Apostila Estatistica I e Probabilidade I, Exercícios de Administração Empresarial

Baixe Apostila Estatistica I e Probabilidade I e outras Exercícios em PDF para Administração Empresarial, somente na Docsity!

ESTATÍSTICA – APOSTILA 1

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

Prof. Jorge Santana

Montes Claros Agosto/ I – OS MÉTODOS ESTATÍSTICOS: finalidade e aplicações; conceitos básicos de Estatística.

1 - O que é Estatística?

“Todas as ciências têm suas raízes na história do homem. A Matemática, que é considerada a ciência que une à clareza do raciocínio a síntese da linguagem , originou-se do convívio social, das trocas, da contagem, com caráter prático, utilitário, empírico. A Estatística, ramo da Matemática Aplicada, teve origem semelhante. Desde a antiguidade, vários povos já registravam o número de habitantes, de nascimentos, de óbitos, faziam estimativas das riquezas individuais e sociais, distribuíam equitativamente terras ao povo, cobravam impostos e realizavam inquéritos quantitativos por processos que, hoje, chamaríamos de estatísticas. Na Idade Média colhiam-se informações, geralmente com finalidades tributárias ou bélicas. A partir do século XVI começaram a surgir às primeiras análises sistemáticas de fatos sociais, como batizados, casamentos, funerais, originando as primeiras tábuas e tabelas e os primeiros números relativos. No século XVIII o estudo de tais fatos foi adquirindo, aos poucos, feição verdadeiramente científica. Godofredo Achenwal batizou a nova ciência (ou método) com o nome de Estatística, determinando o seu objetivo e suas relações com as ciências. As tabelas tornaram-se mais completas, surgiram às representações gráficas e o cálculo das probabilidades, e a Estatística deixou de ser simples catalogação de dados numéricos coletivos para se tornar o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo (população), partindo da observação de partes desse todo (amostras). Atualmente, o público leigo (leitor de jornais e revistas) posiciona-se em dois extremos divergentes e igualmente errôneos quanto à validade das conclusões estatísticas: ou crê em sua infalibilidade ou afirma que elas nada provam. Os que assim pensam ignoram os objetivos, o campo e o rigor do método estatístico; ignoram a Estatística, quer teórica quer prática, ou a conhecem muito superficialmente. Na era da energia nuclear, os estudos estatísticos têm avançado rapidamente e, com seus processos e técnicas, têm contribuído para a organização dos negócios e recursos do mundo moderno. (...) Exprimindo por meio de números as observações que se fazem de elementos com pelo menos uma característica comum (por exemplo: os alunos do sexo masculino de uma comunidade), obtemos os chamados dados referentes a esses elementos. Podemos dizer, então, que:

A Estatística é uma parte da Matemática Aplicada que fornece métodos para coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.

A coleta, a organização e a descrição dos dados estão a cargo da Estatística Descritiva, enquanto a análise e a interpretação desses dados ficam a cargo da Estatística Indutiva ou Inferencial. Em geral, as pessoas quando se referem ao termo estatística, o fazem no sentido da organização e descrição dos dados (estatística do Ministério da Educação, estatística dos acidentes de tráfego, etc.), desconhecendo que o aspecto essencial da Estatística é o de proporcionar métodos inferenciais que permitam conclusões que transcendam os dados obtidos inicialmente. Assim, a análise e a interpretação dos dados estatísticos tornam possível o diagnóstico de uma empresa (por exemplo, de uma escola), o conhecimento de seus problemas (condições de funcionamento, produtividade), a formulação de soluções apropriadas e um planejamento objetivo da ação.” (CRESPO 1997).

2 – Conceitos básicos de Estatística

2.1 – População É uma coleção completa de todos os elementos (valores, pessoas, medidas, etc.) a serem estudados.

3.3.1 – Nível nominal Caracterizado por dados que consistem apenas de nomes, rótulos ou categorias. Os dados não podem ser dispostos segundo um esquema ordenado (como de baixo para cima).

Exemplos:

• Respostas do tipo “sim”, “não” ou “indeciso”.
• O sexo dos estudantes em uma turma de matemática.

3.3.2 – Nível ordinal Envolve dados que podem ser dispostos em alguma ordem, mas as diferenças entre os valores desses dados não podem ser determinadas, ou não tem sentido.

Exemplos:

• Um editor classifica alguns originais como “excelentes”, alguns como “bons” e alguns como “maus”. (Não podemos determinar uma diferença quantitativa entre “bom” e “mau”, por exemplo).
• Nas olimpíadas de matemática, João foi classificado em 3º; Carlos em 7º e Joana em 10º lugar. (Podemos determinar a diferença entre os 3º e 7º lugares, mas a diferença de 4 não tem qualquer significado).

3.3.3 – Nível intervalar É análogo ao nível ordinal, com a propriedade adicional de que podemos determinar diferenças significativas entre os dados. Todavia, não existe um ponto de partida zero inerente, ou natural (onde não haja qualquer quantidade presente). As temperaturas 98,2°F e 98,6°F são exemplos de dados nesse nível intervalar de mensuração. Os valores se apresentam ordenados, e podemos determinar diferenças entre eles (em geral chamadas distancias entre os dois valores). Entretanto, não há ponto de partida natural. O valor 0°F pode parecer um ponto de partida, mas é inteiramente arbitrário, e não representa “ausência de calor”. É um erro dizer que 50°F é duas vezes mais quente que 25°F.

Exemplos:

• Os anos 1000, 2000, 1776 e 1944. (O tempo não começou no ano zero e, assim, o 0 é arbitrário, e não um ponto de partida zero natural).
• As temperaturas anuais médias (em graus Celsius) das capitais brasileiras.

3.3.4 – Nível razão É o nível de intervalo modificado de modo a incluir o ponto de partida zero inerente (onde o zero significa nenhuma quantidade presente). Para valores nesse nível, tantos as diferenças como as razões têm significado.

Exemplos:

• Pesos dos artigos de material plástico descartado pelas residências (0 kg indica que nenhum plástico foi descartado, e 10 kg representa duas vezes 5 kg).
• Duração (em minutos) de filmes.
• Distâncias (em km) percorridas por carros em um teste de consumo de consumo de combustível.

4 – AMOSTRAGEM

São as técnicas utilizadas para se extrair a amostra da população. A amostragem pode ser probabilística ou não probabilística. Na amostragem probabilística são realizados sorteios para alocação dos elementos da amostra, já na amostragem não probabilística não se procede ao sorteio. O tamanho da população é, geralmente, designado por N e o tamanho da amostra por n.

4.1 – Amostragem probabilística Este tipo de amostragem garante o acaso na escolha. Assim, cada elemento da população tem a mesma chance ser selecionado. Isto garante a representatividade da amostra e a validade das inferências que serão feitas a partir dela. Serão discutidos aqui, sucintamente, quatro tipos de amostragem probabilística.

4.1.1 – Amostragem casual ou aleatória simples Equivale a um sorteio dos indivíduos que farão parte da amostra

Procedimento:

• Enumera-se a população de 1 a N
• Sorteiam-se os indivíduos.
• Antigamente, os sorteios eram feitos por meio de tabelas de números aleatórios. Hoje em dia, utiliza- se uma calculadora científica ou, o que é mais comum, um software estatístico.

Exemplo Uma população é composta de 200 indivíduos. Retire uma amostra de tamanho 10, utilizando sua calculadora científica.

Amostra: ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

4.1.2 – Amostragem casual estratificada proporcional Utilizada quando a população se subdivide em estratos (subpopulações).

Procedimento:

• Calcula-se a fração de amostragem dada por:
• Calcula-se o tamanho da amostra em cada estrato, fazendo-se:
• Sorteiam-se os indivíduos em cada estrato.

Exemplo Uma população é composta por 7820 indivíduos distribuídos em três estratos que apresentam as seguintes quantidades de elementos: N (^) 1 = 3270; N (^) 2 = 2680 e N (^) 3 = 1870. Se se deve retirar uma amostra de tamanho n = 1564, qual deve ser a quantidade de indivíduos a ser sorteada em cada estrato?

Sorteiam-se, em cada estrato, as quantidades de indivíduos calculadas acima.

4.1.3 – Amostragem sistemática Utilizada preferencialmente quando a população já se encontra ordenada, como por exemplo: as casas de uma rua, prontuários médicos, número de registros de matrícula, etc.

Procedimento:

• Calcula-se o fator de sistematização ou intervalo de seleção, dado por:
• Sorteia-se um indivíduo no intervalo [1 ; F ], que será o primeiro elemento da amostra.
• (^) Os demais elementos são obtidos somando-se sucessivamente o valor do intervalo de seleção

Exemplo Retirar uma amostra de tamanho n = 10 de uma população ordenada composta de 80 elementos.

1º elemento = nº. aleatório multiplicado por 8.

Amostra: ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____ ____

Pesos: 90 94 80 70 92 70 72

kg

5.2.2 – Mediana (Md)

A mediana é o valor que ocupa a posição central da amostra. Para calcular a mediana, os dados devem estar ordenados (geralmente do menor para o maior valor). Para realizar o cálculo da mediana, é necessário verificar se o tamanho da amostra ( n ) é par ou ímpar.

1º caso: n é ímpar

Neste caso, a mediana é o valor que ocupa exatamente a posição central. Em linguagem matemática, este valor pode ser designado por. Ou seja, a medida do indivíduo que ocupa a posição. Para o exemplo anterior, como n = 7, tem-se:

Pesos: 70 70 72 80 90 92 94 (Observe que os dados estão ordenados) n = 7

Termo central: Portanto, o valor da mediana é a medida do indivíduo que está exatamente na quarta posição. Assim, a mediana é: Md = 80 kg.

Interpretação da mediana Como a mediana ocupa a posição central, podemos no presente exemplo dizer que 50% dos alunos tiveram pesos menores ou iguais a 80 kg e os outros 50% pesos maiores ou iguais a 80 kg.

2º caso: n é par

Neste caso, é preciso identificar os dois termos centrais e calcular a média entre eles. O valor obtido é considerado a mediana. Matematicamente, as ordens (posições) dos dois termos centrais são dadas por: o primeiro e o segundo por. Exemplo: amostra de pesos em kg de 6 alunos de uma turma.

Pesos: 70 72 80 90 92 94 (Observe que os dados estão ordenados) n = 6

Primeiro termo central: que equivale ao valor 80

Segundo termo central: que equivale ao valor 90

Portando: Md = Md = 85 kg

5.2.3 – Moda (Mo) A moda é o valor que ocorre com maior freqüência no conjunto de dados. Retomando o exemplo da amostra dos pesos de 7 alunos, tem-se:

Pesos: 70 70 72 80 90 92 94

Como o peso que mais se repete é 70, pode-se dizer que: Mo = 70 kg

Caso existissem dois valores distintos com maior freqüência (por exemplo: 70, 70 e 90, 90), dir-se-ia que a série é bimodal com modas 70 e 90.

Quando cada valor da amostra ocorre com a mesma freqüência, dizemos que não há moda (a série é amodal).

Breve comentário sobre as medidas de tendência central

Tabela resumo sobre as medidas de tendência central do exemplo

Pesos: 90 94 80 70 92 70 72

Medidas de tendência central da amostra do exemplo Medida Valor Média () 81 kg Mediana (Md) 80 kg Moda (Mo) 70 kg

A questão que se coloca aqui é a seguinte: qual das três medidas de tendência central deve ser utilizada para sintetizar o conjunto de dados? A medida mais utilizada é a média aritmética simples, principalmente porque o seu cálculo envolve todos os valores do conjunto de dados; enquanto a mediana envolve um, no máximo dois, valores da amostra. Assim, se não houver nenhuma assimetria acentuada nos dados, utiliza-se a média. Quando a assimetria é muito forte, significa dizer que há alguns poucos indivíduos na amostra cujos valores são muito altos (ou muito baixos) e a média tende a ficar superestimada (ou subestimada) e, portanto, não sintetizando ou representando bem a amostra. Neste caso, é recomendável utilizar a mediana. Já a moda é uma medida que capta um valor típico dos dados. No exemplo em questão, há uma ligeira assimetria nos dados, pois, a moda é menor que a mediana que, por sua vez, é menor que a média. Entretanto, como média e mediana são relativamente próximas (81 e 80, respectivamente), a princípio, pode-se optar por sintetizar a amostra de pesos dos alunos com a média aritmética simples. O tópico seguinte (medidas de dispersão) avalia melhor a representatividade da média.

5.3 – Medidas de dispersão ou variabilidade

As medidas de dispersão ou variabilidade servem para avaliar a concentração dos valores da amostra em torno da média. Neste sentido, elas auxiliam no estudo sobre a representatividade da média aritmética simples em um conjunto de dados, na medida em que quanto menor for a dispersão – aqui entendida como o afastamento das medidas dos indivíduos tomando como referência a média –, maior é a representatividade desta. Em outras palavras: se a medida de variabilidade for “pequena”, então realmente a maioria dos valores da amostra se concentra em torno da média, fazendo com que esta represente ou sintetize bem o conjunto de dados.

5.3.1 - variância amostral (s^2 )

É uma média das distâncias calculada a partir dos quadrados dos desvios em relação à média aritmética simples. Ou seja, calculamos a diferença entre cada indivíduo da amostra e a média aritmética simples e elevamos ao quadrado. Em seguida, somamos todos os valores obtidos e dividimos pelo tamanho da amostra menos uma unidade. A fórmula matemática da variância é:

A rigor, o denominador desta expressão deveria ser n. Entretanto, por razões relacionadas à inferência estatística, pode-se mostrar que é conveniente dividir a soma dos quadrados das diferenças por n – 1. Retomando o exemplo da amostra dos pesos de 7 alunos, e lembrando que a variância é:

Conclusão: como o coeficiente de variação da turma A é menor que o da turma B, conclui-se que os alunos da turma A mostraram notas mais homogêneas. Assim, embora a turma B possua uma média maior, as notas dos alunos são mais heterogêneas. Isto pode ter ocorrido, por exemplo, devido a presença de algumas notas altas que tendem a aumentar a média.

Comentário: o valor do coeficiente de variação, em termos de identificar alta ou baixa homogeneidade, vai depender muito das características do estudo que está sendo desenvolvido. Entretanto, na maioria dos casos, pode-se avaliar a dispersão do seguinte modo:

: Baixa dispersão : Dispersão moderada : Dispersão alta : Dispersão muito alta

5.4 – Estudo do escore padronizado (Z (^) i)

“No contexto de um único conjunto de dados, o desvio padrão pode ser interpretado intuitivamente como unidade natural de dispersão dos dados. Essa interpretação é utilizada na construção de “escores padronizados”, de larga aplicação em medidas educacionais. O problema é o seguinte: em uma escala de 0 a 10, a nota 6 em uma prova em que a nota máxima foi 6 é muito mais do que a mesma nota 6 em uma prova em que a nota máxima foi 9. Uma forma de captar essa diferença é considerar a nota do aluno como a sua posição relativa no grupo.” (SOARES, 1991)

Deste modo, enquanto o coeficiente de variação compara grupos, o escore padronizado capta a posição da medida de um indivíduo dentro do grupo. O escore padronizado é dado por:

. Onde é a medida do i-esimo indivíduo.

Retomando o exemplo das notas da prova de Cálculo I das turmas A e B do 1º período de Engenharia Civil, suponha que o João é aluno da turma A e tirou 85 pontos na prova; já a Maria é aluna da turma B e tirou 90 pontos no teste. A questão é: em termos relativos, qual dos dois alunos, João ou Maria, obteve melhor desempenho? Estatísticas das notas de um teste de língua portuguesa Turmas Estatísticas

A 78 8

B 92 15

Chamando de Z (^) J o escore do João e ZM o escore da Maria, tem-se:

Conclusão: embora Maria tenha uma nota superior à do João, em termos relativos a pontuação obtida por João é melhor do que a de Maria, pois (0,875 > – 0,133).

5.5 – Distribuição de freqüência (variáveis quantitativas)

As distribuições de freqüências são tabelas que descrevem os dados estatísticos a fim de facilitar sua compreensão. Hoje em dia, com a expansão dos softwares, essas tabelas são obtidas com muita facilidade e, portanto, não são construídas manualmente.

5.5.1 – Distribuição de freqüência sem intervalos de classe

Notação:

i : são as classes x i : valores assumidos pela variável f i : freqüência simples ou absoluta fr (^) i: freqüência relativa simples F i : freqüência acumulada n : equivale ao Σ f i

Exemplo: amostra das idades (em anos) de uma amostra de alunos.

TABELA 1 Distribuição de freqüência das idades em anos de uma amostra de alunos i x i f (^) i fr (^) i F i 1 19 8 0,121 8 2 20 12 0,182 20 3 22 17 0,258 37 4 25 13 0,197 50 5 27 12 0,182 62 6 30 4 0,060 66 Σ 66 1,

5.5.2 – Distribuição de freqüência com intervalos de classe

Além da notação anterior, usa-se o símbolo |F 0B E para designar o intervalo fechado à esquerda e aberto à direita. Além disso, o x i é o ponto médio da classe.

Para determinar o número de classes, i , e a amplitude do intervalo não há um critério fixo. Entretanto, é comum, para determinar o número de classes, usar-se a fórmula : i = 1 + 3,3(logn). E para determinar a amplitude do intervalo, h , pode se utilizar: , onde AA é a amplitude amostral e corresponde à diferença entre o maior e o menor valor do rol (o rol são os dados ordenados).

Exemplo: Rol das estaturas (em cm) de 40 alunos do colégio A. (Retirado do livro “Estatística Fácil”)

Determinação do número de classes e da amplitude do intervalo:

Classes: i = 1 + 3,3(log n ) = 1 + 3,3log40 = 1 + 3,3(log40) = 1 + 3,3(1,602059991) = 6,286797971 = 6 Amplitude amostral: AA = 173 – 150 = 23 Amplitude do intervalo: A tabela de distribuição de freqüência será:

TABELA 2

Distribuição de freqüência das estaturas (em cm) de uma amostra de 40 alunos

i Intervalo x (^) i f i fr (^) i F i

Resolução a) termo. Portanto: P 10 = 153,

b) termo. Portanto: P 25 = 156,

c). Portanto, o P 67 será a média entre o 26º e 27º termos. Logo;

d). Portanto, o P 97 será a média entre o 38º e 39º termos. Logo;

5.6.1 – Percentis especiais: Quartis (Q (^) k)

Os quartis dividem a série estatística em 4 partes iguais. São eles: primeiro quartil (Q (^) 1), segundo quartil (Q (^) 2) e terceiro quartil (Q3). O primeiro quartil corresponde ao percentil 25; o segundo quartil é o percentil 50 (que coincide com a mediana) e o terceiro quartil é o percentil 75.

|__________|__________|__________|__________|

Min Q 1 Q 2 Q 3 Max

Para o exemplo Q 1 = 156,1 (que corresponde ao P25) e Q 3 = 164,4 (que equivale ao P 75 – confira!).

5.7 – Média ponderada

A media pondera é utilizada quando se atribuem pesos distintos para os valores da variável. É dada por:

Onde x i são os valores da variável e p (^) i são os pesos. A média aritmética simples é uma média ponderada

onde os pesos são iguais.

EXERCÍCIOS – LISTA 1

1) Para cada uma das descrições abaixo, indique o seu significado escolhendo um dos seguintes conceitos: população, um parâmetro, censo, variáveis quantitativas, variáveis qualitativas, variáveis discretas, experimento, uma estatística, estudo observacional.

1).)a Coleção completa de todos os elementos, com pelo menos uma característica comum, a serem estudados. 1).)b Consistem em números que representam contagens ou medidas. 1).)c Medida numérica que descreve uma característica numérica de uma população. 1).)d (^) Resultam de um conjunto finito de valores possíveis, ou de um conjunto enumerável desses valores.

1).)e Coleção de dados relativos a todos os elementos de uma população. 1).)f Medida que descreve uma característica numérica de uma amostra. 1).)g Dados que podem ser separados em diferentes categorias que se distinguem por alguma característica não numérica. 1).)h Situação em que verificamos e medimos características específicas, mas não modificamos os elementos a serem estudados.

1).)i Situação em que modificamos as características de elementos a fim de verificar o efeito desta modificação.

2) Dê um exemplo para cada um dos seguintes níveis de mensuração de variáveis: nominal, ordinal e razão.

3) Nos itens a, b, c, d abaixo, indique se a descrição dada corresponde a um estudo observacional ou a um experimento.

3).)a Uma pesquisa tenta captar a opinião da população sobre sua preferência em morar em casa ou apartamento. _______________________________________

3).)b Em uma turma de educação física, estuda-se o efeito dos exercícios físicos sobre a pressão sanguínea, determinando-se que metade dos estudantes ande mil metros cada dia, enquanto a outra metade corra mil metros diariamente. ______________________________________________________________

3).)c Em determinada cidade, faz-se um levantamento do número de pessoas contaminadas com o vírus HIV, de acordo com o sexo. ___________________________________________________________

3).)d A fim de aumentar a produtividade de tomate de sua plantação, um produtor faz um rígido controle sobre a irrigação (quantidade de água diária) e a luminosidade (incidência de raios solares) nos tomateiros de sua produção. ___________________________________________________________

4) Deve-se extrair uma amostra de tamanho n=600 de uma população de tamanho N=5.000, que consiste de quatro estratos com as seguintes quantidades de elementos: N (^) 1=3.000, N (^) 2=1.000, N (^) 3=800 e N4=200. Se a alocação deve ser proporcional, qual o tamanho da amostra em cada estrato?

5) Retire uma amostra de tamanho n=10 de uma população ordenada composta de 200 elementos, utilizando o processo de amostragem sistemática. Explique todo o procedimento adotado.

6) Explique o que é amostragem por conglomerados e exemplifique.

7) Construir uma tabela de distribuição de freqüência com intervalos de classe para os dados abaixo que representam uma amostra de pesos (kg) do curso de Engenharia (veja exemplo da tabela 2 acima). Utilizar as fórmulas vistas no conteúdo para definir o número de classes (i) e a amplitude do intervalo (h).

11)A contagem de bactérias numa cultura aumentou de 2.500 para 9.200 em três dias. Qual o acréscimo percentual diário médio?

12)Tibúrcio prestou recentemente um concurso e obteve as notas nas disciplinas listadas na tabela abaixo.

Disciplinas Nota do Tibúrcio Peso Português 72 3, Matemática 91 1, Técnicas Bancárias 85 2, Informática 70 2, Inglês 84 1, Contabilidade 92 1,

3).)e Calcule a média aritmética simples do Tibúrcio. 3).)f (^) Calcule a média ponderada do Tibúrcio. 3).)g Considerando que a nota mínima para ser aprovado é 82 pontos, e que o concurso utiliza a média ponderada para efeito de classificação, o Tibúrcio foi aprovado?

13. Os dados abaixo mostram a resistência à compressão de 80 corpos de prova da liga alumínio-lítio, medidas em psi (medida de pressão ou libra por polegada quadrada).

II – PROBABILIDADE

1 – ESTUDO DAS PROBABILIDADES

1.1 – Experimento determinístico São experimentos cuja repetição sob as mesmas condições conduz sempre ao mesmo resultado, podendo- se determiná-lo antecipadamente. Ex. em um corpo em queda livre é possível determinar antecipadamente, por exemplo, o tempo da queda, a posição do corpo em um instante t0, a velocidade, etc..

1.2 – Experimento aleatório São experimentos cuja repetição não conduz aos mesmos resultados. Não se pode determinar à priori um resultado, mas pode-se calcular a probabilidade de ocorrência de um evento qualquer. Ex. em um lançamento de um dado (cubo) com seis faces, não é possível dizer qual face estará voltada para cima. Entretanto, é possível calcular a probabilidade de uma face em particular cair para cima.

1.3 – Probabilidade: conceitos básicos

Quando se fala em probabilidade está-se referindo à classe dos experimentos aleatórios. Tais experimentos serão designados por: E.

• Espaço amostral (S): é o conjunto de todos os resultados possíveis do experimento.
• Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral. Designam-se os eventos por: A, B, C, D, etc.

Exemplo

E: lançamento de um dado (cubo) S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Eventos: A: Sair nº par A = {2, 4, 6} B: Sair nº ímpar B = {1, 3, 5} C: Sair nº maior que 2 C = {3, 4, 5, 6} D: Sair nº maior que 6 D = “Evento impossível” E: Sair nº de 1 a 6 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} “Evento certo”

1.4 – Definição de probabilidade

1.4.1 – Definição clássica

Seja A um evento de um espaço amostral S. Define-se a probabilidade de ocorrência deste evento como:

Onde: n ( A ) é o número de casos favoráveis ao evento A e n ( S ) o número total de casos.

Exemplo: no lançamento de um dado (cubo), calcular a probabilidade de sair nº par. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 4, 6}

ou 50%

1.4.2 – Definição frequencial

Considere que um experimento é repetido um grande número de vezes. A probabilidade de ocorrência do evento A é a freqüência relativa dada por:

P ( A ) = _ Nº de vezes que A ocorreu______ Nº total de repetições do experimento

Exemplo: lançou-se uma moeda 1.000 vezes e obteve-se 499 caras. Estimar a probabilidade de ocorrência da face cara. n( S) = 1.000 n ( A ) = 499 ou 49,9%

1.5 – Tipos de eventos

Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral S.

a) Evento Interseção: equivale à ocorrência de A e B ao mesmo tempo. b) Evento Exclusão (mutuamente excludentes): a ocorrência de A impossibilita a ocorrência B. c) Evento União: equivale à ocorrência de A, ou de B, ou de ambos. d) Evento Negação: é o complementar de outro evento. O complementa de A denota-se por.

Probabilidade condicional

g) Com renda alta, sabendo que é do trabalho formal. R: 0,578 ou 57,8% h) Com renda alta, sabendo que é do trabalho informal. R: 0,253 ou 25,3% i) Desenvolver trabalho formal, sabendo que possui renda baixa. R: 0,277 ou 27,7% j) Desenvolver trabalho informal, sabendo que possui renda alta. R: 0,216 ou 21,6% k) Dado que possui renda média, desenvolver trabalho informal. R: 0,410 ou 41,0% l) Dado que é informal, possuir renda média. R: 0,363 ou 36,3%

1.8 – Independência de eventos

Definição: dois eventos A e B são independentes quando a ocorrência de um deles não modifica a probabilidade de ocorrência do outro. Ou seja:

P ( B | A ) = P( B ) e P ( A | B ) = P( A )

, mas se A e B são independentes, então: P( A | B ) = P( A )

Logo:

Exemplo

Considere o lançamento de um dado (cubo), a observação da face superior e os eventos A e B abaixo.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {2, 3, 4, 5,} B = {1, 3, 4,}

a) Supondo que ocorreu o evento A , qual a probabilidade condicional de ocorrer B?

e

P(B | A) = P(B) , ou seja, a ocorrência de A não alterou a probabilidade de ocorrência de B.

b) Agora suponha que tenha ocorrido B. Qual a probabilidade condicional de ocorrência de A?

e veja também que:

P(A | B) = P(A) , ou seja, a ocorrência de B não alterou a probabilidade de ocorrência A.

Assim, dizemos A e B são eventos independentes.

1.9 – Partição de um espaço amostral – teorema da probabilidade total

Suponha que o espaço amostral S de um experimento seja dividido em três eventos R (^) 1, R 2 e R 3 de modo que: S

e considere um evento B qualquer. O evento B pode ser escrito como:

. Como , então ou

Pelo fato de serem eventos mutuamente excludentes, pode-se escrever;

As interseções do segundo membro são do tipo:. Assim:

Este resultado é conhecido como teorema da probabilidade total e pode ser escrito na forma geral:

Exemplo de aplicação 1