UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL
APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA
Dennis Coelho Cruz
Luís Gustavo Henriques do Amaral
Barreiras, BA
Setembro de 2011
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Geometria Descritiva: Conceitos Fundamentais e Aplicações, Trabalhos de Geometria Descritiva
O desenvolvimento das tecnologias computacionais vem facilitando cada vez mais os processos de representação gráfica de objetos tridimensionais. Contudo, a capacidade de raciocínio do ser humano continua sendo a principal ferramenta para a interpretação e elaboração de desenhos técnicos e, mais do que isso, para a criação e transmissão de novas ideias. Ainda que os recursos computacionais tragam inúmeros benefícios à execução de desenhos técnicos, tais como maior rapidez e precisão, a utilização
Tipologia: Trabalhos
2021
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INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL
APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA
Dennis Coelho Cruz
Luís Gustavo Henriques do Amaral
Barreiras, BA
Setembro de 2011
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL
APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
APRESENTAÇÃO
Esta apostila foi elaborada com o objetivo de servir de fonte de consulta complementar para os estudantes inscritos no componente curricular IAD171 Geometria Descritiva , dos cursos de graduação em Bacharelado Interdisciplinar em Ciência e Tecnologia, Engenharia Civil, Engenharia Sanitária e Ambiental e Geologia do Instituto de Ciências Ambientais e Desenvolvimento Sustentável da Universidade Federal da Bahia. A apostila foi criada com base em referências tradicionais e em publicações mais recentes, as quais são citadas no final do texto, buscando-se o seu enriquecimento com exemplos adequados ao conteúdo proposto no programa do componente curricular. Foram inseridos, quando possível, desenhos em perspectiva para facilitar o entendimento dos problemas resolvidos em épura. Além disso, para sistematizar a apresentação dos conteúdos foram incluídos quadros e tabelas com as informações mais importantes sobre cada assunto. Como este material didático está em constante aperfeiçoamento, esperamos receber contribuições para o seu aprimoramento, de modo a facilitar o entendimento dos conteúdos abordados e estimular o estudo da Geometria Descritiva.
Os autores.
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL APOSTILA DE GEOMETRIA DESCRITIVA Dennis Coelho Cruz/Luís Gustavo Henriques do Amaral
UNIDADE 1 – INTRODUÇÃO
O desenvolvimento das tecnologias computacionais vem facilitando cada vez mais os processos de representação gráfica de objetos tridimensionais. Contudo, a capacidade de raciocínio do ser humano continua sendo a principal ferramenta para a interpretação e elaboração de desenhos técnicos e, mais do que isso, para a criação e transmissão de novas ideias. Ainda que os recursos computacionais tragam inúmeros benefícios à execução de desenhos técnicos, tais como maior rapidez e precisão, a utilização desses recursos só é viável se o indivíduo possuir uma acurada visão espacial, sendo capaz de raciocinar em três dimensões. Ao contrário do que possa parecer, essa habilidade pode ser desenvolvida e aperfeiçoada. Uma das formas de fazê-lo é através do estudo da Geometria Descritiva. Quando corretamente estudada, a Geometria Descritiva desenvolve não só a capacidade de leitura e interpretação de desenhos técnicos, mas também a habilidade de se imaginar objetos e projetos no espaço. Por esse motivo, o estudo da Geometria Descritiva é de fundamental importância em diversos ramos de atividade, tais como: Engenharia, Arquitetura, Geologia, Matemática, Desenho Industrial, Pintura, Escultura, etc.
1.1 HISTÓRICO
Os conceitos da Geometria Descritiva constituem a base do Desenho Técnico, onde se incluem o Desenho Arquitetônico, o Desenho Industrial, o Desenho Mecânico e o Desenho Topográfico. Ainda que esses conceitos já fossem abordados intuitivamente desde a antiguidade, as bases da Geometria Descritiva foram criadas no final do século XVIII pelo matemático francês Gaspard Monge. De origem humilde, Monge destacou-se desde cedo devido às suas habilidades como desenhista e inventor. Frequentando a escola militar de Mézières, apresentou um método inovador para solucionar problemas relacionados à construção de fortificações, método que seria o alicerce da Geometria Descritiva que se conhece atualmente. Esse método foi mantido como segredo militar até o ano de 1794, quando Monge foi autorizado a publicá-lo, revolucionando a Engenharia Militar e o Desenho Técnico.
“Eu uso dois trunfos infalíveis: uma tenacidade invencível e mãos que traduzem meu pensamento com fidelidade geométrica”
Figura 1.1 – Gaspard Monge (1746-1818). Fonte: GASPARD MONGE (2011).
1.2 CONCEITOS BÁSICOS
A Geometria é um ramo da Matemática, e pode ser definida como a ciência que investiga as formas e as dimensões das figuras existentes na natureza. A Geometria Descritiva, por sua vez, é o ramo da Matemática Aplicada que tem como objetivo o estudo de objetos tridimensionais mediante projeções desses sólidos em planos. Em Geometria, é comum utilizarmos os conceitos de forma e dimensão. Forma é o aspecto, ou configuração, de um determinado objeto (forma arredondada, elíptica, etc.), enquanto dimensão é a grandeza que caracteriza uma determinada medida desse objeto (largura, comprimento, etc.). Os elementos fundamentais da geometria são o ponto , a reta e o plano. O ponto é o elemento mais simples, pois não possui forma nem dimensão. Contudo, a partir do ponto é possível obter-se qualquer
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Figura 1.9 – Projeção cônica ou central
Ao contrário, quando o centro de projeção está localizado a uma distância infinita do objeto, as projetantes são paralelas entre si e, neste caso, tem-se a projeção cilíndrica ou paralela (Figura 1.10).
Figura 1.10 – Projeção cilíndrica ou paralela
Na Figura 1.10, a direção das projetantes é oblíqua ao plano de projeção e, nesse caso, a projeção cilíndrica é dita oblíqua. Por outro lado, quando a direção das projetantes é perpendicular ao plano de projeção, temos a projeção cilíndrica ortogonal (Figura 1.11).
Figura 1.11 – Projeção cilíndrica ortogonal
(O)
(A) (C) (B)
Projetante
()
Centro de projeção
Ponto objetivo
Plano de projeção A Projeção B
C
(O)
(C)
Projetante
()
Centro de projeção no infinito
Ponto objetivo
Plano de projeção
Projeção
A B
C
(A) (B)
(A) (B)
(C)
A B
C
(O)
Projetante
()
Centro de projeção no infinito
Ponto objetivo
Plano de projeção Projeção
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Para que a forma e as dimensões de um objeto sejam compreendidas de modo satisfatório, é necessário que as dimensões da projeção correspondam às dimensões reais do objeto. Ou seja, o objeto deve ser representado em sua verdadeira grandeza (VG). Contudo, quando o objeto não é paralelo ao plano de projeção, ele não é projetado em VG em nenhum dos três sistemas de projeção apresentados (Figura 1.12).
Sistema de Projeções Cônicas Sist. de Proj. Cilíndricas Oblíquas Sist. de Proj. Cilíndricas Ortogonais
Figura 1.12 – Objetos oblíquos ao plano de projeção
Se, por outro lado, o objeto for paralelo ao plano de projeção, têm-se as seguintes situações:
- No Sistema de Projeções Cônicas, as dimensões da projeção não correspondem às dimensões reais do objeto (Figura 1.13(a)). Ou seja, o objeto não é representado em VG.
- No Sistema de Projeções Cilíndricas Oblíquas, o objeto é representado em VG, mas como o ângulo das projetantes com o plano de projeção pode assumir qualquer valor, a projeção pode se localizar em muitas posições diferentes (Figura 1.13(b)).
- No Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais, o objeto também é representado em VG e, além disso, há somente uma posição em que a projeção pode se localizar, uma vez que as projetantes só podem assumir uma direção (Figura 1.13(c)). Por esse motivo, o sistema mais utilizado em Geometria Descritiva e em Desenho Técnico é o Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais.
(a) (b) (c) Figura 1.13 – Objetos paralelos ao plano de projeção
1.4 MÉTODO DA DUPLA PROJEÇÃO DE MONGE
Para se definir a forma e a posição de um objeto no espaço de forma satisfatória utilizando-se um sistema de projeções, uma só projeção não é suficiente. Assim, na Geometria Descritiva clássica, são utilizados dois planos de projeção para se representar um objeto, sendo que o sistema de projeção adotado é o Sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais. O método da dupla projeção de Monge, no qual toda a Geometria Descritiva clássica está baseada, consiste em se determinar duas projeções ortogonais do objeto sobre dois planos perpendiculares entre si, o plano horizontal de projeção () e o plano vertical de projeção (’). Esses dois planos dividem o espaço em quatro regiões, denominadas diedros , e se interceptam segundo uma linha chamada linha de terra (Figura 1.14). Os dois planos de projeção definem, ainda, quatro semiplanos: horizontal anterior (A), horizontal posterior (P), vertical superior (’S) e vertical inferior (’I) (Figura 1.15).
(O)
(A)
A
(O)
(A) A (O)
A^ (A)
(O)
(A)
A
(O 1 )
(A)
A 1
A 2
(O 2 )
(O)
A^ (A)
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UNIDADE 2 – ESTUDO DO PONTO
2.1 PROJEÇÕES DO PONTO
No sistema mongeano, um ponto possuirá sempre duas projeções: a horizontal e a vertical. Conhecendo-se essas projeções, é possível determinar a posição do ponto no espaço. Por convenção, de modo a facilitar o estudo, todo ponto situado no espaço deve ser designado por uma letra maiúscula entre parênteses. Já as projeções desse ponto, situadas sobre os respectivos planos de projeção, devem ser designadas pela mesma letra maiúscula, porém sem parênteses, e a projeção vertical deve ser seguida por um apóstrofo (Figura 2.1). Procedendo-se ao rebatimento do plano horizontal sobre o vertical, obtém-se a épura do ponto (Figura 2.2). Na épura, as duas projeções de um ponto devem estar ligadas por uma linha denominada linha de chamada , que deverá ser sempre perpendicular à linha de terra.
Figura 2.1 – Projeções do ponto (A) Figura 2.2 – Épura do ponto (A)
2.2 COORDENADAS DO PONTO
A distância de um determinado ponto a cada um dos planos de projeção recebe um nome característico: a distância de um ponto ao plano vertical de projeção é denominada afastamento , enquanto a distância deste ponto ao plano horizontal de projeção é chamada de cota. O afastamento é positivo quando o ponto está na frente do plano vertical de projeção e negativo quando o ponto está atrás deste plano. A cota é positiva quando o ponto situa-se acima do plano horizontal de projeção e negativa quando o ponto está abaixo deste plano. O conhecimento da cota e do afastamento de um ponto não é suficiente para que um ponto seja individualizado. Como se trata de um sistema tridimensional, é necessário incluir mais uma coordenada para que a posição do ponto fique bem definida. Assim, inclui-se uma terceira coordenada, a abscissa , tomada sobre a linha de terra a partir de um ponto “O”, considerado origem, e marcado arbitrariamente sobre esta linha (Figura 2.3). À direita deste ponto, a abscissa é positiva; à esquerda, é negativa. Em épura, se o afastamento for positivo, a projeção horizontal do ponto estará abaixo da linha de terra e, se for negativo, esta projeção estará acima da linha de terra. Por outro lado, quando a cota for positiva, a projeção vertical do ponto estará acima da linha de terra e, se for negativa, estará abaixo da linha de terra. Ainda com relação à épura, se o ponto estiver à direita da origem, a abscissa será positiva, e se o ponto estiver à esquerda da origem, a abscissa será negativa. Na Figura 2.4, tem-se a épura correspondente ao ponto representado na Figura 2.3, na qual se percebe que o ponto possui abscissa, afastamento e cota positivos.
A
A’
A’
A
(A)
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Figura 2.3 – Coordenadas do ponto Figura 2.4 – Épura correspondente
As três coordenadas descritas constituem as chamadas coordenadas descritivas do ponto , e são apresentadas sempre em ordem alfabética: abscissa (x), afastamento (y) e cota (z). Assim, para um determinado ponto (P), a indicação das coordenadas é feita da seguinte maneira: (P)[ x ; y ; z ].
Exemplos:
representar os pontos (A), (B) e (C) na épura abaixo, conhecendo-se as suas coordenadas (em mm) e a sua posição no espaço. Dados: (A)[ 0 ; 20 ; 20 ], (B)[ -10 ; 10 ; -20 ] e (C)[ 10 ; -30 ; 20 ].
representar os pontos (D), (E) e (F) na épura abaixo e informar a sua posição no espaço. Dados: (D)[ 10 ; 20 ; 10 ], (E)[ 20 ; -10 ; 20 ], (F)[ -10 ; 30 ; -20 ] e (G) [ 10 ; 0 ; 20 ].
O
(C) C’
C
(A)
A
A’
O
B
B’^ (B)
A
A’
O
Abscissa Afastamento
Cota
(A)
A
A’
O
Cota
Abscissa
Afastamento
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Quadro 2.2 – Continuação
- Ponto no 3° Diedro (afastamento e cota negativos):
- Ponto no 4° Diedro (afastamento positivo e cota negativa):
- Ponto no semiplano horizontal anterior (afastamento positivo e cota nula):
- Ponto no semiplano horizontal posterior (afastamento negativo e cota nula):
F (F) F’
O
(F)
O F’
F
(’I)
(P)
E’^ (E)^ E
O
(E)
O E’
E
(’S)
(A)
(D)
D
D’
O
D’
D
O
(’I)
(A)
(C) C’
C
O
C
C’
O
(’I)
(P)
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Quadro 2.2 – Continuação
- Ponto no semiplano vertical superior (afastamento nulo e cota positiva):
- Ponto no semiplano vertical inferior (afastamento nulo e cota negativa):
- Ponto na linha de terra (afastamento e cota nulos):
Exemplo:
- Indicar as posições dos pontos (J), (K), (L), (M), (N), (O) e (P) em relação aos planos de projeção, conhecendo-se as suas projeções dadas na épura abaixo:
O (I) I I’
(I) I I’
O
(’S)
(A)
(H)
O H
H’
(H) H’
H
O
(’I)
(P)
(G) G’
G
O
(G)
O G
(’S)^ G’
(A)
J
J’
K
K’
L’
L
M’
M
N
N’
O
O’
P P’
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Figura 2.7 – Cota e afastamento de pontos situados nos planos bissetores
Pela Figura 2.7 percebe-se que, em épura, um ponto situado no Plano Bissetor Ímpar tem projeções simétricas em relação à linha de terra, enquanto um ponto situado no Plano Bissetor Par tem projeções coincidentes.
2.5 SIMETRIA DE PONTOS
Para que dois pontos sejam simétricos em relação a um plano, este deve ser o mediador do segmento de reta formado pelos dois pontos. Em outras palavras, dois pontos são simétricos em relação a um plano quando o plano é perpendicular ao segmento formado por esses dois pontos e contém o seu ponto médio (Figura 2.8).
Figura 2.8 – Simetria de dois pontos em relação a três planos dados
Dois pontos são simétricos em relação a uma reta quando a reta é perpendicular ao segmento formado pelos dois pontos e contém o ponto médio deste segmento.
2.5.1 Posições particulares de simetria
2.5.1.1 Pontos simétricos em relação aos planos de projeção Quando dois pontos são simétricos em relação ao plano horizontal de projeção, possuem a mesma abscissa, afastamentos iguais em grandeza e sentido e cotas de mesma grandeza e sentidos contrários (Figura 2.9).
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Figura 2.9 – Pontos simétricos em relação ao plano ()
Quando dois pontos são simétricos em relação ao plano vertical de projeção, possuem a mesma abscissa, cotas iguais em grandeza e sentido e afastamentos de mesma grandeza e sentidos contrários (Figura 2.10).
Figura 2.10 – Pontos simétricos em relação ao plano (’)
2.5.1.2 Pontos simétricos em relação aos planos bissetores Quando dois pontos são simétricos em relação ao plano bissetor ímpar, possuem a mesma abscissa e a cota de um ponto é igual ao afastamento do outro em grandeza e sentido. Nesse caso, as projeções de nomes contrários dos dois pontos são simétricas em relação à linha de terra (Figura 2.11).
Figura 2.11 – Simetria de pontos em relação ao Plano Bissetor Ímpar
Quando dois pontos são simétricos em relação ao plano bissetor par, possuem a mesma abscissa e a cota de um ponto é igual ao afastamento do outro com sinal contrário. Nesse caso, as projeções de nomes contrários dos dois pontos são coincidentes (Figura 2.12).
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UNIDADE 3 – ESTUDO DA RETA
3.1 PROJEÇÕES
O estudo da reta será baseado no conceito apresentado na seção 1.2, admitindo-se que uma reta é formada por um conjunto de pontos consecutivos (ver Figura 1.2). A projeção de um segmento de reta sobre um plano é o lugar das projeções dos infinitos pontos que compõe esse segmento sobre o plano (Figura 3.1).
Figura 3.1 – Projeção do segmento de reta (A)(D) sobre o plano ().
Na Figura 3.1, AD é a projeção ortogonal do segmento (A)(D) sobre o plano (). O plano (), formado pelas projetantes dos infinitos pontos da reta que contém o segmento (A)(D), é chamado de plano projetante da reta. Como a projeção foi gerada no sistema de Projeções Cilíndricas Ortogonais, o plano () é perpendicular ao plano () de projeção.
3.1.1 Segmentos de reta paralelos ao plano de projeção Todo segmento de reta paralelo a um plano apresentará projeções com dimensões idênticas às reais, ou seja, será projetado em verdadeira grandeza , qualquer que seja a posição do plano (Figura 3.2).
Figura 3.2 – Segmentos de reta paralelos aos planos de projeção
3.1.2 Segmentos de reta perpendiculares ao plano de projeção Todo segmento de reta perpendicular a um plano apresentará projeções na forma de um ponto, qualquer que seja a posição do plano (Figura 3.3).
(C)^ (D)
(A)^ (B)
C^ D
A^ B
Projeção ortogonal do segmento
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Figura 3.3 – Segmentos de reta perpendiculares aos planos de projeção
3.1.3 Segmentos de reta oblíquos ao plano de projeção Todo segmento de reta oblíquo a um plano apresentará projeções deformadas, tanto em relação à
sua medida linear quanto em relação ao seu ângulo, qualquer que seja a posição do plano (Figura 3.4).
Figura 3.4 – Segmentos de reta oblíquos aos planos de projeção
3.2 POSIÇÕES PARTICULARES DAS RETAS EM RELAÇÃO AOS PLANOS DE PROJEÇÃO
3.2.1 Reta Fronto-horizontal (ou Horizontal de Frente) A reta Fronto-horizontal caracteriza-se por ser paralela aos dois planos de projeção, ( ) e (’), e por possuir pontos com afastamento e cota constantes. Em épura, as suas duas projeções são paralelas à linha de terra e aparecem em verdadeira grandeza (Figura 3.5).