Baixe apostila de sistema de controle dinâmicos e outras Notas de aula em PDF para Sistemas de Controlo, somente na Docsity!
Apostila de Sistemas de Controle I
&$3Ì78/2 ,,,
“CONCEITOS FUNDAMENTAIS”
3.1- INTRODUÇÃO
Inicialmente neste capítulo, estuda-se o conceito de função de transferência, o qual é a base da teoria de controle clássico. Após, estuda-se a representação de sistemas através de diagrama de blocos, bem como a álgebra de blocos e suas simplificações. É também apresentado o gráfico de fluxo de sinais e a obtenção da função de transferência de um sistema utilizando a fórmula do ganho de Mason. Finalizando este capítulo, é apresentada uma introdução a abordagem de modelo de variáveis de estado para representação de sistemas.
3.2- FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
A função de transferência de um sistema linear invariante no tempo é definida como sendo a relação entre a transformada de laplace da saída (função resposta) e a transformada de laplace da entrada (função excitação), considerando-se nulas todas as condições iniciais. Seja a seguinte expressão:
a d y t dt a^
d y t dt
dy t dt a^ y t^ b^
d t dt b^
d t dt b^
d t dt b^ t
n n
n n n n
m m
m 0 1 m m m
1 1 1 0 1
1 1 1
− − −
− a (^) − −
χ χ χ χ
Onde: n ≥m χ( )t ⇒ entrada e y t( ) ⇒ saída
Aplicando-se a transformação de laplace na expressão acima, temos:
( a 0 .Sn + a S 1 n−^1 +.... + a (^) n − 1 .S + a (^) n) Y s( ) = ( b 0 .S m^ + b 1 .Sm −^1 +.... + b (^) m − 1 .S +b (^) m)X s( )
Utilizando o conceito de função de transferência, resulta:
G s Y s X s
b b b b a a a a
m m n n m^ m n n
.S .S .... .S
.S .S .... .S
= = +^ +^ +^ +
− − − −
0 1 1 1 0 1 1 1
COMENTÁRIOS SOBRE FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
- A função de transferência de um sistema é uma propriedade do sistema, independendo da natureza e da magnitude da entrada;
- Utilizando-se o conceito de função de transferência, é possível representar um sistema dinâmico em termos de expressões algébricas da variável complexa “S”;
- Embora a função de transferência de um sistema inclua as informações necessárias para relacionar a entrada com a saída, ela não fornece informações a respeito da estrutura física do sistema. Isto significa que a função de transferência de sistemas fisicamente diferentes podem ser idênticas;
FUNÇÃO DE T RANSFERÊNCIA
(de um sistema de ordem n)
Apostila de Sistemas de Controle I
- Se a função de transferência de um sistema é conhecida, a resposta do mesmo pode ser analisada para diferentes formas de excitação (entrada), com a finalidade de compreender a natureza e o comportamento do sistema;
- Se a função de transferência de um sistema não é conhecida, ela pode se obtida experimentalmente pela introdução de sinais de entrada conhecidos e estudando-se as respostas obtidas. Uma vez obtida, a função de transferência fornece uma descrição completa das características dinâmicas do sistema.
3.3- DIAGRAMA DE BLOCOS
O diagrama de blocos de um sistema, é a representação gráfica das funções desempenhadas pelos componentes que compõe o sistema, juntamente com o fluxo de sinais dentro do sistema. O diagrama de blocos, ao contrário da representação matemática do sistema, fornece uma visão gráfica global do sistema indicando realisticamente a finalidade dos componentes dentro do sistema, e como ocorre o fluxo de sinais entre os blocos. A seguir são apresentados os componentes que compõe um diagrama de blocos e uma descrição sobre os mesmos.
- Blocos e Fluxo de Sinais
É uma representação simbólica para a operação matemática, na qual o sinal de saída do bloco é produzido pelo sinal de entrada deste mesmo bloco, multiplicado pelo ganho do bloco (função de transferência do bloco). Os fluxos de sinais são flechas que indicam o sentido em que os sinais de entrada e saída dos blocos são interligados.
A representação de um sistema através de diagramas de blocos, permite que se saiba qual a contribuição de cada bloco (componente) no desempenho global do sistema.
- Ponto de Soma
Os pontos de soma em um diagrama de blocos indicam como os sinais devem ser somados ou subtraídos. Deve-se observar que os sinais a serem somados ou subtraídos, devem ter as mesmas dimensões e unidades.
- Pontos de Ramificações
São pontos nos quais, um mesmo sinal flui em direções diferentes.
Y s( ) =X s( ). G s( )
Apostila de Sistemas de Controle I
I s E^ s^ E^ s R
( ) = 1 ( )^ −^0 ( ) I s CS E s s I s CS
( ) =. 0 ( ) ∴ E 0 ( ) = ( )
G s RCS ( ) = 1 e H s( ) = 1
Sabendo-se que: E^ s E s
G s G s H s
0 1 1
, resulta:
E s E s RCS
0 1
E s E s
RC
S RC
0 1
3.5- SISTEMA EM MALHA-FECHADA SUJEITO A PERTURBAÇÕES
No sistema acima representado, temos dois sinais de entrada, isto é, a própria entrada do sistema X(s) e uma perturbação N(s). Quando temos um sistema sujeito a entradas diferentes podemos obter independentemente as respostas para cada uma das entradas, utilizando-se o teorema da superposição, e após adicioná-las resultando na resposta completa. Para o sistema mostrado, considere que:
Y(s) = YN(s) + YX(s) Onde:
i t e t e t R i t C d e t dt
( ) i( )^ ( )
( ).
0
0
Apostila de Sistemas de Controle I
Y(s) = resposta completa do sistema;
YN(s) = resposta do sistema devido a entrada N(s) (perturbação);
YX(s) = resposta do sistema devido a entrada X(s) (ent. principal);
Y s N s
G s G s G s H s
N ( )
2 1 2 1
Y s X s
G s G s G s G s H s
X ( )
1 2 1 1 2
Y s G^ s^ N s G s G s H s
G s G s X s ( ) (^) G s G s H s
. = (^) + + (^) +. 2 1 2
1 2 1 1 1 2
Y s( ) = (^1) +. G 1 ( ) s GG 2 ( ) 2 s( ). s H s( ) + { N s( ) +G 1 ( ).s X s( )}
Se G 1 ( ) s G. 2 ( )s H s. ( )>>> 1 e G 1 ( ). s H s( ) >>> 1 então:
Y s X s ( ) = (^) H s
Com isto, concluí-se que:
- Se o ganho G 1 (s).H(s) é elevado, os efeitos que as perturbações poderiam causar na resposta do sistema, são desprezados.
- Se o ganho G 1 (s).H(s) é elevado, a função de transferência do sistema independe das variações em G 1 (s) e G 2 (s) e é inversamente proporcional ao ganho H(s). Se o ganho da realimentação é unitário, então o sistema em malha fechada, tende a igualar a saída com a entrada.
3.6- REGRAS DA ÁLGEBRA DO DIAGRAMA DE BLOCOS
Geralmente, diagramas de blocos complicados envolvendo diversos laços de realimentação, vários blocos em série, pode ser simplificado através da manipulação de blocos no diagrama, utilizando-se as regras da álgebra de blocos mostrados a seguir:
Y N ( )s ≈ 0
Y X ( )s ≈ (^) H s( ). X s( )
Apostila de Sistemas de Controle I
DEFINIÇÕES DOS TERMOS USADOS EM GRÁFICO DE FLUXO DE SINAIS
Nó: Representa uma variável. Ganho de Ramo: É o ganho entre dois nós. Ramo: É uma reta interligando dois nós. Nó de Entrada: São os nós que possuem apenas ramos que saem do nó. Corresponde a uma variável de controle independente. Nó de Saída: São os nós que possuem apenas ramos que chegam ao nó. Corresponde a uma variável dependente. Nó Misto: São os nós que apresentam ramos saindo e chegando ao nó. Caminho: É uma trajetória de ramos ligados no sentido das flechas. Caminho Aberto: É aquele em que nenhum nó é cruzado mais de uma vez. Caminho Fechado: É aquele em que termina no mesmo nó em que começou. Caminho Direto: É o caminho desde um nó de entrada até um nó de saída, cruzando cada nó uma única vez. Laço: (^) É um caminho fechado. Ganho do Laço: É o produto dos ganhos dos ramos que fazem parte do laço. Laços que não se tocam: São laços que não apresentam nós comuns.
ÁLGEBRA DO GRÁFICO DE FLUXO DE SINAIS
≈
Apostila de Sistemas de Controle I
3.8- FÓRMULA DO GANHO DE MASON
A fórmula do ganho de Mason permite que se determine o ganho de um sistema em malha fechada diretamente do diagrama de blocos ou do gráfico de fluxo de sinais, sem a necessidade de redução dos mesmos. Embora seja um procedimento simples, a aplicação desta técnica deve ser usada com extremo cuidado para que os termos que compõe a fórmula do ganho não sejam trocados. Ex: Seja o seguinte sistema:
A definição dos caminhos diretos e dos ganhos dos laços envolvidos é mostrado abaixo.
CAMINHOS DIRETOS: G 1 ,G 2 ,G 3 ,G 4 ,G 5 G 6 ,G 4 ,G 5 LAÇOS: G 2 H 1 G 4 H 2 Seja “T”, o ganho do gráfico acima, isto é, a sua função de transferência. A fórmula do ganho de Mason é dada por:
T M K K ( M M M )
K
P = = + + + p p =
1
∆.^ ∆^ ∆.^ ∆^1 2.^ ∆^2 ......^ .∆
Onde: ∆ ⇒ Determinante do gráfico ∆ ⇒ 1 − (Σ dos ganhos dos laços individuais) + (Σ dos produtos de ganhos de todas as possíveis combinações de dois laços que não se tocam) − (Σ dos produtos de ganhos de todas as possíveis combinações de três laços que não se tocam) + (Σ dos produtos de ganhos de todas as possíveis combinações de quatros laços que não se tocam) − (........
∆ ⇒ 1 − La L L L L L a b c b c^ d e fd^ e^ f
∑ +^ ∑ −^ ∑ +
, , ,
MK = ganho do K-ésimo caminho direto; ∆K = É o determinante associado ao K-ésimo caminho direto. É obtido de ∆, remo- vendo-se os laços que tocam este K-ésimo caminho direto. Para o exemplo mostrado, resulta:
M 1 = G 1 , G 2 , G 3 , G 4 , G 5 M 2 = G 6 , G 4 , G 5 L 1 = - G 2 H 1
Ganho dos caminhos Diretos;
Ganhos dos laços individuais; L 2 = - G 4 H 2
Apostila de Sistemas de Controle I
- Modelo de Variáveis de Estado É um conjunto de equações diferenciais de 1a^ ordem, escritas na forma matricial que permite, além de representar as relações entre as entradas e as saídas do sistema, permite representar também algumas características internas do sistema.
Como característica desta abordagem, pode-se citar:
- Como o sistema pode ter mais de uma entrada, é possível enviar para dentro do modelo mais informações a cerca da planta;
- Vários modelos de variáveis de estado podem ser obtidos para um mesmo sistema. Visto que depende da escolha das variáveis de estado;
- As teorias de controle moderno são desenvolvidas para esta abordagem;
- Para simulação de sistemas, geralmente necessita-se do seu modelo de variáveis de estado. Ex: Seja o sistema mostrado abaixo. Obtenha a equação diferencial de segunda ordem que o define, a sua função de transferência e duas representações por modelo de variáveis de estado.
ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ i t R
c t R
t R C
d dt t^
L
R
d dt t
1 1
0 2
0 2
ϑ i t ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ R
t R
L
R R
d t dt
t R C
d t dt
LC
R
d t dt
1
0 1 1 2
0 0 2
0 2
(^2 ) = + + + + 2 “7”
LCR
R t^
L CR R
R t^
R R
R t^ i t
1 2
0 1 2 2
0 1 2 2
.ϑ^ ( )^ +^.^ ϑ^ ( )^.^ ϑ^0 ( )^ ϑ( )
+^
=^ “8”
A expressão acima representa o sistema mostrado, através da equação diferencial de 2a ordem que o define.
- Função de Transferência
Para a obtenção da função de transferência deste sistema, deve-se obter a razão entre as transformações de laplace dos sinais de entrada e saída.
i 1 t i t^ R c t 1
( ) = ϑ^ ( )^ −ϑ^ ( ) “1”
ϑ c t( ) − ϑ 0 ( ) t =L. di^ dt^2 ( )t “2”
i t i t C d^ c t (^1 2) dt ( ) − ( ) =. ϑ^ ( ) “3”
“2” → ϑ c t ϑ t L di^ t^ ϑ^0 ( )t^ =^ R^2.^ i^2 ( )t “4” ( ) ( ). (^) dt
= 0 +^2 “5”
Apostila de Sistemas de Controle I
Entrada: ϑi t( ) − Vi s( ) Saída: ϑ 0 ( )t −V 0 ( )s
LCR R S V^ s^
L CR R
R SV^ s^
R R
R V^ s^ Vi s
1 2
2 0 1 2 2
0 1 2 2
^
^
^
^
Seja: A
LCR
= R
1 2
; B
L CR R
= R
2
; C
R R
= R
2
V s Vi s AS BS C
0 2
- 1 o^ Modelo de Variáveis de Estado
Para a obtenção do modelo de variáveis de estado, deve-se inicialmente definir quem são as variáveis de estado; sinais de entrada e sinais de saída.
Entrada: ϑi t( ) Saída: ϑ 0 ( )t Variáveis de Estado: ϑ 0 ( ),t ϑ 0 ( )t Desta forma, tem-se que:
χ (^) ϑ χ (^) ϑ
1 0 2 0
t t t t
Variáveis de estado y t( ) = ϑ 0 ( ) t =χ 1 ( ) t → Sinal de saída
LCR
R
t L^ CR R R
t R^ R R
(^1) t i t 2
1 1 2 2
1 1 2 2
.χ^ ( ) +. χ^ ( ). χ^1 ( ) ϑ( )
=^ “11”
mas, χ^1 ( )t = χ 2 ( )t. Desta forma, resulta que:
LCR R t L^ CR R R t R^ R R
(^1) t i t 2 2 1 2 2 2 1 2 2
. χ^ ( ) +. χ^ ( ). χ 1 ( ) ϑ( )
=^ “12”
Seja: D
R R
= LCR
1
; E
L CR R
= L CR
1 2 1
; F
R
= LCR
2 1
;
( ).^
( ).^ ( )
χ χ
χ χ ϑ
1 2
1 2
t 0 1 0 t D E
t t F i t
^
^
y t (^) [ ]
t ( ). (^) t
2
χ χ “14”
- 2 o^ Modelo de Variáveis de Estado
Apostila de Sistemas de Controle I
U(t) → Vetor de Entrada;
Geralme nte, a Matrix de Transmissão Direta é nula, visto que quase sempre existe uma dinâmica em todas as ligações entrada e saída dos sistemas. A obtenção do modelo de variáveis de estado de um sistema, geralmente pode ocorrer através de uma das formas apresentadas abaixo
- Equações Diferenciais do Sistema: Geralmente as variáveis de estado são variáveis físicas do sistema.
- Função de Transferência: Geralmente não são variáveis físicas do sistema.
3.11- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DAS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Seja o seguinte sistema de equações, onde y1 (t) e y 2 (t) são as saídas do sistema e μ 1 (t) e μ 2 (t)
as entradas do sistema.
(^) ( ) (^) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y t K y t K y t t K t y t K y t K y t K t
1 1 1 2 1 1 3 2 2 4 2 5 1 6 1
μ μ μ
- Variáveis de Estado
Desta forma, substituindo as variáveis de estado no sistema de equações, resulta: χ (^1) ( )t =χ 2 ( )t
χ^ (^2) ( )t = −K 1 χ 2 ( )t − K 2 χ (^1) ( )t + μ 1 ( )t +K 3 μ 2 ( )t χ^ (^3) ( )t = − K 5 χ 2 ( )t − K 4 χ (^3) ( )t +K 6 μ 1 ( )t
( ) ( ) ( )
χ χ χ
χ χ χ
μ μ
1 2 3
2 1 5 4
1 2 3
3 6
1 2
t t t
K K
K K
t t t
K
K
t t
χ χ χ
1 1 2 1 3 2
( ) ^ ( )
t y t t y t t y t
Apostila de Sistemas de Controle I
y t y t
t t t
1 2
1 2 3
^
^
χ χ χ
3.12- OBTENÇÃO DO MODELO DE ESTADO DE UM SISTEMA A PARTIR DA
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA
Seja a seguinte Função de Transferência:
Y s U s
G s b S^ b S^ b S a S a S a
s s
= ( )^ = +^ +.^ ( )( )
^
2 2 3 1 0 2 2 1 0
1 1
χ χ Y s b S s b S s b s U s S s a S s a S s a s
2 2 1 1 1 0 1 (^31 221 1 1 0 )
χ χ χ χ χ χ χ
Definindo-se:
S χ^1 ( )s = χ 2 ( )s S 2 χ^1 ( )s = S χ^2 ( )s =χ 3 ( )s Aplicando-se a transformação inversa de laplace no sistema de equações acima, resulta que : Y t( ) = b 2 χ^3 ( )t + b 1 χ^2 ( )t +b 0 χ 1 ( )t
e: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
χ χ χ χ (^) μ χ χ χ χ
3 2 3 1 2 0 1 1 2 2 3
t a t a t a t t t t t t
Apostila de Sistemas de Controle I
3.14- TRANSFORMAÇÃO DE EQUAÇÕES DE ESTADO E VARIÁVEIS DE
ESTADO
Seja a seguinte representação de estado:
Definindo-se um outro Vetor de Estado V(t) = Q.X(t), onde “Q” é uma matrix qualquer, resulta.
X t( ) = Q −^1 .V t ( ) Onde: Q −^1 =P; P → Matrix de Transformação; X t( ) =P V t. ( ) X t^ ( ) =P V t. ( )
Substituindo-se as expressões de X(t) e X t ( ) na representação mostrada, tem-se:
P V t A P V t B U t Y t C P V t D U t
V t P A P V t P B U t Y t C P V t D U t
− 1 − 1
V t Av V t Bv U t Y t Cv V t D U t
⇒ NOVA REPRESENTAÇÃO DE E SPAÇO DE E STADO
Ex:
Dado G s( ) = (^) S + S+
2 3 2 obtenha:
- Uma representação por Espaço de Estado;
- Uma representação por Espaço de Estado para a seguinte transformação:
ϑ χ^ χ
ϑ χ^ χ
1 1 2
t t t
t t t
Utilizando-se o procedimento mostrado no ítem 3.12, o modelo de estado para este sistema é obtido como mostrado abaixo:
( ) ( ).^
( ).^ ( )
X t X t
X t X t t
1 2
1 2
= −^ −
μ
X t A X t B U t Y t C X t D U t
Apostila de Sistemas de Controle I
Y t (^) [ ]
X
( ) = .X
2
O novo conjunto de variáveis de estado V(t), em função das variáveis de estado X(t), é dado por:
V t
X t ( ). (^) X t
1 2
Onde: Q (^) = Q ^
^
e 1 e Adj Q. =
Sendo P -1^ =Q, resulta que:
P −^ = Q=
^
P Q
Adj Q Q
= −^1 =
P =
Com isto, temos que:
P −^ A P=
^ −^ −
e: P −^ B=
.. 2 C.P = (^) [ ] [ ]
Finalizando, o novo modelo de variáveis de estado é dado por :
( ) ( ).^
( ).^ ( )
V t V t
V t V t t
1 2
1 2
^
μ
Y t (^) [ ]
V t ( ). (^) V t
2
