da tabela trigonométrica para os ângulos notáveis:

Funções de primeiro grau: as funções de primeiro grau - ou funções afim - são funções com um formato linear, isso significa que elas crescem ou decrescem com velocidade constante. Elas

tem forma f(x)=ax+b com a = 0.

Algumas propriedades importantes para o ENEM:

Coeficientes: em uma função de primeiro grau a constante “a” que acompanha o x é chamada de coeficiente angular, já a constante “b” é chamada de coeficiente linear.

Crescente ou decrescente: esse tipo de função pode ser crescente ou decrescente, e essa carac- terística vai depender do sinal do coeficiente angular. Se “a” for positivo a função será crescen- te, se “a” for negativo, será decrescente;

Algumas propriedades importantes para o ENEM:

Concavidade: a parábola de uma função de segundo grau pode ter a sua concavidade para cima (positiva) ou para baixo (negativa). Podemos verificar a concavidade de uma parábo- la através do sinal da constante “a” que acompanha x2, se a for positivo, a concavidade da parábola será positiva (sorriso feliz), se a for negativo, a concavidade da parábola será negativa (sorriso triste);

Pontos de vértice, máximo e mínimos: parábolas com concavidade positiva terão pontos de mínimo, isto é, onde a função assume o menor valor possível. Já parábola com concavidade negativa terão pontos de máximo. Ambos serão chamados de vértice da função e suas coordenadas, x e y, podem ser encontradas usando as fórmulas

Funções de segundo grau: as funções de segundo grau são aquelas com um formato parabólico

• que parecem um sorriso. Elas são definidas por

Raíz: uma função de primeiro grau só terá uma raíz, você pode obter ela usando a fórmula

e

COMBINAÇÕES E ARRANJO

Quando falamos de combinação e arranjo estamos interessados em descobrir de quantas formas possíveis podemos organizar certo grupo, dadas algumas condições.

Para exemplificar, considere um conjunto A de n elementos onde queremos selecionar r elementos de A, com r<n, sendo que os elementos deste grupo podem ser ou não repetidos.

PORCENTAGEM

SISTEMAS 2X

Aumento percentual: é quando somamos a um valor inicial uma porcentagem dele próprio. Para

isso, podemos usar a seguinte fórmula vf=vi+p100vi, onde vf é o valor final, vi é o valor inicial e p

é a porcentagem de aumento.

Exemplo: uma ação que vale 10.000 reais cresceu em 30%. Qual o valor final da ação?

Neste caso, 10.000 reais é o valor inicial e 30% é a porcentagem de aumento. Usamos a fórmula para calcular o valor final que fica em 13.000 reais.

Desconto percentual: é quando descontamos de um valor inicial uma porcentagem dele

próprio. Para isso, usamos a fórmula vf=vi+p100vi, onde vf é o valor final, vi é o valor inicial e p é

a porcentagem de desconto.

Exemplo: um produto que custava 200 reais teve um desconto de 15%. Qual o valor inicial da ação?

Neste caso, 200 reais é o valor inicial e 15% é a porcentagem de desconto. Usamos a fór- mula para calcular o valor final que é de 170 reais.

Aumento e desconto compostos: um tipo muito comum de questão é aquelas que envolvem mais de um desconto ou aumento. Precisamos dar muita atenção a esse tipo de questão, já que normalmente a segunda alteração não é baseado no valor inicial, veja bem:

Exemplo: um reservatório de água com capacidade de 1.000 litros está cheio, o nível de água cai em 20% e logo em seguida volta a crescer mais 20% do nível atual. Ao final desse intervalo, o reservatório continua cheio?

Embora uma resposta natural para essa pergunta seja positiva - já que a diminuição e o aumento são iguais percentualmente - a resposta certa será “Não”. Isso acontece já que o segundo aumento é baseado no nível de água depois do decrescimento. Isto é, precisamos primeiro calcular o nível de água depois dele baixar 20% e, em seguida, usar esse valor como valor inicial para o aumento de 20%:

Utilizamos o 800 como valor inicial no aumento:

Veja que o valor final será de 960 litros, 40 litros a menos que a capacidade máxima.

Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações que têm um resultado em comum. É um conteúdo que além de aparecer nas provas de matemática, pode também apare- cer em outras áreas do conhecimento.

Para o ENEM, vamos focar nosso estudo em sistema de equações 2x2, isto é, aqueles que possuem duas equações e duas variáveis. Eles vão ter a seguinte forma:

Onde “a”, “b”, “c”, “d”, “e” e “f” são números reais. Além de aprender a resolver os sistemas

• achar soluções para x e y para ambas as equações - também precisamos aprender a montar os sistemas a partir do enunciado das questões. Vamos ver um exemplo:

Em uma fábrica de canetas existem dois tipos de embalagens, “x” e “y”, com tamanhos diferentes. Sabe-se que para encher uma embalagem “x” e uma embalagem “y” é necessário um total de 17 canetas. Além disso, sabe-se que um cliente pode comprar 22 canetas, separadas em duas embalagens “x” e uma embalagem “y”. Quantas canetas cabem em cada tipo de embalagem.

As variáveis são o número de canetas por tipo de embalagem. Da primeira parte do enun- ciado, sabemos que se somarmos a quantidade de canetas em duas embalagens difer-

entes, ficamos com 17 canetas, dessa forma podemos escrever a equação: x+y=

Onde x e y representam o número de canetas para cada tipo de embalagem. Seguindo a mesma lógica, podemos inferir da segunda parte do enunciado que ao somarmos a quanti- dade de canetas em duas embalagens “x” e em uma embalagem “y”, temos um total de 22

canetas. Portanto, podemos escrever: 2x+y=

Com essas duas equações, podemos montar o sistema de equações:

Método de resolução: substituição

Um dos métodos de resolução para sistemas lineares que funciona muito bem para sistema 2x2. Lembre-se que quando queremos resolver um sistema linear, estamos procurando valores de x e y que sejam válidos para ambas as equações.

O método da substituição consiste em uma das equações isolar uma das variáveis e em seguida substituir o valor obtido para essa variável na outra equação. Saca só:

Vamos usar o sistema que montamos no exemplo anterior. Na equação x+y=16 vamos

isolar a variável y, dessa forma ficamos com: y=16-x

Vamos substituir esse valor de y na segunda equação: 2x+y=20 2x+16-x=

Resolvendo para x, obtemos um valor para x: x=

Por fim, substituímos esse valor de x na expressão encontrada para y: y=16-x y=16-4 y=

Portanto, uma resposta para o sistema é x=4 e y=12, que são o número de canetas que

cabe em cada tipo de embalagem.

Atenção: é importante lembrar que um sistema linear pode ter uma, nenhuma ou infinitas soluções.

MEIO AMBIENTE E HUMANIDADES

CITOLOGIA – Organelas celulares

AÇÕES HUMANAS E DESEQUILÍBRIO AMBIENTAL

Desmatamento e queimadas Poluição

Célula procarionte: não possui organelas celulares membranosas e núcleo orga- nizado (sem carioteca). Está presente nos domínios Archaea e Bacteria.

Célula eucarionte: célula mais complexa. Possui organelas membranosas que delimitam e organizam os processos metabólicos celulares e carioteca envolvendo o DNA (núcleo organizado). Encontradas no domínio Eukarya.

Retículo endoplasmático liso: produção de lipídios e desintoxicação da célula.

Núcleo: região onde encontramos o material genético da célula. É delimitado pela carioteca.

Lisossomo: responsável pela digestão intracelular

Centríolos: participam da divisão celular ajudando a ancorar os fusos.

Complexo de Golgi: arma- zenamento e empacota- mento de substâncias que a célula irá secretar.

Mitocôndria: responsável pela respiração celular.

Membrana plasmática: responsável por delimitar a célula, proteger e selecionar o que entra e sai do ambiente celular.

Retículo endoplasmático rugoso: possui ribosso- mos aderidos. Sendo assim, produz proteínas.

ATP: Adenosina trifosfato – Moeda energética da célula. Molécula responsável por armaze- nar energia temporariamente para a célula.

Processo metabólico em que a célula quebra moléculas de nutrientes energéti- cos (como a glicose) com o auxílio do oxigênio. A quebra dessas moléculas libera energia que é armazenada tempo- rariamente pela célula na forma de ATP. Através da quebra de uma molécula de glicose através desse processo, a célula obtém um saldo de 36 ATPs.

Glicólise – quebra inicial da molécula de glicose. Ocorre no citoplasma e forma duas moléculas de ácido pirúvico que entrarão na mitocôndria.

Ciclo de Krebs – também chamado de ciclo do ácido cítrico, ocorre entre as membranas da mitocôndria, na matriz mitocondrial. Nesse ciclo, a glicose é completamente quebrada. For- mam-se NADH e FADH que serão usados na próxima etapa.

Cadeia respiratória – ocorre nas cristas mitocon- driais. Nessa fase, os elétrons capturados pelo NADH e FADH na fase anterior passam por um processo de fosforilação oxidativa, onde ocor- rerá a produção de grande quantidade de ATP com a participação da proteína ATPsintase. Além disso, há a formação de água pela união de H transportados pelos carregadores de elétrons com o oxigênio (aceptor final).

Respiração celular

Compostos por cadeias de nucleotídeos:

É responsável pela transmissão das características hereditárias e pelo comando dos processos metabólicos celulares.

Constituído por uma dupla fita de nucleotídeos, formando uma dupla hélice.

Ligações que formam as fitas: ligações pentose-fosfato.

Ligações que unem as duas fitas: Ligação por ponte de hidrogênio.

Constituído por uma única fita de nucleotídeos. Pode dobrar-se sobre si mesma formando estruturas tridi- mensionais.

RNAm : RNA mensageiro – leva informações do núcleo para o citoplasma.

RNAr : RNA ribossômico – compõe os ribossomos.

RNAt : RNA transportador – transporta aminoácidos até os ribossomos para a sín- tese proteica.

ÁCIDOS NUCLEICOS - DNA E RNA

BIOENERGÉTICA

REPRODUÇÃO

Tipos de fecundação:

Externa: fecundação que ocorre no ambi- ente. Em geral, ocorre em seres vivos de ambientes aquáticos ou úmidos, o que evita a desidratação dos gametas. Ex.: peixes ósseos.

Interna: quando a fecundação ocorre no interior de um dos indivíduos envolvidos. Ex.: seres humanos.

Reprodução assexuada

Reprodução em que não há a mistura de material genético de dois indivíduos. Sendo assim, o ser vivo se reproduz sozinho quando encontra condições ambientais favoráveis, produzindo “clones” de si mesmo. Como não há a participação de gametas, chamamos de agâmica.

Vantagens: Como o indivíduo se reproduz sozinho, não há necessidade de gasto de energia na busca de um parceiro sexual. Sendo assim, essa reprodução é muito mais rápida.

Desvantagens: Como os indivíduos-filhos são clones do indivíduo-mãe, podemos dizer que há baixa variabilidade genética nas popu- lações que realizam esse tipo de reprodução.

Reprodução assexuada

Reprodução em que há a mistura de materi- al genético de dois indivíduos. Para que isso ocorra, em geral, há a produção de gametas que, ao se unirem na fecundação, geram uma célula-ovo ou zigoto que contém a combinação dos genótipos dos progeni- tores. Já que geralmente envolve gametas, é chamada de reprodução gâmica.

Vantagens: Como há mistura de material genético, consideramos que as populações que realizam esse tipo de reprodução têm uma alta variabilidade genética.

Desvantagens: Há gasto de energia e tempo na procura por um parceiro repro- dutivo. Sendo assim, em geral, a taxa reprodutiva é mais lenta.

Alguns tipos de reprodução assexuada:

Cissiparidade: ser unicelular duplica materi- al genético e depois se divide formando dois novos indivíduos.

Brotamento: formação de broto que pode ou não se descolar do indivíduo-mãe, como o que ocorre nas esponjas.

Esporulação: formação de esporos, células de resistência que ao encontrar condições favoráveis dá origem a um novo indivíduo. Ex.: esporos liberados pelos cogumelos.

O meio cria necessidades que induzem a mu- danças de comportamento e adaptações anatômicas nos indivíduos.

As novas características surgem do uso e do desuso repetido de determinado órgão ou parte do corpo em resposta às exigências do meio.

Lamarckismo

As características adquiri- das por um indivíduo ao longo da vida são transmiti- das aos seus descendentes. Ao longo das gerações, essas características se acumulam gradualmente.

EVOLUÇÃO

O meio seleciona os indivíduos em determinada popu- lação que apresenta as características mais adaptadas às condições de um ambiente em determinado tempo.

Em uma população há características variadas entre os indivíduos, surgidas ao acaso. Há certos indivíduos que possuem características que lhes conferem uma melhor adaptação ao meio quando se comparado aos demais.

Os indivíduos mais aptos sobrevivem por mais tempo no ambiente e, consequentemente, têm maior sucesso reprodutivo, transmitindo suas características a um número maior de descendentes. Ao longo das ger- ações, essas características passam a predominar.

DOENÇAS

Agente etiológico: Agente causador da doença.

Agente transmissor: Também conhecido como vetor. Serve como meio de trans- missão de uma doença.

Hospedeiro intermediário: Ser vivo onde o parasita se desenvolve ou se reproduz assexuadamente.

Hospedeiro definitivo: Ser vivo onde o parasita finaliza seu ciclo vital, reproduz- indo-se sexuadamente.

Endemia: Doença que ocorre frequente- mente em determinado local.

Epidemia: Quando há um considerável aumento dos casos de uma doença em um determinado intervalo de tempo.

Pandemia: Quando o surto epidêmico se espalha a nível continental ou mundial.

Foco no fato de que boa parte das verminoses podem ser mais facil- mente transmitidas em locais com falta de condições de saneamento básico e higiene.

*HIV/AIDS: Causada pelo HIV, um retro- vírus que ataca os linfócitos T4 ou CD4, responsáveis pelo reconhecimento dos antígenos e ativação de outras células do sistema imune.

*Sífilis: causada pela bactéria Treponema pallidum. Inicialmente causa feridas na genitália, depois manchas pelo corpo e culmina com comprometimento do siste- ma nervoso e cardiovascular.

Termos importantes: ISTs que você deve lembrar:

Dengue Zika Chicungunha Febre amarela

*Todas doenças virais. Apenas a febre amarela tem vacina regularmente dis- tribuída em nosso país.

Platelmintos importantes: Esquistossomo Tênia Nematelmintos importantes: Lombriga Ancilóstomo

Doenças transmitidas pelo Aedes aegypti

Verminoses: